全等三角形ppt
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2023年2月16日发(作者：报告的写法)1/18
全等三角形与角平分线
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．
全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．
相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''ABCDE．
这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．
A'
B'
C'
D'
E'
E
D
C
B
A
全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．
全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．
全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、
角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的
角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
全等三角形的判定方法：
(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
判定三角形全等的基本思路：
SAS
HL
SSS
找夹角
已知两边找直角
找另一边
ASA
AAS
SAS
AAS
边为角的对边→找任意一角→
找这条边上的另一角→
已知一边一角
边就是角的一条边找这条边上的对角→
找该角的另一边→
ASA
AAS
找两角的夹边
已知两角
找任意一边
2/18
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴平移全等型
⑵对称全等型
⑶旋转全等型
由全等可得到的相关定理：
⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．
⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．
⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．
⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直
平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
它们具有互逆性．
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3．OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，
A
B
O
P
P
O
B
AA
B
O
P
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤
其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
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板块一、全等三角形的认识与性质
【例1】在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，
若12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．
2
1
E
O
D
C
B
A
【巩固】如图所示，ABAD，BCDC，EF、在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三
角形？请一一找出来，并简述全等的理由．
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，ACDE∥，BCEF∥，ACDE．求证：
AFBD．
F
E
D
C
B
A
【例3】(2008年宜宾市)已知：如图，ADBC，ACBD，求证：CD．
例题精讲
F
A
EP
D
C
B
4/18
O
DC
BA
【巩固】如图，
AC
、BD相交于
O
点，且ACBD，ABCD，求证：OAOD．
A
B
C
D
O
【例4】(哈尔滨市2008年初中升学考试)已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，
BECF，BC．求证：OAOD．
F
E
O
D
CB
A
【例5】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCE．
F
E
C
B
A
【例6】
E
、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF．求证：AEBF．
P
F
E
D
C
B
A
【巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：
BGCFBC．
5/18
G
A
B
C
D
E
F
【例7】在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：AMCD．
M
E
DC
B
A
板块三、截长补短类
【例1】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，
射线
MN
与DBA∠外角的平分线交于点
N
，DM与
MN
有怎样的数量关系?
N
EBMA
D
【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于
点N，MD与MN有怎样的数量关系？
N
CD
EBMA
【例2】如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=
a
，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB
的长为()
A.
a
.
2
kh
D.h
6/18
M
D
C
B
A
【例3】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.
F
E
D
CB
A
【例4】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为
120
的等腰三角形，以D为顶点
作一个
60
的
MDN
，点M、
N
分别在AB、
AC
上，求
AMN
的周长．
N
M
D
CB
A
【例5】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE
C
E
D
B
A
板块四、与角平分线有关的全等问题
【例1】如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且
3OD，求ABC的面积．
7/18
【例2】在
ABC
中，D为
BC
边上的点，已知BADCAD，
BDCD
，求证：ABAC．
【例3】已知ABC中，ABAC，BE、
CD
分别是ABC及ACB平分线．求证：CDBE．
E
D
C
B
A
【例4】已知ABC中，
60A
，BD、
CE
分别平分ABC和ACB，BD、
CE
交于点
O
，试判
断BE、
CD
、
BC
的数量关系，并加以证明．
O
E
D
C
B
A
【例5】如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：EDEB．
A
D
O
CB
D
C
B
A
8/18
E
D
C
B
A
4
3
2
1
【例6】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，
EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．
F
E
D
C
B
A
【例7】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求
证：EF∥AB
F
A
CDEB
【巩固】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，
交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线．
F
G
ED
C
B
A
9/18
【巩固】在
ABC
中，
ABAC
，AD是
BAC
的平分线．P是AD上任意一点．求证：
ABACPBPC．
CDB
P
A
【例8】如图，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交
BC
与D．求证：ABBDAC．
D
CB
A
【例9】如图所示，在ABC中，ACAB，M为
BC
的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD
且交AD的延长线于F，求证
1
2
MFACAB
．
M
F
D
C
B
A
【巩固】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是
BC
的中点，求证
DEAB∥且
1
()
2
DEABAC
．
10/18
E
D
C
B
A
【巩固】如图所示，在
ABC
中，AD平分
BAC
，ADAB，
CMAD
于M，求证2ABACAM．
M
D
CB
A
【例10】如图，ABC中，ABAC，BD、
CE
分别为两底角的外角平分线，ADBD于D，AECE
于E．求证：ADAE．
H
G
D
A
BC
E
【巩固】已知：AD和BE分别是ABC△的CAB∠和CBA∠的外角平分线，CDAD，CEBE，求
证：⑴DEAB∥；⑵
1
2
DEABBCCA
．
E
BA
D
C
11/18
【例11】在
ABC
中，MB、
NC
分别是三角形的外角
ABE
、
ACF
的角平分线，AMBM，
ANCN
垂足分别是M、
N
．求证：
MNBC∥
，
1
2
MNABACBC
F
E
N
M
CB
A
【巩固】在
ABC
中，MB、
NC
分别是三角形的内角
ABC
、
ACB
的角平分线，AMBM，ANCN
垂足分别是M、
N
．求证：
MNBC∥
，
1
2
MNABACBC
NM
C
B
A
【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作EABCE于，
并且)(
2
1
ADABAE，则ADCABC等于多少？
E
D
C
B
A
【例12】如图，180AD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上．
①探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系．
②探讨线段BE与CE之间的位置关系．
E
D
CB
A
12/18
版块一、倍长中线
【例1】已知：
ABC
中，AM是中线．求证：
1
()
2
AMABAC
．
M
C
B
A
【巩固】(2002年通化市中考题)在
ABC
中，
5,9ABAC
，则
BC
边上的中线AD的长的取值范围
是什么？
【例2】如图，ABC中，
D
C
B
A
【例3】如图，已知在ABC中，AD是
BC
边上的中线，E是AD上一点，延长BE交
AC
于F，
AFEF，求证：ACBE．
F
E
DC
B
A
【例4】已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底
BC于G，求证GD=GE．
13/18
G
E
D
C
B
A
【例5】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交
AC
于F．求证：
BECFEF
．
M
F
E
CB
A
【例6】在RtABC中，90A，点D为
BC
的中点，点E、F分别为AB、
AC
上的点，且
EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、
直角三角形或钝角三角形？
F
E
D
CB
A
【巩固】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果2222BMCNDMDN
，
求证222
1
4
ADABAC
．
N
M
D
CB
A
14/18
【例7】(
2008
年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在
RtABC
中，F是斜边AB的中点，D、E分别
在边
CA
、
CB
上，满足
90DFE
．若
3AD
，4BE，则线段DE的长度为_________．
F
E
D
C
B
A
版块二、中位线的应用
【例8】
AD
是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交
AC
于E．求证：
1
3
AEAC
．
F
A
D
E
CB
【例9】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接
CE
、
CD
，求证2CDEC．
E
D
C
B
A
【巩固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求
证CD=2CE
ED
B
C
A
15/18
【例10】已知：ABCD是凸四边形，且AC 交BD于N，AC和BD交于G点．求证：∠GMN>∠GNM． N M G F E D C B A 【例11】在 ABC 中，90ACB， 1 2 ACBC ，以 BC 为底作等腰直角 BCD ，E是 CD 的中点， 求证：AEEB且AEBE． E D C B A 【例12】如图，在五边形ABCDE中，90ABCAED，BACEAD，F为 CD 的中点．求证： BFEF． E DF C B A 【例13】(“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P是ABC内的一点， PACPBC，过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL． L P M D C BA 16/18 【例14】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在 ABC 中，D为AB的中点，分别延长 CA 、 CB 到点 E、F，使DEDF．过E、F分别作直线 CA 、 CB 的垂线，相交于点P，设线段PA、PB 的中点分别为M、 N ．求证： (1)DEMFDN≌； (2)PAEPBF． M N M A D E P P FE D C B A 【习题1】如图，已知ACBD，ADAC，BCBD，求证：ADBC． D C B A 【习题2】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求 证MN=MB+NC． 家庭作业 17/18 N M D C B A 【习题3】在 ABC△ 中， 3ABAC ， BAC 的平分线交 BC 于D，过B作BEAD，E为垂足，求 证：ADDE． C E D B A 【习题4】如图，在ABC中，ABBDAC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：2BC． D CB A 【习题5】如图，在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且 AEAF． 求证：EDBFDC． 18/18 D F E CB A 【习题6】如图，已知在 ABC 中，AD是 BC 边上的中线，E是AD上一点，且 BEAC ，延长BE交 AC 于F，AF与EF相等吗？为什么？ F E DC B A 【习题7】如右下图，在ABC中，若2BC，ADBC，E为 BC 边的中点．求证：2ABDE． EDCB A