诸暨中学

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2023年2月13日发(作者：)

诸暨中学2020学年高二期中考试数学试卷

2020.11

命题教师王屠军

一．选择题（本大题共

10

题，每小题

4

分，共

40

分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.如果直线l的倾斜角为

6



，则该直线的斜率为（）

2

1

.A

3

3

.B

2

3

.C

3.D

2.若边长为2的正

111

CBA是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）

3.A6.B32.C62.D

3.已知双曲线方程为：1

2

2

2

y

x，则下列叙述正确的是（）

.A焦点)0,1(F

.B渐近线方程：xy2

.C离心率为2

.D实轴长为22

4.3k是方程1

43

22







k

y

k

x

表示椭圆的（）条件（）

.A充分不必要条件.B必要不充分条件.C充要条件.D既不充分也不必要条件

5.若实数yx,满足线性约束条件

















1243

0

0

yx

y

x

，则

yxz)

2

1

(2的最大值为（）

3.A4.B8.C16.D

6.设P是直线l外一定点，过点P且与l成60角的异面直线（）

.A有无数条.B有两条.C至多有两条.D仅一条

7.下列命题正确的是)(

.A若三条直线两两平行，则过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c平行

.B

平面内有无数个点到平面的距离相等，则//

.C

如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直平面

.D如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和该斜线在这个平面内的射影垂直

8.已知圆)0(02:22aayyxM截直线0yx所得线段的长度是22，则圆M与

圆1)1()1(:22yxN的位置关系是（）

.A内切.B相交.C外切.D相离

9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，FE,分别是CDBC,的中点，H为EF的中点，

沿FAEFAE,,将正方形折起，使DCB,,重合于点O，在构成的四面体AEFO中，下列

结论错误的是（）

.AAO平面EOF

.B直线AH与平面EOF所成角的正切值为22

.C异面直线OH与AE所成角的余弦值为

10

10

.D四面体AEFO的内切球表面积为

10.

已知点P是正四面体ABCV侧面VBC上一点，且点P到底面ABC的距离与它到顶

点V的距离相等，则动点P的轨迹是（）

.A线段.B圆的一部分.C椭圆的一部分.D双曲线的一部分

二．填空题：本大题共

7

小题，多空题每题

6

分，单空题每题

4

分，共

36

分。

11.原命题：若,,,022Ryxyx则0,0yx

.

则原命题的逆否命题为：____________________________;并判断该命题的真假为________.

12.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图

是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的

侧面积为_________________；

体积为_______________。

13.直线:

1

l

,013yax与

:2

l

01)1(2yax

若

21

//ll，则实数_____a；若

1

l

2

l,则实数.______a

14.已知直线:l

,01mymx则此直线必过定点

;__________设直线l与圆5)1(:22yxC交于BA,两点，则弦AB的中点M的轨迹

方程为._________________

15.在棱长为2的正方体

1111

DCBAABCD中，P是

11

BA的中点，过点

1

A作与平面

1

PBC平

行的截面，则此截面的面积是_______.

16.设直线l:1xy与椭圆:C

)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

相交于BA,两点，与x轴相交于左

焦点F，且FBAF3,

则椭圆的离心率._____e

17.点P在椭圆:

1

C

1

34

22



yx

上，F为右焦点，点Q在圆:

2

C

0218622yxyx

上，则PFPQ的最小值为.________

三．解答题：本大题共

5

小题，共

74

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(本题满分14分）在ABC中，已知)2,3(),1,1(BA

（1）若直线l过点),0,2(M且点BA,到l的距离相等，求直线l的方程。

（2）若直线m：062yx为C的平分线，求直线BC的方程。

19.

（本题满分

15

分）如图，在三棱锥ABCP中，

PCAB,,CBCA

M是AB的中点，点N在棱PC上，

点D是BN的中点，

求证：（

1

）//MD平面PAC,

)2(平面ABN平面PMC.

20.（本题满分15分）已知双曲线C:)0,0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的离心率为3，点)0,3(

是双曲线的一个顶点。

（1）求双曲线的方程；

（2）经过双曲线的右焦点

2

F作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点BA,，

求AB的长。

21.(本题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面

ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求直线PA与平面ABCD所成角的大小;

(2)求证：PB⊥平面EFD;

(3)求二面角C-PB-D的大小.

22．（本小题满分15分）如图,已知椭圆C：)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的上顶点为(0,1)A,

离心率为

2

2

.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点A作圆22

21:ryxM的两条切线,记切

点分别为TS,，令,1r求此时两切点连线ST的方程；

(3)若过点A作圆22

21:ryxM的两条切线分别与

椭圆C相交于点,BD(不同于点A).当r变化时,试问直线

BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明

理由。

诸暨中学2020学年高二期中考试数学试卷答案

一．选择题（本大题共

10

题，每小题

4

分，共

40

分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1~

ACBDC

二．填空题：本大题共

7

小题，多空题每题

6

分，单空题每题

4

分，共

36

分。

11.若,0x或0y，Ryx,，则022yx；也可以说成：若yx,不全为零，则

;022yx真命题.

12.21616；.

3

64

13.;3

.

5

3



14.);1,1(

4

1

)1()

2

1

(22yx

15..62

16..

