高等数学题库

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2023年2月16日发(作者：塞思黑)

《高等数学》练习题库

计算数学教研室吴果林

一．选择题

1.函数y=

1

1

2x

是（）

A.偶函数B.奇函数C单调函数D无界函数

2.设f(sin

2

x

)=cosx+1,则f(x)为（）

A2x2－2B2－2x2C1＋x2D1－x2

3．下列数列为单调递增数列的有（）

A．0.9，0.99，0.999，0.9999B．

2

3

，

3

2

，

4

5

，

5

4

C．{f(n)},其中f(n)=















为偶数，

为奇数

n

n

n

n

n

n

1

,

1

D.{

n

n

2

12

}

4.数列有界是数列收敛的（）

充分条件B.必要条件

C.充要条件D既非充分也非必要

5．下列命题正确的是（）

A．发散数列必无界B．两无界数列之和必无界

C．两发散数列之和必发散D．两收敛数列之和必收敛

6．设

kxf

xx





)(lim

0

，(k为常数)则（）

A.f(x)在点x

0

有定义B.f(x)在点x

0

无定义

C.f(x)在点x

0

的某去心邻域内有界D.f(x)-k

7.在x

0

处函数f(x)的左右极限存在且相等即f(x

0

-0)=f(x

0

+

0)是x



x

0

时f(x)有极限

的（）

A.必要条件B.充分条件

C.充分必要条件D.无关条件

8．下列说法正确的是（）

A.无穷小是一个很小的数B.无穷大是一个很大的数

C.无穷大是无界的量D.无界的量是无穷大量

9．函数

12xy

在区间

]2,2[

上是（）

A单调增加B单调减少

C先单调增加再单调减少D先单调减少再单调增加

10．设

4

1

sin

lim

0



x

kx

n

，则K为（）

A.1B.2C.1/4D.4

11．





1

)1sin(

lim

2

1x

x

x

（）

A.1B.0C.2D.1/2

12．设





x

xx

k

)1(lim

e6则k=()

A.1B.2C.6D.1/6

13.当x



1时，下列与无穷小（x-1）d等价的无穷小是（）

A.x2-1B.x3-1C.(x-1)(x-1)

14.f(x)在点x=x

0

处有定义是f(x)在x=x

0

处连续的（）

A.必要条件B.充分条件

C.充分必要条件D.无关条件

15、当|x|<1时，y=（）

A、是连续的B、无界函数

C、有最大值与最小值D、无最小值

16、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）

为（）

A、B、eC、-eD、-e-1

17、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）

A、xarctan1/xB、arctan1/x

C、tan1/xD、cos1/x

18、设f(x)在点x

0

连续，g(x)在点x

0

不连续，则下列结论成立是（）

A、f(x)+g(x)在点x

0

必不连续

B、f(x)×g(x)在点x

0

必不连续须有

C、复合函数f[g(x)]在点x

0

必不连续

D、在点x0

必不连续

在区间(-∞,+∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（）19、设f(x)=

A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0

C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜0

20、若函数f(x)在点x

0

连续，则下列复合函数在x

0

也连续的有（）

A、B、

C、tan[f(x)]D、f[f(x)]

21、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）

A、[0,л]B、（0,л）

C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）

22、在闭区间[a,b]上连续是函数f(x)有界的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、无关条件

23、f(a)f(b)＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、无关条件

24、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）

A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1

C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+1

25、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）

A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/2

26、y=|x-1|在x=1处（）

A、连续B、不连续C、可导D、斜率为0

27、曲线y=x3-3x上切线平行x轴的点有（）

A、（0，0）B（1，0）C、（-1，2）D、（1，-2）

28、在下列点中，函数f(x)=+tanx+(x-1)可导的点有（）

A、x=0B、x=1C、x=л/2D、x=л

29、曲线y=sinx+cosx在x=л/4处的切线方程为（）

C、x=D、y-=(x-л/4)A、y=0B、y=

30、曲线y=x-1/x与x轴的交点处的切线方程为（）

A、2x+y=2B、2x-y=2C、2x-y+1=0D、2x+y-2=0

31、若直线y=x与对数曲线y=log

a

x相切，则（）

A、eB、1/eC、exD、e1/e

32、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）

A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=0

33、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）

A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)

34、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x

0

)=a，则f`(-x

0

)=（）

A、aB、-aC、|a|D、0

35、设y=㏑，则y’|x=0=（）

A、-1/2B、1/2C、-1D、0

36、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）

A、-1B、0C、1D、不存在

37、设yf(x)=㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）

A、0B、1/㏑2C、1D、㏑2

38、已知y=sinx，则y(10)=（）

A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx

39、已知y=x㏑x，则y(10)=（）

A、-1/x9B、1/x9C、8.1/x9D、-8.1/x9

40、若函数f(x)=xsin|x|，则（）

A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0)=∞D、f``(0)=л

41、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|

x=0

=（）

A、-1B、0C、л/2D、2

42、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）

A、-1B、0C、1D、2

43、函数f(x)在点x

0

连续是函数f(x)在x

0

可微的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、无关条件

44、函数f(x)在点x

0

可导是函数f(x)在x

0

可微的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、无关条件

45、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）

A、0B、-dxC、dxD、不存在

46、设du=xdx，则V=（）

A、-x2B、x2C、x2+cD、x2/2+c（c为任意常数）

47、设V（0）=0，du=xdx，则V=（）

A、-x2B、x2C、x2/2D、x2/2+c（c为任意常数）

48、罗尔定理的三个条件是其法论成立的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充分必要条件D、无关条件

49、设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，不用求导数，即可知方程，f`(x)=0的根的情

况是（）

A、至少有四个根，x

1

=1,x

2

=2,x

3

=3,x

4

=4

B、仅有四个根，x

1

=1,x

2

=2,x

3

=3,x

4

=4

C、在三区间(1,2),(2,3),(3,4)内分别有一个根

D、在三区间(1,2),(2,3),(3,4)内分别至少有一个根

50、罗必塔法则的条件是其法论成立的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充分必要条件D、无关条件

51、极限

)

ln

1

1

(lim

1xx

x

x





的未定式类型是（）

A、0/0型B、∞/∞型C、∞-∞D、∞型

52、极限

0

1

2)

sin

lim(

x

x

x

x

的未定式类型是（）

A、00型B、0/0型C、1∞型D、∞0型

53、极限

x

x

x

xsin

1

sin

lim

2

0

=（）

A、0B、1C、2D、不存在

54、xx

0

时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx

0

的（）

A、（n+1）阶无穷小B、n阶无穷小

C、同阶无穷小D、高阶无穷小

55、若函数f(x)在[0,+∞]内可导，且f`(x)＞0，xf(0)＜0则f(x)在[0,+∞]

内有（）

A、唯一的零点B、至少存在有一个零点

C、没有零点D、不能确定有无零点

56、若a2-3b＜0，则方程x3+ax2+bx+c=0（）

A、无实根B、有唯一实根

C、有两个实根D、有三个实根

57、方程x3-3x2+m=0在[-1,1]内（）

A、有唯一实根B、至多有一实根

C、至少有一实根D、恰有两个实根

58、函数y=x3+12x2+1在定义域内（）

A、单调增加B、单调减少

C、有驻点D、有极值点

59、函数f(x)=|sinx|在（-л,л）内的极值点有（）

A、0个B、1个C、2个D、3个

60、函数f（x）在(-∞,+∞)内有定义，又x

0

是极大值点，则（）

A、x

0

是f(x)的驻点

B、-x

0

是-f(-x)的极小值点

C、f（x）≤f（x

0

）x∈(-∞,+∞)

D、-x

0

是-f(x)的极小值点

61、设

ax

lim(f(x)-f(x))/(x-a)2=-1，则在点x=a（）

A、f(x)的导数存在，且f`(a)=0B、f(x)取得极大值

C、f(x)取得极小值D、f(x)的导数不存在

62、设f(x)=x7+x，则f(x)在[0,1]上（）

A、有极小值0B、有极大值

C、有最小值0D、无最大值

63、函数y=x3+12x+1在定义域为（）

A、单调增加B、单调减少

C、图形上凹D、图形下凹

64、关于曲线y=3x5-5x3的说法不正确的是（）

A、有水平渐近线B、有两个极限

C、有三个拐点D、无斜渐近线

65、函数(x3+4)/x2的图形在（0,+∞）内（）

A、单调上升B、向上凸

C、有极小值点（2，3）D、有拐点（2，3）

66、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）

A、2B、1/2C、1D、0

67、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）

A、0B、1/2C、1D、2

68、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）

A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对

69、若∫f(x)dx=2ex/2+C=（）

A、2ex/2B、4ex/2C、ex/2+CD、ex/2

70、∫xe-

xdx=（D）

A、xe-

x-e-

x+CB、-xe-

x+e-

x+C

C、xe-

x+e-

x+CD、-xe-

x-e-

x+C

71、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-ndx（）

A、不含有对数函数B、含有反三角函数

C、一定是初等函数D、一定是有理函数

72、∫

-1

0|3x+1|dx=（）

A、5/6B、1/2C、-1/2D、1

73、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）

A、лB、2лC、4лD、6л

74、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）

A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/15

75、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）

A、B、2C、31/2D、21/2

76、设a,b为任意两向量，U=a+b,V=a-b,则(u+v)/|u+v|表示（）

A、与a方向相同的单位向量

B、与b方向相同的单位向量

C、与a平行的非单位向量

D、与b平行的非单位向量

77、在球面(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1内的点有（）

A、（1，0，0）B、（0，1，0）

C、（2，1，1）D、（1/2，1/2，1）

78、绕着过点（1，0，0）且平行Z轴的直线旋转，半径为2的圆柱面方程是（）

A、(x-1)2+z2=4B、(x-2)2+z2=1

C、x2+(y-1)2=4D、(x-1)2+y2=4

79、球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在平面xoy上的投影为（）

A、x2+(y-1)2=9B、x2+(y-1)2=5

C、x2+(y-1)2≤9D、x2+(y-1)2≤5

80、下列平面方程中，过点M（0，3，1）的平面方程是（）

A、4x-3y-z=0B、-3y-z=1

C、y-3z=0D、-3y-z=0

81、在平面的截距式方程x/a+y/b+z/c=1中，截距a,b（）

A、全不为零B、不全为零

C、全大于零D、大于或等于零

82、平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角的余弦值为（）

A、1/3B、1/31/3C、1/(3×31/3)D、-1/(3×31/3)

