概率c公式
-9的正确写法
2023年2月16日发(作者：天津律管)一、随机事件和概率
1、随机事件及其概率
运算律名称表达式
交换律ABBABAAB
结合律
CBACBACBA)()(ABCBCACAB)()(
分配律
ACABCBA)())(()(CABABCA
德摩根律
BABABAAB
2、概率的定义及其计算
公式名称公式表达式
求逆公式
)(1)(APAP
加法公式
)()()()(ABPBPAPBAP
条件概率公式
)(
)(
)(
AP
ABP
ABP
乘法公式
)()()(ABPAPABP)()()(BAPBPABP
全概率公式
n
i
ii
ABPAPBP
1
)()()(
贝叶斯公式
（逆概率公式）
1
)()(
)()(
)(
i
ij
jj
j
ABPAP
ABPAP
BAP
伯努力概型公式nkppCkPknkk
nn
,1,0,)1()(
两件事件相互独立相应
公式
)()()(BPAPABP；)()(BPABP；
)()(ABPABP
；
1)()(ABPABP
；
1)()(ABPABP
二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
)()(bFbXP)()()(aFbFbXaP
2、散型随机变量
分布名称分布律
0–1分布),1(pB1,0,)1()(1kppkXPkk
二项分布
),(pnB
nkppCkXPknkk
n
,,1,0,)1()(
泊松分布
)(P
,2,1,0,
!
)(k
k
ekXP
k
几何分布)(pG,2,1,0,)1()(1kppkXPk
超几何分布
),,(nMNH
),min(,,1,,)(Mnllk
C
CC
kXP
n
N
kn
MN
k
M
3、续型随机变量
分布名称密度函数分布函数
均匀分布),(baU
其他,0
,
1
)(
bxa
ab
xf
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
,1
,
,0
)(
指数分布)(E
其他,0
0,
)(
xe
xf
x
0,1
0,0
)(
xe
x
xF
x
正态分布),(2N
xexf
x
2
2
2
)(
2
1
)(
x
t
texFd
2
1
)(2
2
2
)(
标准正态分布)1,0(N
xex
x
2
2
2
1
)(
x
t
texFd
2
1
)(2
2
2
)(
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
jj
ijjiii
pyYxXPxXPp),()(
ii
ijjijj
pyYxXPyYPp),()(
2、离散型二维随机变量条件分布
2,1,
)(
),(
)(
i
P
p
yYP
yYxXP
yYxXPp
j
ij
j
ji
ji
ji
2,1,
)(
),(
)(
j
P
p
xXP
yYxXP
xXyYPp
i
ij
i
ji
ij
ij
3、连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数
xy
dvduvufyxF),(),(
4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数：
x
X
dvduvufxF),()(密度函数：
dvvxfxf
X
),()(
y
Y
dudvvufyF),()(
duyufyf
Y
),()(
5、二维随机变量的条件分布
y
xf
yxf
xyf
X
XY
,
)(
),(
)(x
yf
yxf
yxf
Y
YX
,
)(
),(
)(
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量：
1
)(
k
kk
pxXE连续型随机变量：
dxxxfXE)()(
2、数学期望的性质
(1)为常数C,)(CCE)()]([XEXEE)()(XCECXE
(2))()()(YEXEYXEbXaEbaXE)()()()()(
1111nnnn
XECXECXCXCE
(3)若XY相互独立则：
)()()(YEXEXYE
(4))()()]([222YEXEXYE
3、方差：)()()(22XEXEXD
4、方差的性质
(1)
0)(CD0)]([XDD)()(2XDabaXD2)()(CXEXD
(2)
),(2)()()(YXCovYDXDYXD
若XY相互独立则：
)()()(YDXDYXD
5、协方差：
)()(),(),(YEXEYXEYXCov
若XY相互独立则：
0),(YXCov
6、相关系数：
)()(
),(
),(
YDXD
YXCov
YX
XY
若XY相互独立则：0
XY
即XY不相关
7、协方差和相关系数的性质
(1)
)(),(XDXXCov),(),(XYCovYXCov
(2)
),(),(),(
2121
YXCovYXCovYXXCov),(),(YXabCovdbYcaXCov
8、常见数学分布的期望和方差
分布数学期望方差
0-1分布
),1(pB
p
)1(pp
二行分布
),(pnB
np
)1(pnp
泊松分布
)(P
几何分布
)(pG