2

2

17..652

三．解答题：本大题共

5

小题，共

74

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.解：（1）点BA,到L的距离相等，直线L过线段AB的中点或ABl//。

①当直线l过线段AB的中点)

2

1

,2(N时，斜率不存在，则l的方程为;2x

4......分

②当ABl//时，斜率

2

3

13

12









AB

kk，则l的方程为),2(

2

3

0xy即

0623yx

综上l的方程为2x或.0623yx

8......................分。

(2)直线m为C的平分线，所以点A关于直线m的对称点\'A

),(ba在直线BC上，则

有



























2

1

1

1

06

2

1

2

1

2

a

b

ba

，解得











1

5

b

a

，即)1,5(\'A,直线BC的斜率

2

1

35

)2(1







k，直线BC的方程为)5(

2

1

1xy，即.072yx

14........分

19.解（1）在ABN中M是AB的中点，D是BN的中点所以由中位线知ANMD//,

又因为AN平面PAC,MD平面PAC,所以//MD平面.PAC7.........分

(2)在ABC中，,CBCA

M是AB的中点，所以.MCAB又因为

PCPCAB,平面MCPMC,平面PMC,CMCPC,所以AB平面PMC.又

因为AB平面ABN,所以平面ABN平面.PMC15..........分

20.解;(1)因为双曲线)0,0(1:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的离心率为3，点)0,3(是双曲线的

一个顶点，所以,

3

3















a

a

c

解得6,3bc，所以双曲线的方程为.1

63

22



yx

5.......分

（2）双曲线1

63

22



yx

的右焦点为)0,3(

2

F，所以经过双曲线右焦点

2

F且倾斜角为

30的直线方程为)3(

3

3

xy，联立双曲线方程整理得027652xx，设

),,(),,(

2211

yxByxA则由韦达定理得















5

27

5

6

21

21

xx

xx

，所以

3

1

1AB.

5

316

)

5

27

(4)

5

6

(2

15.......分

21.证明：

(1)

侧棱PD⊥底面ABCD

…,

则

…AD为直线PA在平面ABCD上的射影，故PAD

为所求。在等腰PADRT中，易得

45PAD…………3分

(2)侧棱PD⊥底面ABCD,BC平面ABCD,PDBC,又

BCDC,PDDCD,BC平面PDC,BCDE,易知

DEPC,BCPCC,DE平面PBC,PB平面PBC,EDPB又

PBEF,DEEFEPB平面EFD………………………9

分

解

:(3)由

(2)

知,EFPBDFPB,EFD为二面角EPBD的平面

角

,

也即二面角CPBD的平面角

.

在DEF中，不妨设PDDCa，则

2

2

DEa，

6

6

EFa，

6

3

DFa，由余弦定理得：

2221

cos

22

EFDFDE

EFD

EFDF







，二

面角CPBD的大小为60



。………………………15分

22.

解：（1）由已知可得

,































2

1

2

1

1

2

2

2

2

a

b

a

b

b

,所求椭圆的方程为1

2

2

2

y

x

--------------------3

分

(2)法一，数形结合易知，切线AS的方程为,1y切线AT的方程为0x，故

切点)0,0(),1,1(TS,所以切点ST连线的方程为,xy即0yx

分7........

法二设圆上切点),(

11

yxS，过该切点的圆的切线方程为

1)1()1(

11

yyxx，又因为过点)1,0(A所以有01)10()1(

11

yx，即

1

1

1

yx同理设另一个切点

),(

22

yxT

，由同构可知0

22

yx，经过不同两点有且

只有一条直线，所以ST的直线方程为0yx

7.......分

法三TS,在AM为直径的圆：

2

1

)

2

1

()

2

1

(22yx上，由两圆相减得ST的

方程为0yx

7........分

法四，也可直接设切线,1kxy并讨论斜率去做。（相应给分）

（3）法一设切线方程为1ykx，则r

k

k







21

|1|

，即

222(1)210rkkr，

(由0得)1,20(rr

设两切线,ABAD的斜率为

1212

,()kkkk，则

12

,kk是上述方程的两根，所以

12

1kk；------------------------------------10分

联立











22

1

22yx

kxy

可得04)k2122kxx（

,设1122

(,),(,)BxyDxy

则由韦达定理得,

21

4

2

1k

k

x







2

2

121

21

k

k

y





；12............分

由

12

1kk

得

,

2

4

2

2k

k

x







2

2

2

2

2





k

k

y

，

直线

BD

的斜率k

k

xx

yy12

12

12











直线

BD

的方程为

)

21

4

(

1

12

12

2

2

2

2

k

k

x

k

k

k

k

y















整理得

3

12





x

k

k

y

，

14..........

分

故直线

BD

过定点

).3,0(

15...............

分

法二设切线方程为1ykx，则r

k

k







21

|1|

，即

222(1)210rkkr，

设两切线,ABAD的斜率为

1212

,()kkkk，则

12

,kk是上述方程的两根，所以

12

1kk；------------------------------------10分

可设

BD

的直线方程为tmxy











2222yx

tmxy

可得0224)m21222ttmxx（

,设1122

(,),(,)BxyDxy

,

由韦达定理得

2

2121

4

m

tm

xx



，

2

2

21m21

2t2





xx，-----------------12分

1

11

2

2

1

1

21











x

y

x

y

kk代入1

11

2

2

1

1







x

tmx

x

tmx

0)1())(1()12

2121

2txxtmxxm（

将韦达定理代入得

0)1(

21

4

)1(

21

)12

)12

22

2

2











t

m

tm

tm

m

t

m

（

（

化简得3t

或

1t

(

舍去

)

14...........

分

故直线BD的直线方程为3ymx

,

直线

BD

经

过定点），（3-0.

--------------15分