83、已知点P（1，3，-4）关于平面л:3x+y-2z=0的对称点Q的坐标是（）

A、（5，-1，0）B、（5，1，0）

C、（-5，-1，0）D、（-5，1，0）

84、平面2x+3y+6z-35=0和平面2x+3y+6z-56=0的位置关系是（）

A、垂直B、平行且相距C、斜交D、平行且相距

85、两直线L1:x=t+1,y=2t-1,z=t；及L2：x=t+2，y=2t-1，z=t+1间的距离为（）

A、2/3B、2/(3×31/2)C、1D、2

86、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）

A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=2

87、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）

A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线

88、方程=0所表示的图形为（）

A、原点（0，0，0）B、三坐标轴

C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面

89、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）

A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线

90、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（）

A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面

二、填空题。

1、Y=(x2+1)1/3的反函数是（）

2、Y=1+㏒(x+2)的反函数是（）

3、Y=1+2sin(x-1)/(x+1)反函数是（）

4、求极限

x

lim3x/(x+2)=（）

5、求极限

x

limx/(x2+1)=（）

6、求极限

x

lim(4x2+1)/(3x2+1)=（）

7、求极限

x

lim3x/(x+2)=（）

8、求极限

x

lim1/(x+1)=（）

9、求极限

x

lim(1-1/x)=（）

10、求极限

2

lim

x

(x-2)/(x2-4)=（）

11、求极限

1

lim

x

(x2+2x+5)/(x2+1)=（）

12、求极限

0

lim

x

[(x3-3x+1)/(x-4)+1]=（）

13、求极限

2

lim

x

x-2/(x+2)1/2=（）

14、求极限

x

lim[x/(x+1)]x=（）

15、求极限

0

lim

x

(1-x)1/x=（）

16、已知y=sinx-cosx，求y`|

x=л/6

=（）

17、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ|

ψ=л/6=（）

18、已知f(x)=3/5x+x2/5，求f`(0)=（）

19、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）

20、函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）

21、函数y=2x3极小值与极大值分别是（）

22、函数y=x2-2x-1的最小值为（）

23、函数y=2x-5x2的最大值为（）

24、函数f(x)=x2e-x在[-1,1]上的最小值为（）

25、点（0，1）是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有b=（）c=（）

26、曲线y=㏑(secx)在点（x,y）处的曲率为k=（）xcos

27、半径为R的圆周的曲率为（）

28、曲线y=sinx上点（л/2，1）处的曲率为（）

29、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）

30、∫dx/x2=（）

31、∫xx1/2dx=（）

32、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)=（）

33、若∫f(x)dx=x2e2x+c，则f(x)=()

34、d/dx∫a

barctantdt=（）

35、已知函数f(x)=

















0,

0,0

2

2

)1(

1

xa

x

x

tdte

x在点x=0连续，则a=（）

36、∫0

2(x2+1/x4)dx=（）

37、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

38、∫031/2adx/(a2+x2)=（）

39、∫0

1dx/(4-x2)1/2=（）

40、∫л/3

л

sin(л/3+x)dx=（）

41、∫-2

1dx/(11+5x)3=（）

42、∫0

л/2sinψcos3ψdψ=（）

43、∫0

л(1-sin3θ)dθ=（）

44、∫л/6

л/2cos2u=（）

45、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

46、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

47、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

48、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

49、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

50、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

51、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=()

52、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

53、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

54、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

55、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

56、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

57、∫4

9x1/2(1+x1/2)dx=（）

58、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为()

59、设f(x)=[x]+1，则f（л+10）=（）

60、函数Y=|sinx|的周期是（）

61、

n

lim(1+2+3…+(n-1)/n2=（）

62、

0

lim

x

xcotx=（）

63、设函数Y=㏑cos(2x)1/2，则y`=（）

64、设y=f(u)可微，u=sinx-xcosx，则dy＝（）

65、求极限

0

lim

x

xcot2x=（）

66、求极限

0

lim

x

xsinx=（）

67、函数y=x1/x的极值为（）

68、函数y=x+tanx的极值为（）

69、求曲线2y(x+1)2=x3的渐近线（）

70、求曲线(y+x+1)2=x2+1的渐近线（）

71、曲线(x-1)2+(y-2)2=16上点（1，6）处的曲率为（）

72、抛物线y=4x-x2在其顶点处的曲率中心为()

73、∫dx/x=（）

74、若∫f(x)dx=x2e2x+c，则f(x)=（）

75、∫x3dx/(9+x2)=（）

76、∫㏑xdx=（）

77、∫x3dx/(x+3)=（）

78、∫㏑3xdx=



（）

79、

3/

sin(x+л/3)dx=（）

80、∫0

1xarctanxdx=（）

81、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）

82、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）

83、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）

84、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）

85、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是

（）

86、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）

87、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是()

88、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）

89、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）

90、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）

91、求点（1，2，1）到平面x+2y-2z-1=0的距离为（）

92、过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程为（）

93、过两点M1(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直线方程是（）

94、已知点P（1，3，-4）关于平面3x+y-2z=0的对称点Q的坐标是()

95、过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程为（）

96、过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2=z/1的平面方程为（）

97、若直线(x-2)/2=(y+1)/3=(z-2)/4在平面x-2y+z+D=0上，则D=（）

98、点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影为D=-599、点P（3，-1，2）到直

线x+y-z+1=0,2x-y+z=4的距离为（）

99．y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）

100、直线2x-4y+z=0,3x-y-2z-9=0在平面上4x-y+z=1的投影直线的方程为（）

三、解答题

1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

2、求函数y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。

3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。

5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。

6、求y=ex，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。

7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。

11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。

12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。

13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面

积。9/4

14、求对数螺线r=e

aθ及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。

15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的

面积。

16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。

18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。

19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。

20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。

21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。

22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a＞0)旋转所得旋转体

体积。

23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。

25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。

26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。

27、求对数螺线r=e

aθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。

28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。

29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。

30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。

31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5，1）

等距离的点。

32、设U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。

33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。

34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。

35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的

旋转曲面的方程。

37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。

38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。

39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。

40、求过点M

0

（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M

0

的线段OM

0

垂直的平面方程。

41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方

程。

43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。

44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。

45、求过两点M（3，-2，1）和M（-1，0，2）的直线方程。

46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。

47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。

48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

49、求点P（3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。

四、证明题

1．设f(x)在(0,)上有定义，

1

x0,0

2

x,求证:若

x

xf)(

单调下降，则

)()()(

2121

xfxfxxf

2．设函数f(x)在,0上连续，且























0,0

,0,

)(

)(

)(,0)(

0

0

x

x

dttf

dtttf

xFxfx

x

令

证明：F(x)在,0上单调增加。

3．设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(







fff。证明：

存在惟一的一组实数

321

,,使得当0h时，)0()3()2()(

321

fhfhfhf是比h2

高阶的无穷小.

4．证明2)(arcsinxy满足方程0)1()12()1()1(2)()1(2nnnynxynyx

5．证明不等式：

1

1

4

3

8

12dxx

6．证明不等式



2

1

0

)2(,

6

1

2

1

n

x

dx

n



7．设

)(xf

在

),0(

上连续且单调递减，证明：









1

1

1

1

.)()1()()(n

n

k

ndxxffkfdxxf

8．设)(xf，g(x)区间)0(,aaa上连续，g(x)为偶函数，且)(xf满足条件

。为常数)()()(AAxfxf证明：



aa

a

dxxgAdxxgxf

0

)()()(

9．设)(xf连续，证明：



1

00

1

0

)(ln

)(

)1(

ln)(lnxdttfdt

tf

tf

dttxf

10．设n为正整数，证明2

0

2

0

cos

2

1

sincos



xdxxdxxn

n

nn

11．设函数

)(xf

可导，且f(0)=0,

x

nnndttxftxF

0

1)()(证明:

)0(

2

1)(

lim

2

0

f

n

x

xF

n

x







12．设

)(t是正值连续函数，),0(,)()(

aaxadtttxxfa

a



则曲线

)(xfy

在aa,上是凹的。

13．设g(t)是ba,上的连续函数，x

a

dttgxf,)()(证明：在ba,上至少存在一点，

使

)(

)(

g

ab

bf





.