p
1
2
1
p
p
超几何分布
),,(nMNH
N
M
n
1
)1(
N
mN
N
M
N
M
n
均匀分布
),(baU
2
ba
12
)(2ab
正态分布
),(2N
2
指数分布
)(E
1
2
1
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若,)(,)(2XDXE对于任意
0有
2
)(
})({
XD
XEXP或
2
)(
1})({
XD
XEXP
2、大数定律：若
n
XX
1
相互独立且n时，
n
i
i
D
n
i
i
XE
n
X
n
11
)(
11
(1)若
n
XX
1
相互独立，2)(,)(
iiii
XDXE且M
i
2则：
n
i
i
P
n
i
i
nXE
n
X
n
11
)(),(
11
(2)若
n
XX
1
相互独立同分布，且
ii
XE)(
则当n时：
P
n
i
i
X
n
1
1
3、中心极限定理
(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为
02的独立同分布时，当n充分大时有：
)1,0(~
1N
n
nX
Y
n
k
k
n
(2)拉普拉斯定理：随机变量
),(~)2,1(pnBn
n
则对任意x有：
x
t
n
x
xdtex
pnp
np
P)(
2
1
}
)1(
{lim2
2
(3)近似计算：
)()()()(1
1
n
na
n
nb
n
nb
n
nX
n
na
PbXaP
n
k
k
n
k
k
六、数理统计
1、总体和样本
总体X的分布函数
)(xF
样本
),(
21n
XXX的联合分布为
)(),(
1
21k
n
k
n
xFxxxF
2、统计量
(1)样本平均值：
n
i
i
X
n
X
1
1
(2)样本方差：
n
i
i
n
i
i
XnX
n
XX
n
S
1
2
2
1
22)(
1
1
)(
1
1
(3)样本标准差：
n
i
i
XX
n
S
1
2)(
1
1
(4)样本k阶原点距：2,1,
1
1
kX
n
A
n
i
k
ik
(5)样本k阶中心距：
n
i
k
ikk
kXX
n
MB
1
3,2,)(
1
(6)次序统计量：设样本),(
21n
XXX的观察值),(
21n
xxx，将
n
xxx
21
,按照由小到大的次序重新排列，得到
)()2()1(n
xxx，记取值为
)(i
x的样本分量为
)(i
X，则称
)()2()1(n
XXX为样本),(
21n
XXX的次序统计
量。),min(
21)1(n
XXXX为最小次序统计量；),max(
21)(nn
XXXX为最大次序统计量。
3、三大抽样分布
(1)2分布：设随机变量
n
XXX
21
,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N，则随机变量22
2
2
1
2
n
XXX
所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为)(~22n
性质：①nnDnnE2)]([,)]([22②设)(~),(~22nYmX且相互独立，则)(~2nmYX
(2)t分布：设随机变量)(~),1,0(~2nYNX，且X与Y独立，则随机变量：
nY
X
T所服从的分布称为自由度
的n的t分布，记为
)(~ntT
性质：①
)2(,
2
)]([,0)]([
n
n
n
ntDntE
②2
2
2
)(
2
1
)1,0()(lim
x
n
eNnt
(3)F分布：设随机变量)(~),(~
2
2
1
2nVnU，且
U
与
V
独立，则随机变量
2
1
21
),(
nV
nU
nnF所服从的分布称为
自由度
),(
21
nn的F分布，记为),(~
21
nnFF
性质：设
),(~nmFX
，则),(~
1
mnF
X
七、参数估计
1、参数估计
(1)定义：用
),,(
21n
XXX
估计总体参数，称
),,(
21n
XXX
为的估计量，相应的
),,(
21n
XXX
为总体
的估计值。
(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值
2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）
离散型样本均值：
n
i
i
X
n
XEX
1
1
)(连续型样本均值：dxxxfXEX
),()(
离散型参数：
n
i
i
X
n
XE
1
22
1
)(
3、点估计中的最大似然估计
最大似然估计法：
n
XXX,,
21
取自X的样本，设)]()()[,(~PXXPxfX
i
或则可得到概率密度：
])()(),,([),(),,,(
11
21
1
21
n
i
i
n
i
inn
n
i
in
PxXPxXXXXPxfxxxf或
基本步骤：
①似然函数：])([),()(
11
n
i
i
n
i
i
PxfL或
②取对数：
n
i
i
XfL
1
),(lnln
③解方程：0
ln
,,0
ln
1
k
LL
最后得：
),,(,),,,(
2121
11
n
kk
n
xxxxxx