线性代数试卷
预告标-谢启平
2023年2月16日发(作者：美丽的心情)。
。1
《线性代数A》试题（A卷）
试卷类别：闭卷考试时间：120分钟
考试科目：线性代数考试时间：学号：
姓名：
题号一二三四五六七总分
得分
阅卷人
一．单项选择题（每小题3分，共30分）
1．设A经过初等行变换变为B，则（）.(下面的(),()rArB分别表示矩阵,AB的秩)。
()A()()rArB；()B()()rArB；
()C()()rArB；()D无法判定()rA与()rB之间的关系。
2．设A为(2)nn阶方阵且||0A，则（）。
()AA中有一行元素全为零；()BA有两行（列）元素对应成比例；
()CA中必有一行为其余行的线性组合；()DA的任一行为其余行的线性组合。
3.设,AB是
n
阶矩阵(2n),ABO,则下列结论一定正确的是:()
();AAOBO或
()AXBB的每个行向量都是齐次线性方程组=O的解.
();CBAO
()()().DRARBn
4．下列不是
n
维向量组
12
,,...,
s
线性无关的充分必要条件是（）
()A存在一组不全为零的数
12
,,...,
s
kkk使得
1122
...
ss
kkkO；
。
。2
()B不存在一组不全为零的数
12
,,...,
s
kkk使得
1122
...
ss
kkkO
12
(),,...,
s
C的秩等于s；
12
(),,...,
s
D中任意一个向量都不能用其余向量线性表示
5．设
n
阶矩阵(3)n
1...
1...
.....
.....
...1
aaa
aaa
A
aaa
，若矩阵A的秩为1n，则
a
必为（）。
()A1；()B
1
1n
；()C1；()D
1
1n
.
6．四阶行列式
11
22
33
44
00
00
00
00
ab
ab
ba
ba
的值等于（）。
()A
12341234
aaaabbbb；()B
12341234
aaaabbbb；
()C
12123434
()()aabbaabb；()D
23231414
()()aabbaabb.
7．设A为四阶矩阵且Ab，则A的伴随矩阵*A的行列式为（）。
()Ab；()B2b；()C3b；()D4b
8．设A为
n
阶矩阵满足23
n
AAIO
，
n
I为
n
阶单位矩阵,则1A（）
()
n
AI
；()3
n
BAI；()3
n
CAI；()D3
n
AI
9．设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。
()AA与B的秩相同；()BA与B的特征值相同；
()CA与B的特征矩阵相同；()DA与B的行列式相同；
。
。3
10．设A为
n
阶矩阵,则A以0为特征值是0A的（）。
()A充分非必要条件；()B必要非充分条件；
()C既非充分又非必要条件；()D充分必要条件；
二．填空题（每小题3分，共18分）
1．计算行列式
0004
0043
0432
4321
。
2.
100123100
010456001
001789010
_______________________。
3．二次型
123122331
(,,)fxxxxxxxxx对应的对称矩阵为。
4．已知
1
(0,0,1)，22
2
22
(,,0)，22
3
22
(,,0)是欧氏空间3的一组标准正交基，
则向量(1,1,1)在这组基下的坐标为。
5．已知矩阵
741
471
44
A
x
的特征值为
12
3(),12,二重则
x
___________。
6．设
123
,,均为3维列向量，记矩阵
123
,,A，
123123
(,24B
123
,39)。如果||1A，则||B。
三．(8分)
23121
120,10,
10331
ABAXB
,求X。
。
。4
四．（10分）设向量组
1
(1,1,2,3)T，
2
(1,1,1,1)T，
3
(1,3,3,5)T，
4
(4,2,5,6)T，
5
(3,1,5,7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。
五．（12分）讨论线性方程组
123
123
123
2
1
1
xxpx
xpxx
pxxx
解的情况，并在有无穷多解时求其解。
。
。5
六．（14分）设
124
222
421
A
，（1）、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵T，
使得1TAT为对角矩阵。
七．（8分）对任意的矩阵A,证明：
(1)TAA为对称矩阵,TAA为反对称矩阵；
(2)A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。
《线性代数A》参考答案（A卷）
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
BCDABDCCCD
二、填空题（每小题3分，共18分）
。
。6
1、256；2、
132
465
798
；3、
11
22
11
22
11
22
0
0
0
；
4、
1,2,0
；5、4；6、2。
三．解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此1XAB.为了求
1AB,可利用下列初等行变换的方法：
2310
121
121
10278
10144
001103
―――――（6分）
所以1
278
144
103
XAB
.―――――（8分）
四．解：对向量组
12345
,,,,作如下的初等行变换可得：
12345
1114311143
1132102262
(,,,,)
2135501131
3156702262
1114310212
――――（5分）
从而
1234
,,,,的一个极大线性无关组为
12
,，故秩
12345
{,,,,}＝2（8分）
。
。7
且
312
2，
412
3，
512
2――――（10分）
五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：
22
112112112
111
112
01134
00(2)(1)42
ppp
ppppp
ppppppp
p
pp
ppp
(分)
(1)当10,(2)(1)0,ppp且时即1,2,pp且时系数矩阵
与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分）
(2)当1,p时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无
解.――――（6分）
(3)当2,p时此时方程组有无穷多组解.
方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
2
1
2
1011
01118
0000
（分）
故原方程组与下列方程组同解:
13
23
1
1
xx
xx
令
3
0,x可得上述非齐次线性方程组的一个特解
0
(1,1,0)T;
它对应的齐次线性方程组13
23
0
0
xx
xx
的基础解系含有一个元素,令
。
。8
3
1,x可得
1
(1,1,1)T为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基
础解系.
此时原方程组的通解为
001101
,,.kkkk这里为任意常数――――（12分）
六．解：（1）由于A的特征多项式
2
124
||222(3)(6)
421
IA
故A的特征值为
1
3（二重特征值），
3
6。――――（3分）
当
1
3时，由
1
()IAXO，即：
1
2
3
4240
2120
4240
x
x
x
得
基础解系为
12
[1,2,0],[1,0,1]TT，故属于特征值
1
3的所有
特征向量为
1122
kk,
12
,kk不全为零的任意常数。――――（6分）
当
3
6时，由
3
()IAXO，即：
1
2
3
5240
2820
4250
x
x
x
得基
础解系为
3
[2,1,2]T，故属于特征值
2
6的所有特征向量为
33
k,
3
k
为非零的任意常数。
------(8分)
(2)将
12
,正交化可得：
21
11221
11
,
42
[1,2,0],[,,1]
,55
TT
。
再将其单位化得：
。
。9
12
12
12
52545255
,,0,,,
5515153
TT
将
3
单位化得：
3
212
,,
333
T
。――――（12分）
则
123
,,是A的一组单位正交的特征向量，令
545
2
5153
2525
1
123
5153
5
2
33
,,
0
T
则T是一个正交矩阵，且1
3
3
6
TAT
。――――（14分）
七．证明：(1)因为
()()TTTTTTAAAAAA
,因此TAA
为对称矩阵。
――――（2分）
同理,因为
()()()TTTTTTTAAAAAAAA
,因此
TAA为反对称矩阵。――――（4分）
(2)因为
11
()(),
22
TTAAAAA
――――（6分）
而由(1)知
1
()
2
TAA
为对称矩阵,
1
()
2
TAA
为反对称矩阵,因此任
何矩阵A都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。――――（8
分）
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教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
。
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