14.证明：







1

1

1

2211x

x

x

dx

x

dx

15．设)(xf是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则

Ta

a

Tdxxfdxxf

0

)()(

16．若

)(xf

是连续函数，则











xxuduufuxdudttf

000

)()()(

17．设)(xf，)(xg在ba,上连续，证明至少存在一个),(ba使得









a

bdxxfgdxxgf)()()()(

18．设)(xf，)(xg在ba,上连续，且baxxg,,0)(，试证：至少存在一个),(ba

使得

)(

)(

)(

)(





g

f

dxxg

dxxf

b

a

b

a





19．设)(xf在ba,上连续，证明：











b

a

b

a

dxxfabdxxf)()()(2

2

20．设)(xf在ba,上可导，且Mxf



)(，0)(af证明：

b

a

ab

M

dxxf2)(

2

)(

高等数学1题库（参考答案）

一．选择题

1——10ABABDCCCDD

11——20CCDAAABABB

21——30CAADCADDBB

31——40DCDAABCCCA

41——50BABDDDCACA

51——60CCAADBBADB

61——70BCAACABCDD

71——80CACCAADDCC

81——90ACDDBDDCCA

二．填空题

1．y-(x2-1)1/2及Y=(x2-1)1/2

2．y=10x-1-2

3．y=(1+arcsin(x-1)/2)/(1-arcsin(x-1)/2)

4．3

5．0

6．4/3

7．3

8．0

9．1

10．1/4

11．2

12．3/4

13．0

14．e-1

15．e-1

16．(31/2+1)/2

17．

4

2

（1+

2



）

18．9/25

19．

2



-1或1-

2



20．2

21．-1，0

22．-2

23．1/5

24．0

25．0，1

26．xcos

27．1/R

28．1

29．2

30．-1/x+C

31.C＋2x3/2/5

32.F(x)＋C

33.2xex2(1+x)

34.0

35.0

36.21/8

37.271/6

38.

/3a

39.

/6

40.0

41.51/512

42.1/4

43.

－4/3

44.

/6－31/2/8

45.

/2

46.(x+2)21/2

47.1－



/4

48.a4

/16

49.22/3

50.1-e-1/2

51.2(31/2-1)

52.

/2

53.2/3

54.4/3

55.21/2

56.0

57.3



/2

58.(1,3)

59.14

60.

61.1/2

62.1

63.－

x

x

2

2tan2

,

(u)sinxdx

65.1/2

66.1

67.y(e)=e1/e

68.无极值

69.x=－1y=x/2－1

70.y=－1y=－2x－1

71.1/4

72.(2,7/2)

73.㏑x+㏑c

74.2x(1+x)e2x

75.x2/2－ln(x2+9)+C

76.x(㏑x-1)+C

77.x3/3-3x2/2+9x-ln(x+3)+C

78.

ln3x-3xln2x+6xlnx－6x+C

79.0

80.

/4-1/2

81.7/6

82.32/3

83.8a

84.等腰直角

85.4x+4y+10z-63=0

86.3x-7y+5z-4=0

87.(1,-1,3)

88.y+5=0

89.x+3y=0

90.9x-2y-2=0

91.1

92.(x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5

93.(x-3)/-4=(y+2)/2=(z-1)/1

94.(-5,1,0)

95.-x/2=(y-2)/3=(z-4)/1

96.8x-9y-22z-59=0

97.D=-5

98.3×21/2/2

99.32/3

100.17x+31y-37z-117=0,4x-y+z-1=0

三．解答题

1.当X=1/5时，有最大值1/5

2.X=-3时，函数有最小值27

3.R=1/2

4.在点(

2

2

,-

2

2ln

)处曲率半径有最小值3×31/2/2

5.7/6

6.e+1/e-2

7.x-3y-2z=0

8.(x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5

9.（-5/3，2/3，2/3）

10.2(21/2-1)

11.32/3

12.4×21/2/3

13.9/4

14.

4

2a

(a2-e2)

15.e/2

16.8a2/3

17.3л/10

18.













)(

2

2

4

22

2

ee

a

a

a

19.160л2

20.2л2a2b

21.

3

616

22.7л2a3

23.1+1/2㏑3/2

24.23-4/3

25.































1

2

5

9

82

3

26.

p

ypy

p

p

ypy2222

ln

22







27.ae

a

a21

3/2+5/12

29.8a

30.5×21/2

31.（0，1，-2）

32.5a-11b+7c

33.4x+4y+10z-63=0

34.y2+z2=5x

35.x+y2+z2=9

36.x轴：4x2-9(y2+z2)=36y轴：4(x2+z2)-9y2=36

37.x2+y2(1-x)2=9z=0

38.x2+y2+(1-x)2≤9z=0

39.3x-7y+5z-4=0

40.2x+9y-6z-121=0

41.x-3y-2z=0

42.x+y-3z-4=0

43.

33

1

44.

2

4x

=

1

1y

=

5

3z

45.

4

3



x

=

2

2y

=

1

1z

46.

2

x

=

3

2y

=

1

4z

47.8x-9y-22z-59=0

48.(-5/3,2/3,2/3)

49.

2

23

50.











014

zyx

zyx

四．证明题。

1．设f(x)在(0,)上有定义，

1

x0,0

2

x,求证:若

x

xf)(

单调下降，则

)()()(

2121

xfxfxxf

证：设

1

x0,0

2

x，且

21

xx，于是

)()(

)()(

1221

1

1

2

2xfxxfx

x

xf

x

xf



)()()()()()(

)()()(

)()(

21212212212

2221212

2

2

21

21

xfxfxxfxfxxfxxxfx

xfxxfxxxfx

x

xf

xx

xxf









2．设函数f(x)在,0上连续，且























0,0

,0,

)(

)(

)(,0)(

0

0

x

x

dttf

dtttf

xFxfx

x

令

证明：F(x)在,0上单调增加。

证明：因为f(x)>0,所以，当x>0时，F(x)=





x

x

dttf

dtttf

0

0

)(

)(

连续。

又)0(0

)(

)(

lim

)(

)(

lim)(lim

0

0

0

00

F

xf

xxf

dttf

dtttf

xF

x

x

x

xx







即F(0)在x=0处右连续。

当x>0时，

2

0

00

0

2

00

))((

)()()(

))((

)()()()(

)(





























x

xx

x

xx

dttf

dtttfdttfxxf

dttf

dtttfxfdttfxxf

xF

令g(x)=xxdtttfdttfx

00

)()(,有



xxdttfxxfxxfdttfxg

00

0)()()()()(

所以，当x>0时，g(x)单调增加，即有g(x)>g(0)=0

故，当x>0时，0)(



xF

所以，F(x)在,0上单调增加。

3．设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(







fff。证明：

存在惟一的一组实数

321

,,使得当0h时，)0()3()2()(

321

fhfhfhf是比h2

高阶的无穷小.

证明：由麦克劳林公式得

)()0(

2

1

)0()0()(2hhfhffhf









)()0(2)0(2)0()2(2hhfhffhf









)()0(

2

9

)0(3)0()3(2hhfhffhf









)()0()94(

2

1

)0()32()0()1(

)0()3()2()(

22

321321321

321

hhfhff

fhfhfhf

















所以，

321

,,应满足方程组

















094

032

1

321

321

321







因为系数行列式02

941

321

111

，所以，方程组存在唯一解，即存在唯一组实数

321

,,使

得当0h时，)0()3()2()(

321

fhfhfhf是比h2高阶的无穷小.

4．证明2)(arcsinxy满足方程0)1()12()1()1(2)()1(2nnnynxynyx

4．提示：先求

,,yy



得关系式：yxyx







2)1(2，再两边求（n-1）阶导数，利用

莱布尼兹公式。

5．证明不等式：

1

1

4

3

8

12dxx

证明：令1,1,1)(4xxxf

则

4

3

4

3

1

2

12

4

)(

x

x

x

x

xf











，

令

,0)(



xf

得x=0

f(-1)=f(1)=

2

,f(0)=1

则2)(1xf

上式两边对x在1,1上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，

显然有,1)1(211)(222424xxxxxxf于是



1

1

2

1

1

4

1

1

,)1(1dxxdxxdx

故



1

1

4

3

8

12dxx

6．证明不等式



2

1

0

)2(,

6

1

2

1

n

x

dx

n



证明：显然当















2

1

,0x时，（n>2）有

















2

1

0

2

1

0

226

0

2

1

arcsin

11

2

1

1

1

1

1

1



x

x

dx

x

dx

xxnn

即，



2

1

0

)2(,

6

1

2

1

n

x

dx

n



7．设

)(xf

在

),0(

上连续且单调递减，证明：









1

1

1

1

.)()1()()(n

n

k

ndxxffkfdxxf

证明：由

)(xf

在

),0(

上连续且单调递减可得：

),...,3,2,1(),()1(niifif

因此，由比较定理有

2

1

13

2

1

1

)()()()(n

n

ndxxfdxxfdxxfdxxf

2

1

13

2

)()2()1(n

n

dxnfdxfdxf







n

k

kfnfff

1

)()()2()1(



n

n

ndxxfdxxfdxxffdxxff

1

3

2

2

11

)()()()1()()1(



n

n

dxxfdxxfdxxff

1

3

2

2

1

)()()()1(







n

k

kfnfff

1

)()()2()1(

8．设)(xf，g(x)区间)0(,aaa上连续，g(x)为偶函数，且)(xf满足条件

。为常数)()()(AAxfxf证明：



aa

a

dxxgAdxxgxf

0

)()()(

证明：dxxgxfdxxgxfdxxgxfa

a

a

a

0

0)()()()()()(

dxxgxfduugufuxdxxgxfa

aa

0

00)()()()()()(令







aaaaa

a

dxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxf

0000

)()()()()()()()()()(

9．设)(xf

连续，证明：



1

00

1

0

)(ln

)(

)1(

ln)(lnxdttfdt

tf

tf

dttxf

证明：依题意1

0

1)(ln)(lnx

x

duufutxdttxf令

＝01

0

1

1

)(ln)(ln)(ln

x

xduufduufduuf

又1

10

)1(ln1)(lnxxdttftuduuf

所以



1

00

1

0

)(ln

)(

)1(

ln)(lnxdttfdt

tf

tf

dttxf

10．设n为正整数，证明2

0

2

0

cos

2

1

sincos



xdxxdxxn

n

nn

证明：令t=2x,有









0

1

2

0

2

0

1

sin

2

1

2)2(sin

2

1

sincostdtxdxxdxxn

n

n

n

nn

,sinsin

2

1

2

2

0

1























tdttdtnn

n

又，0

2

2

0

2

sin)(sinsin









ududuuuttdtnnn，

所以，









2

2

0

2

0

2

0

2

0

1

sin

2

1

sin

2

1

)sinsin(

2

1

sincosxdxtdttdttdtxdxxn

n

n

n

nn

n

nn

又，2

0

0

22

coscos

2

sin











xdxtdttxxdxnnn

因此，2

0

2

0

cos

2

1

sincos



xdxxdxxn

n

nn

11．设函数)(xf可导，且f(0)=0,

x

nnndttxftxF

0

1)()(

证明:

)0(

2

1)(

lim

2

0

f

n

x

xF

n

x







证明：

n

nn

x

txu

x

nnnduuf

n

dttxftxF

00

1)(

1

)()(

令

于是，),()(1nnxfxxF



)0(

2

1

0

)0()(

lim

2

1)(

lim

2

1

2

)(

lim

)(

lim

00

12

0

2

0

f

n

x

fxf

n

x

xf

n

nx

xF

x

xF

n

n

x

n

n

x

n

x

n

x





















12．设

)(t是正值连续函数，),0(,)()(

aaxadtttxxfa

a



则曲线

)(xfy

在aa,上是凹的。

证明：

x

a

a

x

dttxtdtttxxf)()()()()(



x

a

a

x

x

a

x

a

dttxdtttdtttdttx)()()()(





x

a

x

a

x

a

a

x

dttdttdttdttxf)()()()()(

0)(2)()()(



xxxxf

故，曲线)(xfy在aa,上是凹的。

13．设g(t)是ba,上的连续函数，x

a

dttgxf,)()(证明：在ba,上至少存在一点，

使

)(

)(

g

ab

bf





.

证明：由已知条件x

a

dttgxf,)()(有b

a

dttgbf,)()(

又，由于g(t)在ba,上连续，由积分中值定理，有

b

a

baabgdttg,),)(()(

故))(()(abgbf)(

)(

g

ab

bf





14.证明：







1

1

1

2211x

x

x

dx

x

dx

证明：









•







11

1

1

1

1

1

222

2

1

211

)

1

(

1

1

1

1x

x

xx

u

x

x

dx

u

du

du

u

u

x

dx令

15．设)(xf是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则

Ta

a

Tdxxfdxxf

0

)()(

证明：





aaa

Txf

xfTxf

Tux

Ta

T

dxxfdxTxfduTufdxxf

000

)(

)()(

)()()()(

为周期以

令





0)()(

0

Ta

T

adxxfdxxf

在等式两端各加Tdxxf

0

)(，于是得Ta

a

Tdxxfdxxf

0

)()(

16．若

)(xf

是连续函数，则











xxuduufuxdudttf

000

)()()(

证明：











xuxuduuuf

x

dttfududttf

0000

)(

0

)()(

xxduuufdttfx

00

)()(

xduufux

0

)()(

17．设

)(xf

，

)(xg

在ba,上连续，证明至少存在一个

),(ba使得









a

bdxxfgdxxgf)()()()(

证明：作辅助函数x

a

b

x

dttgdttfxF)()()(

，由于

)(xf

,

)(xg

在ba,上连续，所以

)(xF

在ba,上连续，在（a,b）内可导，并有0)()(bFaF由洛尔定理),(,0)(baF



即













•













x

b

x

x

a

x

x

x

a

b

x

xgdttfdttgxfdttgdttf)()()()()()(

b

a

dxxfgdxxgf



)()()()(

＝0

亦即，







a

bdxxfgdxxgf)()()()(

18．设)(xf，)(xg在ba,上连续，且baxxg,,0)(，试证：至少存在一个),(ba

使得

)(

)(

)(

)(





g

f

dxxg

dxxf

b

a

b

a





证明：令x

a

dttfxF,)()(x

a

dttgxG,)()(于是

b

a

dxxfbF,)()(b

a

dxxgbG,)()(

作辅助函数x

z

x

a

dttfbGdttgbFxW)()()()()(

由题设条件，显然

)(xW

在ba,上连续，由变上限积分定理

)(xW

在ba,上可导

又

0)(aW

，

0)()()()()(bFbGbGbFbW

由洛尔定理，在ba,内至少存在一点

),(ba，使

0)(

W

即

0)()()()(FbGgbF

，亦即

)(

)(

)(

)(





g

f

bG

bF

，故

)(

)(

)(

)(





g

f

dxxg

dxxf

b

a

b

a





19．设

)(xf

在ba,上连续，证明：











b

a

b

a

dxxfabdxxf)()()(2

2

证明：令













x

a

x

a

dttfaxdttfxF)()()()(2

2





x

a

dtxftfxF0)()()(2

故

)(xf

是ba,上的减函数，又

0)(aF

，

0)()(aFbF

故











b

a

b

a

dxxfabdxxf)()()(2

2

20．设

)(xf

在ba,上可导，且

Mxf



)(

，

0)(af

证明：

b

a

ab

M

dxxf2)(

2

)(

证明：由题设对,,bax可知

)(xf

在ba,上满足拉氏微分中值定理，于是有

xaaxfafxfxf,),)(()()()(





又Mxf



)(，因而，)()(axMxf

由定积分比较定理，有b

a

b

a

ab

M

dxaxMdxxf2)(

2

)()(

《高等数学Ⅰ》答疑题

1．)

arcsin

(

lim2

1

0x

xx

x

原式=)

arcsin

1(

lim2

1

0x

xxx

x







因为xx

xx

x

2

0

1arcsinlim





=x

x

x

2

2

03

1

1

1

lim







=

xx

x

x

22

2

013

11

lim







=

)11(13222

2

0

lim

xxx

x

x

=

6

1

所以极限=e6

1

2．求)(

lim21

1

0n

aaax

n

xxx

x





原式=)1(

lim21

1

0n

n

aaax

n

xxx

x









xn

n

aaax

n

xx

x

1

lim21

0







=

n

aaaa

n

x

n

x

x

lnln

lim11

0





=

n

aaa

n



21

ln

=n

naaa

21ln

极限=n

naaa

21

3.求)122(2

3limxxxx

x





原式=)]1()12[(2

3limxxxxx

x





=]

1

1

12

1

[2

3lim

xxxx

x

x





=]

)1)(12(

2

[2

3lim

xxxx

xxx

x





=]

)2)(1)(12(

2

[2

3lim





xxxxxx

x

x

=]

222

2

[2

3lim

xxx

x

x





=-

4

1

4．求)

1

4

(tan

lim

n

n

n







原式=)

1

tan

4

tan1

1

tan

4

tan

(

lim

n

n

n

n







=

)

1

tan1(

)

1

tan1(

lim

n

n

n

n

n





=e

e

1

=e2

5．求函数11,

)sin1(1

sin)sin1(

lim)(









x

x

xxx

xf

n

n

n



解：（1）显然有0)0(f,

2

1

)1(f,

2

1

)1(f

（2）当10x时，,1sin1x有





n

nx)sin1lim(

所以，xxf)(

（3）当01x时，,1sin10x有





n

nx0)sin1lim(

所以，xxfsin)(

从而，





























1,

2

1

10,

01,sin

1,

2

1

)(

x

xx

xx

x

xf



6．设)(lim

1

xf

x

存在，)(lim23)(

1

2xfxxxf

x

，求)(xf

解：令lxf

x





)(lim

1

，则xlxxf23)(2，323)23(lim)(lim2

11





lllxlxxf

xx

故

xxxf63)(2

7．求函数

12

12

)(

1

1







x

x

xf的不连续点且判别类型。

解：显然x=0为间断点。因为

,1

12

12

lim)(lim

1

1

00











x

x

xx

xf

又

1

12

12

lim)(lim

1

1

00











x

x

xx

xf，故x=0为第一类间断点（跳跃间断点）。

8．已知)(xf在x=a处可导，且,0)(xfn为自然数，求

n

xaf

n

af



























)(

)

1

(

lim

解：

n

x

n

xanf

n

af

n

af

af

n

af

























































)(

1

1

)()

1

(

1lim

)(

)

1

(

lim

n

af

af

n

af

af

n

af

af

xanf

n

af

n

af)(

)()

1

(

()

1

(

)(

)(

1

1

)()

1

(

1lim







































因为

)(

)(

)(

1

1

)()

1

(

lim

)(

)()

1

(

lim

af

af

af

n

af

n

af

n

af

af

n

af

nn













所以，)(

)(

)(

)

1

(

limaf

af

n

x

e

af

n

af































9．设),

23

23

(







x

x

fy2arcsin)(xxf



，求

0xdx

dy

解：

2

2

)23(

12

)

23

23

arcsin()

23

23

()

23

23

()

23

23

(

































x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

f

dx

d

dx

dy

于是，

2

3

3)1(arcsin

0



xdx

dy

10．设















2

1

2

2

0,cos

2

1

)cos(

)cos(

ttudu

u

tty

tx

，求

2

2

,

dx

yd

dx

dy

解：

),sin(22ttx



)sin(22)cos(

2

1

)sin(2)cos(222222tttt

t

ttty



t

dx

dy

，

)sin(2

1

)()(

22

2

tt

t

dx

d

dx

dy

dx

d

dx

yd



11.．设

















)()(

)(

tftfty

tfx

，其中)(tf的三阶导数存在，且0)(



tf，求

3

3

2

2

,,

dx

yd

dx

yd

dx

dy

解：t

tf

tftfttf

tx

ty

dx

dy























)(

)()()(

)(

)(

)(

1

)()(

2

2

tf

t

dx

d

dx

dy

dx

d

dx

yd





322

2

3

3

)(

)(

)(

1

)(

)(

)

)(

1

()

)(

1

()(

tf

tf

tf

tf

tf

dx

dt

tfdt

d

tfdx

d

dx

yd

dx

d

dx

yd

























12.．设方程),cos(22yxexyy求y



解：)21()sin(222yyyxyeyxyyy











)sin(22

)sin(

2

22

yxyexy

yxy

y

y







13．设有方程yxtdtyxx

0

2,sec)tan(2求

2

2

dx

yd

解：方程两边对x求导，可得

)(sec

1

1)1()(sec)1()(sec2

2

22

yx

yyyxyyx

















)(cos)sin(2)(sin)(cos1322yxyxyyxyxy









14．设由方程xyyx确定y是x的函数，求

dx

dy

解：yxxyeelnln，两边同时x对求导，得)(ln)ln(lnln

x

y

xye

x

y

xyeyxxy







)ln(

)ln(

ln)ln(

xyxx

yxyy

dx

dy

x

y

xyy

x

y

xyxxy



























15.设)(xf任意阶可导，且,1)0(,)()(

fexfxf求)0()(nf

解：)(2)()()(xfxfexfexf







)(3)(22)(2)(xfxfexfexf







)(4)(3)4(23)(23)(xfxfexfexf







)(1)()!1()1()(nnfnnenxf

所以，nnnfnnenenf)!1()1()!1()1()0(1)0(1)(

16．设xxy66cossin，求)(nf

解：

)coscossin)(sincos(sin)(cos)(sin4224223232xxxxxxxxy

xxxxxxxx4cos

8

3

8

5

2sin

4

3

1cossin3coscossinsin2224224

)

2

4cos(4

8

3

)(



nxynn

17．设

,arcsin

1

1

2

x

x

y





求)0()(ny

解：

2

2

21

1

arcsin

1

1

1x

x

x

x

x

y















01)1(2



xyyx

03)1(2







yyxyx

045)1(2











yyxyx



0)12()1()1(2)()1(2nnnynxynyx

显然，当0x时，,4,0,1











yyy

故2)12()2()!(4)0(,0)0(nyynnn

18.求dx

xx



cossin222

1

原式=dx

x

x

x



cos

cos

sin2

2

2

)2(

1

=

x

xd

tan22

)(tan

=c

x



2

tan

arctan

2

1

19．求dx

x

xx







)ln(2

ln1

原式=dx

x

x

xx

x







)

ln

(

2

2

ln1

=-)

ln

(

1

)

ln

(

2x

xx

d

x

xx





=

xx

x

ln

+c

20.求不定积分xdxxx2cos)52(

解：原式xdxxxxx2sin)23(

2

1

2sin)52(

2

1

23

dxxxxxxxx2cos

2

3

2cos)23(

4

1

2sin)52(

2

1

33

Cxxxxxxxx2cos

8

3

2sin

4

3

2cos)23(

4

1

2sin)52(

2

1

33

21．求不定积分





dxe

x

x

x

cos1

sin1

解：原式



dxe

x

dxe

x

dxe

x

x

xxx

2

tan

2

cos

1

2

1

2

cos2

sin1

22

dxe

x

dxe

x

e

x

dxe

xx

de

x

xxxxx

2

tan

2

tan

2

tan

2

tan)

2

(

2

cos

1

2

Ce

x

x

2

tan

22．求不定积分

)1(10xx

dx

解：令ux10，则dxxdu910，于是

原式



























du

u

uu

du

uu

uu

uu

du

222)1(

1

)1(

1

10

1

)1(

1

10

1

)1(

10

1



















du

u

uu2)1(

1

1

11

10

1

C

u

uu

















1

1

1lnln

10

1

C

x

xx





)1(10

1

1ln

10

1

ln

10

10

23．求不定积分dx

x3sin

1

解：



xdxxxdxdx

x

xx

dx

x

csccotcsc

sin

cossin

sin

1

2

3

22

3



dxxxxxxxxxdxdx)csc(csccsccotcotcscln)(csccotcsc2

dx

x

xxxx

3sin

1

csccotcotcscln

故Cxxxxdx

x

csccot

2

1

cotcscln

2

1

sin

1

3

24.设)(xf的原函数为

x

xsin

，求解不定积分

dxxfx)2(

解：



)2()2(

4

1

)2(

2

1

)2(

2

1

)2(

2

1

))2((

2

1

)2(xdxfxxfdxxfxxfxfxddxxfx

因为)(xf的原函数为

x

xsin

，故

2

sincossin

)(

x

xxx

x

x

xf





















于是，

24

2sin2cos2

)2(

x

xxx

xf



，

故C

x

x

xC

x

x

x

xxx

dxxfx







4

2sin

2cos

4

1

8

2sin

8

2sin2cos2

)2(

25．设)(xf在,0上连续且满足

xdttfxx)1(

0

2)(

，求)2(f

解：将方程

xdttf

xx)1(

0

2)(

的两边对x求导，得

1)1()1(22



xxxxf，即1)()(3232xxxxf

令

5

1

)2(,1fx得

26．设当时,0x)(xf可导，且满足方程0,)(

1

1)(

1

xdttf

x

xfx

求)(xf

解：将方程两边对x求导，得

x

xf

dttf

x

xfx)(

)(

1

)(

1

2





将原方程的)(xf表达式代入上式，得

x

dttf

xx

dttf

x

xfxx1

)(

1

1

1

)(

1

)(

11

2



















积分，得,ln)(Cxxf由原方程中令,1x可得1)1(f，从而C＝1

故1ln)(xxf

27．设)(xf是连续函数，且1

0

)(2)(dttfxxf，求)(xf

解：因为)(xf连续，所以1

0

)(dttf存在，不妨设ldttf1

0

)(，于是lxxf2)(

积分有1

0

1

0

)2()(dtltdttf，

2

1

2

0

1

2

1

2lltl

故1)(xxf

28．设函数)(xf在区间[0,1]上连续，并设

Adxxf1

0

)(,求1

0

1)()(dyyfxfdx

x

解：1

0

11

0

1)()()()(dyyfdxxfdyyfxfdxI

xx















1

00

1

00

1

0

)()())(()(

0

1

)()(xx

x

xdttfdxxfdxxfdttfdyyfdttf

xxAdttfdttf

00

222

2

1

))((

2

1

0

1

))((

2

1

注意：xdttf

0

)(为)(xf的一个原函数。

29．设)(xf在,上连续，且对任何x,y有)()()(yfxfyxf，计算



1

1

2)()1(dxxfx

解：对于这种被积函数含有抽象因子的积分，通常是利用奇偶性积分的“特性”处理，以下证

明)(xf为奇函数。

令y=0，则由)()()(yfxfyxf可得：0)0()0()()(ffxfxf

又，)()()]([xfxfxxf，即0)()(xfxf，可知)(xf为奇函数，于是

0)()1(1

1

2

dxxfx

30．设)(xf，g(x)区间)0(,aaa上连续，g(x)为偶函数，且)(xf满足条件

。为常数)()()(AAxfxf（1）证明：



aa

a

dxxgAdxxgxf

0

)()()(

（2）利用（1）的结论计算定积分



2

2

arctansin





dxexx

解：（1）证明：dxxgxfdxxgxfdxxgxfa

a

a

a

0

0)()()()()()(

dxxgxfduugufuxdxxgxfa

aa

0

00)()()()()()(令







aaaaa

a

dxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxf

0000

)()()()()()()()()()(

（2）取xexfarctan)(，xxgsin)(，

2



a，则)(xf，)(xg在















2

,

2



上连续)(xg

为偶函数。因为0)arctan(arctan



xxee，所以Aeexxarctanarctan，

令0x，得,1arctan2A于是，

2



A，

2

)()(



xfxf

故

2

sin

2

sin

2

arctansin2

0

2

0

2

2









xdxdxxdxexx

31．设函数)(),(xgxf满足)()(xgxf



，),(2)(xfexgx



且,2)0(,0)0(gf求

dx

x

xf

x

xg





















0

2)1(

)(

1

)(

解：由)()(xgxf



，),(2)(xfexgx



，得，

),(2)(xfexfx



于是有

















2)0(,0)0(

)(2)(

ff

xfexfx

，解方程得xexxxfcossin)(，又，











































































00

2

0

2

0

21

1

)

1

)(

(

)1(

)()1)((

)1(

)()1)((

)1(

)(

1

)(e

x

xf

ddx

x

xfxxf

dx

x

xfxxg

dx

x

xf

x

xg

32。设)(xf在ba,上有连续的导函数，且0)(af试证





b

a

b

a

dxxf

ab

dxxf2

2

2)(

2

)(

)(

证明：

dttfafxfxf

x

a

)()()()(，于是由柯西不等式

dttfaxdttfdtdttfxfb

a

x

a

x

a

x

a

22

2

2)()()()()(























故

dxxfabdttfdxaxdxdttfaxdxxfb

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

2

22

2

2)(

2

1

)()(])]([)[()(











33。讨论1

0

11)1(dxxxqp的敛散性。

解：1

2

1

11

2

1

0

11

1

0

11)1()1()1(dxxxdxxxdxxxqpqpqp

对2

1

0

11)1(dxxxqp，因为当0x时，111)1(pqpxdxxx所以当0p时，瑕积分收

敛；0p时，发散

对1

2

1

11)1(dxxxqp，因为当1x时，111)1()1(qqpxdxxx所以当0q时，瑕积

分收敛；0q时，发散

综上所述，瑕积分1

0

11)1(dxxxqp当0p，0q时收敛，其余情形发散。

34．已知)(xf在ba,上连续，在),(ba内)(xf



存在，又连接))(,()),(,(bfbBafaA两点的

直线交曲线)(xfy于))(,(cfcC，且bca，试证在),(ba内至少存在一个使得

0)(

f

证明：由题意，可对)(xf在ca,，bc,上分别利用拉格朗日中值定理，于是有

),(,

)()(

)(

11

ca

ac

afcf

f







),(,

)()(

)(

22

bc

cb

cfbf

f









CBA,,在同一直线上，

ab

afbf

cb

cfbf

ac

afcf



















)()()()()()(

故),()(

21

ff







因而，)(xf



在

2,1

上满足洛尔定理。

于是，存在一个,,,

21

ba使得0)(

f

35．若)(xf在1,0上三阶导数，且0)1()0(ff，设),()(3xfxxF，试证在1,0内至少

存在一个，使得0)(

F

证明：用台劳公式证写出)(xF在x=0处的二阶台劳展开式为

32)(

!3

1

)0(

!2

1

)0()0()(xFxFxFFxF









（*）

)()(3)(32xfxxfxxF







,)()(6)(6)(32xfxxfxxxfxF











0)0()0()0(







FFF,于是（*）3)(

!3

1

)(xFxF

(**)

注意到,0)1()1(fF由（**）有0)(0)(

3

1







FF

测试题

——高等数学Ⅱ

一、选择题

1、设E=0,yxyx，则（）

A、E为连通域；B、E不是连通域；

C、E为单连通域；D、E为复连通域；

2、函数

32

x

arcSin

x

arcSinZ

的定义域是（）

A、22B、

33y

C、

3322yx且

D、122yxo

3、函数22221

1

yxyx

Z



的定义域是（）

A、022yxB、022yx

C、22yxOD、122YXO

4、























xy

y

xyx2

1

1lim()

A、等于eB、等于1C、等于0D不存在

5、设函数yxf

xy

xxy

x

yxf,

0

0sin

1

,则















在（）上连续。()

A、全平面B、全平面除去原点

C、全平面除C轴C、全平面除y轴

6、在矩开展区域D：cyxfyxfyxfyyxx

yxo

,0,,,,

0

是内（常量）

的（）

A、必要条件B、充分条件

C、充要条件C、既非充非也非必要条件

7、设

y

z

x

z

yxvyxuvuZ









,0,1,,,22处偏导数则在的值分别为（）

A、4和0B、0和4

C、0和0D、4和4

8、设



















u

o

u

r

u

rzrYrxzyxu,,,cos,sinsin,sincos,222则的值分别为

（）

A、0，0,2rB、0，2r，0

C、2r，0，0D、0，0，0

9、当

（）时，由方程xyxfyyxy且能确定,0sin具有连续导函数。()

A、1

B、1

C、

0D

0

10、在（）条件下，由方程2zyxZ所确定的函数。yxZ,满足方程

x

z

z

y

z











。

()

A、2z

连续B、2z

可微

C、2z

可微且;02z

D、zz2

可微且2'zyz

0

11、设

x

u

yvxu

yxvu















则

01

0

的值为（）

A、

xy

xv





B、

xy

yv





C、

xy

yu





D、

xy

xu







12、空间曲线











0

6222

zyx

zyx

在点1,2,1处的切线必平行于（）

A、平面xoyB、yoz

C、

zox

D、平面0zyx

13、旋转椭球面162222zyx上点（2，2，-2）处外法线与Z轴夹角的余弦及切平面与

x0z面夹角的余弦分别为（）

A、

6

6

,

6

6

B、

6

6

,

6

6



C、

6

6

,

6

6

D、

6

6

,

6

6

14、研究函数2222yxeyxz的极值，有（）

A、有极大值1eZ，无极小值B、有极小值0Z

C、有极小植0Z，极大值1eZD、无极植

15、研究函数0,0,

8

yxy

y

x

x

Z的极值，有（）

A、在（4，2）处有极小值Z=6；B、在（4，2）处有极大值Z=6；

C、在（1，2）处有极大值Z=10；D、无极值

16、函数222,yxyxyxyxf有三个驻点（0，0）（1，1）（-1，-1），则（）。

A、0,0f是极大值B、0,0f是极小值

C、f(1,1),f(-1,-1)都是极小值D、f(1,1)，f(-1,-1)都是极大值

17、若0,,0,

00

1

00

1yxfyxf

yx

，则在点

00

,yx处函数yxf,（）

A、连续B、必取极值

C、可能取得极值D、全微分d2=0

18、函数yxZ2在条件522yx下的极值为（）

A、极大值f(1,2)=5B、极小值f(1,2)=5

C、极大值f(2,1)4D、极小值f(2,1)=4

19、函数,5zyxyzxu在条件8zyyzxy下（）

A、无极值B、有极大值

27

4

4u和极小值

C、极有极大值

27

4

4uD、仅有极小值u=4

20、圆0165222yyxyx与直线08yx之间的最短距离是（）

A、22B、23C、24D、26

21、据二重积分的概念可知dxdyyxa

D

222，其中222ayx。

A、0B、3

3

2

aC、3aD、3

2

2

a

22、设：







1

22sincos1

yx

yx

dxdy

I，则I满足（）

A、2

2

1

IB、32IC、

2

1

0ID、01I

23、设

yx

D

ddyxI9422，其中D是圆形闭区域：422yx利用二重积分的性质

估计其值满足（）

A、364IB、368I

C、1008ID、10036I

24、设IxxyDdxdyxyI

D

则其中;2,0:,22()

A、0B、

3

36

C、

3

64

D、256

25、设

IyxDdxdyxySinxeI

D

xy则其中1,1:,cos()

A、eB、1eC、0D、

26、当（）时，均为自然数与其中nmyayxDdxdyyx

D

nm,0,:,0222.()

A、仅当m,全为奇数B、m,n中至少有一个为奇数

C、仅当m为偶数D、仅当m为奇数

27、若区域D为

D

dxdyxyayx则,22()

A、0B、a4C4

2

1

aD、

4



a

28、若区域D由不等式



D

dxdyyxSinyxxyxy则表示.

2

,

2

,



A、0B、

4



C、

6

1

8





D、

6

1

8





29、区域D为dxdyxyyx

D

2,10,10则

A、

4



B、

3

1

C、

6

1

8





D、

6

1

8





30、视L为上半圆周,0,22

2

2yayax沿逆时针方向，

dyyedxySinyeSxx

l

2cos2则

A、2aB、0C、2aD、22a

31、设T是用平面Zy截球面1222zyx所得截痕，从Z轴的正向往负向看，沿逆时

针方向，则xyzdz

T

()

A、

16

2

B、C、D、

16

2



32、设为球面0,01222yxzyx的外侧，则





xyzdxdy

A、

13

3

B、

15

2

C、0D、

15

2

33、微分方程0244"2yxxyy有两个解

2211

2

2

2

1

,,yCyCyxeyeyxx则（）

A、是方程的通解B、未必是方程的通解

C、仅是方程的一个特解D、未必是方程的解

34、已知21

1

1





n

n

na，











11

12

,5

n

n

n

n

aa则

A、3B、7C、8D、9

35、级数的部分和数列有界是级数收敛的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、以上都不对

36、用比值法或根值法判断下列级数收敛的是（）

A、

1

3

3

n

n

n

B、









1

3

1

1

3

n

n

n

C、

1

2

1

n

n

n

D、



11

1

n

nn

37、若

1n

n

u条件收敛，则级数

1

2

n

n

u（）

A、条件收敛B、绝对收敛

C、一定发散D、可能收敛也可能发散

38、设级数论

1n

bn发散，且（）则级数

1n

n

a必发散。（）

A、

nn

baB、

nn

baC、

nn

baD、

nn

ba

39、设级数

1n

n

b绝对收敛，且（），则级数

1n

n

a必收敛。（）

A、

nn

baB、

nn

baC、

nn

baD、

nn

ba

40、设级数

1

2

n

n

a收敛，则级数







1

1

n

nn

aa()

A、绝对收敛B、条件收敛

C、发散D、可能收敛民可能发散

41、设级数

1

2

n

n

a，

1

2

n

n

b都收敛，则级数





1n

nn

ba（）

A、绝对收敛B、条件收敛

C、发散D、可能收敛民可能发散

42、已知级数





1

11

n

n

n

xxa在处收敛，则此级数在处2x（）

A、条件收敛B、绝对收敛

C、发散D、可能收敛民可能发散

43、函数xxf1ln展开x的幂级数，则nx的系数为（）

A、

n

1

B、

n

n

1

11C、

1

1

1





n

nD、



1

11





n

n

44、使函数系列,cos,,2cos,cos,1nxxx正交的最小区间是（）

A、













4

,0



B、,0C、,D、,0

45、使函数系,,,,SinnxSinzxSinx正交的最小区间是（）

A、2,0B、,C、,0D、













4

,0



46、使函数系















l

xn

Sin

l

xn

l

x

l

x

Sin

l

x

;cos,

2

cos,,cos,1（这里1,0ll）正交

的区间是（）

A、2,0B、,C、10D、1,1

47、设xf是以2为周期的函数，在区间,上xxf，则其傅立叶级数中cos3x及

Sin3x的系数a

3

及b

3

分别是（）

A、0,

9

4



B、

9

4

,0C、0,

9

4



D、

9

4

,0

48、若函数2以xf为周期，且xfxxxf则,,20,2的傅立叶级数在点0

0

x收

敛于（）

A、0B、2C、22D、24

49、能展开成正弦级数的函数。（）

A、一定是奇函数B、一定是偶函数

C、不一定是奇函数D、一定是奇函数或偶函数

50、下列xeyyy"为的特解的是（）

A、xxeyB、xey

2

1

C、xeyD、xey

2

1



51、将函数201xxxf展开为周期为4的余弦级数，则

2

5

cos

x

的系数为（）

A、

2

8



B、

2

8



C、

225

8



D、

225

8



52、设













424

20

xx

xx

xf则将其展开为半幅余弦级数的常数项a

0

为（）

A、0B、2C、4D、8

53、下列方程为一阶齐次微分方程的是（）

A、01dyxdxyxB、0'2"yyy

C、

y

x

dx

dy1

D、02322xydydxyx

54、将方程1

1







yxdx

dy

化为可分离变量的方程应选取的代换为（）

A、1,1vyuxB、yxu,C、yxuD、yxu

55、微分方程01122dyyxxyxdxxyy化为可分离变量的方程应迭取的代换是（）

A、kuxB、hvyC、xyuD、yxu

56、已知方程0'"2yxyyx的一个特解为x，则方程的通解是y=()

A、

3

2

21

CxCxCB、

x

CxC

1

21

C、xeCxC

21

D、xeCxC

21

57、初值问题1,1

1

0







x

y

yxdx

dy

的解为（）

A、122xyxB、122xyx

C、122xyxD、122xyx

58、微分方程33'xxyy是（）

A、齐次方程B、可分离变量方程

C、全微分方程D、线性非齐次方程

59、微分方程dxyxdyyx是（）

A、一阶线性方程B、可分离变量方程

C、齐次方程D、全微分方程

60、方程3

2

3'yy

的一个特解是（）

A、32xyB、13xy

C、3cxyD、331xcycxy

61、方程'''2yyaxyy是（）

A、可分离变量方程B、齐次方程

C、线性非齐次方程D、线性齐次方程

62、已知函数xy满足方程

x

y

yxyln'，且当1x时，则当2ey时。则当(),1yx

A、-1B、0C、1D、e-1

63、曲线xyy经过点1,0，且满足微分方程()1,42'yxxyy时则当

A、0B、1C、2D、4

64、方程dxyxydyxdx22的积分因子可取（）

A、

22

1

yx

B、

22

1

xy

C、

22

1

yx

D、

xy

1

65、方程0'"yxy属于可降低的类型是（）

A、

xfyn型B、','yxfy型C、yxfy,'D、不可确定

66、方程0'"yxy的通解为y

A、xCxnC

21

1B、xnC1CC、Cn1D、

22

1CnC

67、方程0,0,1'"

00







xx

yyyy的解y

A、chxClnB、

21

lnCchxCC、chxln

68、方程Sinyy"属于可阶的类型为（）

A、

xfyn型B、',"yxfy型C、','yyfy型D、无法确定

69、方程xyy2

'"属于可降价的类型是（）

A、

xfyn型B、'

1

"yxfy型C、'

1

"yyfy型D、无法确定

70、下列方程是全微分方程的是（）

A、xeSinxyy2B、

Sinxyeyyx'3

C、

Sinxyeyeyxx23'D、

Sinxyeyeyxx'3

71、微分方程0''2

2yyyxyym是（）

A、三阶线性方程B、二阶非线性方程

C、三阶线性方程D、二阶线性方程

72、微分方程为22'3"xyyy的特解的形式为（）

A、2AxB、CBxAx2C、cBxAxx2D、cBcAxx22

73、下列函数组中线性无关的是（）

A、xSinx2,2cosB、0,ceexxC、xxxx2cos7,2cosD、xxee5,

74、下列函数组中线性相关的是（）

A、xxee,2B、xnxxn,C、xxee32,D、xnex2,

75、已知函数

2

1

3

2

2

1

1

,

12

2

2















x

x

x

x

x

ey

x

eyey则，（）

A、

21

yy与线性相关B、

32

yy与线性相关

C、

31

yy与线性相关D、两两线性相关

76、微分方程"'"yy的通解为y=（）

A、

32

2

1

CxCxCexB、

32

2

1

CxCxC

C、3

21

CxCeCxD、

32

3

1

CxCxC

二、填空题。

1、求极限









22

lim

0

0yx

xyy

x

y

()

2、求极限





22

lim

1

0

0yxx

y

()

3、求极限





22

lim

1

yxx

y

()

4、求极限





xy

xy

x

y

42

lim

0

0

()

5、求极限



11

lim

0

0xy

xy

x

y

()

6、求极限

x

Sinxy

x

y

lim

0

0

()

7、设1,,arcsin1,xf

y

x

yxyxf

x

则()

8、由线

















4

4

22

y

yx

z

在点5,4,2处的切线与正向x轴所成倾角为()。

9、微分为方程02







yyy的通解是（）。

10、若函数从=f(t,x,y),x=(s,t)均具有一阶连续偏导数，则





t

u

（）。

11、设函数f(x)在[-1，1]上连续，则



x

x

dttf

x

sin

cos

)(（）。

12、方程xy''=y'满足x=1时，y=0，y'=1的特解是（）

13、旋转球163222zyx面上点（-1，-2，3）处的切平面与坐标平面XOY的夹角

余弦为（）。

14、微分方程04







yy的通解为是（）。

15、函数z=x2+y2在点（1，2）到（2，2+

3

）的方向的方向导数为（）。

16、函数u=x2+y2-z2在点A（c,0,0）处的梯度为()

17、函数u=1n(x2+y2+z2)在点处的梯度为()

18、元函数221yxz的极大值点是().

19、设α,β,γ为平面三角形的内角，则函数coscoscosy的极大值为

().

20、位于两圆x2+y2=24与x2+y-2=4y之间的均匀薄板的重心坐标为（）

21、锥面22yxz被柱面z2=2x所割下部分的曲面面积为().

22、设有一物体，占有空间区域:0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1，在点（x,y,z）处密度为P

（x,y,z）=x+y+z,则该物体的质量为()

23、设是由锥面z=22YX

R

h

与平面z=h(r>0,h>o)所围成的闭区域，则

zyx

ddzd



=

().

24、立体由曲面z=x2+y2;x+y=a,x=0,y=0,z=0所围密度为1,则重心坐标为（）.

25、设T是从点（1，1，1）到点（2，3，4，）的一段直线，则

dzyxydyxdx

T

)1(().

27、设26、设L是抛物线y=x2上从点，（-1，1）到（1，1）上的一段孤，则

yx

L

dxyydxyx2222=（）L为抛物线y=x2上从0（0，0）到B

（1，1）的一段孤，则

L

dyxxydx22()

28、设L为直线y=x上从0（0，0）看到B（1，1）的一段弧,则

L

dyxxydx22

（）.

29、密度为p=22yx曲线L为圆围x2+y2=ax质量M=（）

30、积分I=

L

dyyyxdxxyx)56()4(42134

与路径无关，则入=（）

31、已知

2)(

)(

yx

ydydxayx





为某函数的全微分，则a=（）

32、为平面4zyx被圆柱面122yx截出的有限部分，则曲面积分



s

zd=

（）

33、面为x2+y2+z2=R2在第一极限的部分，其面密度为P（X,Y,Z）=X，则曲面的质量

为（）。

34、设S是平面X+Y+Z=4被圆柱x2+y2=1截出的有限部分，则曲面面积



yds=()

35、面为x2+y2+z2在第一极限的部分其面密度为常数p，则其绕Z轴的转动惯量为

（）

36、面密度为p的上半球02222yx饶z轴的转动惯量为（）

37、设

22

2

1

yx为由与z=h（h>o）所围立体的表面内侧，则



yx

dzd=（）

38、设





dxdydabyxaz的上侧则为曲面)0,(;222()

39、设曲面2222azyx的外侧，则



s

zd=（）

40、设曲面2222azyx为的外侧，



dxdyyx)(22()

41、设为球面x2+y2+z2=a2的外侧，则



xdyz()

42、设22yxz为锥面下平面=9所围成的空间区域的表面外侧，则





ydzdx()

43、向量场

F

=Z

K

穿过上半球面z=222YXR

的通量I=()

44、设为半球面z=224y的上侧。侧



zdxdyydxdzxdydz()

45、设L为圆1

3

2

4

2



yx

的弧，其周长为a，则

L

dsyxxy)432(22()

46、均匀曲面Z=222yxa的重心为()

47、幂级数







1

13

2

12

n

nx

n

n

的收敛半径是（）。

48、幂级数11n的收敛区间是（）

49、微分方程0



yy的通解为（）。

50、微分方程0136







yyy的通解为（）。

51、齐次线性方程的通解为032'



yyy（）。

52、齐次方程的特解为2|;

1





x

y

x

x

y

x

y（）。

53、齐次方程（1+2e的通解为0)1()dy

y

x

y

x

zedx

y

x

（）。

54、微分方程xexyysincos



的通解是（）。

55、微分方程xxyy2sintan



的通解为（）。

56、方程的特解是满足初始条件3,03

00













xx

yyyy（）。

57、微分方程：的通解为xxy

dx

dy

42（）。

58、设圆柱形浮筒，直径为0.5米，垂直放在水中，当稍向下压突然放开，浮筒在水中上

下振动的周期为2秒种，则浮筒的质量为（）kg.

59、贝努利方程的通解为5xyy

dx

dy

（）。

60、方程

yxyx

ddddyx

的通解为（）。

61、方程02

xyx

xdyxdyd的通解为（）。

62、方程y''=的通解为21x（）。

63、方程xxysin12



的通解为（）。

64、满足微分方程xy



的经过点M（0，1）且在此点与直线y=相切的积分曲线是1

2



x

（）。

65、微分方程013



yy的通解是（）。

66、微分方程yyy









3的通解是（）。

67、方程21yy







的通解为（）。

68、方程0sin



yyx满足0x时，

2



y，1



y的特解是（）。

三、解答题

1、已知函数

y

x

xyyxyxftan,22，试求tytxf,

2、已知函数vuwWUwvuf,,,试求xyyxyxf,,

3、设222,,zxyzzyzyxf,求2,0,1,1,0,0

xzxx

ff

4、设xyxzln，求

yz

z





2

3

。

5、求函数：221lnyxz当x=1,y=2时的全微分。

6、求函数：Z=

y

x

，当x=2,y=1,

1.0,15.0yx

时的全增量和全微分。

7、求函数1.0,15.0,1,1,yxyxezxy当时的全微分。

8、设

.,sin,cos,22

x

z

yxuyxuuvvuz





求而

9、设.,23,,ln2

x

z

yxu

y

x

uvuz





求而

10.设32,sin,tytxezyx而求

dt

dz

11.设.,,arctan

dx

dz

eyxyzx求而

12.设



dx

d

xzxay

a

zyeax

求而,cos,sin,

12









13、求微分方程xeyyx2cos



的通解。

14、设.,arctanln22

dy

dx

x

x

yx求

15、设

.

,022

x

z

xyzzyx





求。

16、设

y

z

z

x

ln求.

x

z





17、设.,0

2

2

x

z

xyzez





求

18、设

.,3

2

33

yx

z

axyzz





求

19、求曲线











22,1,1

22

sin4,cos1,sin



在点

t

ztyttx处的切线方程。

20、求曲线2,

1

,

1

tz

t

t

y

t

t

x







在对应于1t的点处的法平面方程。

21、求曲线xmzmxy22,2在点

000

,,zyx处的法平面方程。

22、求曲线











04532

03222

zyx

xzyx

在点（1，1，1）处的法平面方程。

23、求曲线32,,tztytx上的点，使在该点的切线平行于平面.42zyx

24、求曲面1222czbyax在点

000

,,zyx处的切平面方程。

25、求曲面3xyzez在点0,1,2处的切平面方程。

26、求椭球面12222zyx上平行平面02zyx的切平面方程。

27、求函数xyzu在点2,1,5处沿从点2,1,5到点14,4,9的方向的方向导数。

28、设0,0,0,62332,,222gradfzyxxyzyxzyxf求

29、求函数224,yxyxyxf的极值。

30、求函数2246,yyxxyxf的极值。

31、求函数yyxeyxfzx2,2的极值。

32、求函数xyyxyxf3,32的极值。

33、求函数2

221yxz的极值。

34、求函数xyz在适合附加条件1yx下的极大值。

35、在平面xoy上求一点，使它到01620,0yxyx及三直线的距离平方之和为最小。

36、抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

37、计算二重积分,22dyx

D

其中D是矩形区域：1,1yx

38、计算二重积分



D

dyx,cos其中D是三顶点分别为,0,,0,0和的三角形区域。

39、求由平面1,0,0yxyx所围成的柱体被平面0z及抛物面zyx622截得

的立体体积。

40、求由曲面222yxz及2226yxz所围成的立体的体积。

41、求球面2222azyx含在圆柱面axyx22内部的那部分面积。

42、求底圆半径相等的两个直圆柱面222Ryx及222Rzx及222Rzx所围立体

的表面积。

43、球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，

求这球体的质量。

44、球体22222Rzyx内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试

求这球体的重心。

45、一均匀物体（密度P为常量）占有的闭区域由曲面222yxz和平面

ayaxz,,0所围成。求该物体的体积。

46、计算;

3

4

2dsyxz

















其中为平面1

432



zyx

在第一极限中的部分。

47、计算

zyxT

dzxdyd232；其中T是圆周,0,9222zzyx若从z轴正向看去，

取逆时针方向。

48、计算,22dsyx

L

其中L为圆周

.22axyx

49、计算

,xdydxyza

L

其中L为摆线taytaxcos1,sin1上对应t从0到2



的一段弧。

50、计算,xyzdxdy



其中为球面

1222zyx0,0yx的外侧。

51、一曲线通过点3,2，它在两坐标轴间的任一切线线段被中点平分，求这个曲线方程。

52、求微分方程：xey

dx

dy

的通解。

53、求微方程：232



xxyyx的通解。

54、求全微方程046632222dyyyxdxxyx的通解

55、求全微分方程022

22dyyxdxyxya的通解。

56、求全微分方程02dyyxedxeyy的通解。

57、求全微分方程0sinsincoscos



yxyyxyx的通解。

58、求微分方程02xdydxyx的通解。

59、求全微分方程的：xxysin



的通解。

60、求xxey



的通解。

61、求

21

1

x

y







的通解。

62、求xyy







的通解。

63、已知xexy

1

是齐次线性方程021212







yyxyx的一个解，求此方程的通

解。

64、已知xxy

1

是齐次线性方程0222







yyxyx的一个解，求非齐次线性方程

0222







yyxyx的一个解，求非齐次线性方程32222xyxyyx



的通解。

65、已知齐次线性方程。0



yy的通解为,sincos

21

xcxcxy求非齐次线性方程

xyysec



的通解。

66、已知齐次线性方程。211







xyyxyx的通解为,1

21

nxcxcxy求非齐

次线性方程yx



1

xyyx



的通解。

67、已知方程044







yyy的特解为xxxeyey2

2

2

1

,求xyyy







44的通解。

68、求微分方程

04yy的通解。

69、求微分方程

024



yyy的通解。

70、求微分方程

024







yyy的通解。

71、求微分方程

03654



yyy的通解。

72、求微分方程xeyyy22







的通解。

73、求微分方程xeyay

2的通解。

74、求微分方程125522







xxyy的通解。

75、求微分方程xxeyyy







323的通解。

76、求微分方程xeyyyx2sin52







的通解。

77、求微分方程xexyyy3196







的通解。

78、求微分方程xxyycos4



的通解。

四、证明题

1．设函数),(yxz由方程0),(

x

z

y

y

z

xF所确定，证明：xyz

y

z

y

x

z

x











2．试证：曲面3

2

3

2

3

2

3

2

azyx

上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数

a2.

3．设),(yxf是平面D上的连续函数，且在D的任何一个子域上，恒有







D

dyxf0),(，则在D内0),(yxf

4．设)(xf在)0(,0aa上连续，试证：













aaa

x

dxxfdyyfdxxf

0

2

0

)()()(2

5．设)(xf在ba,上连续，试证：



b

a

n

x

a

n

b

a

dyyfyb

n

dyyfyxdx)()(

1

1

)()(12

6．设为f连续函数，证明：





D

ducubafudxdycbyaxf,)(12)(22

1

1

2其中D为

0,12222bayx且

7．设),(yxf在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明：

dxdy

yx

fyfx

f

D

yx















22

02

1

lim)0,0(



，其中D为圆环域：1222yx

8.设)(tf为连续函数，证明

a

a

D

dttatfdxdyyxf,))(()(

其中D为矩形域：)0(

2

,

2

a

a

y

a

x常数

9．设)(xf，)(xg均在ba,上连续，证明柯西不等式：





































dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a

)()()()(22

2

10．设)(xf为1,0上的单调增加的连续函数，证明：











1

0

2

1

0

3

1

0

2

1

0

3

)(

)(

)(

)(

dxxf

dxxf

dxxxf

dxxxf

11．证明：













N

x

N

x

N

xxdxedxedxe2

0

2

00

222

22



12．设曲线L是正向圆周1)()(22ayax，)(x是连续的正函数，证明：





2)(

)(

dxxydy

y

x

L

13．设

)0,0,,2,1(,11

nn

n

n

n

nban

b

b

a

a



,证明

(1)若

1n

n

b收敛，则

1n

n

a收敛；（2）若

1n

n

a发散，则

1n

n

b发散。

14．设0

n

a且}{

n

na有界，试证

1

2

n

na收敛。

15．若)0(lim2



ccan

n

n

，试证

1n

n

a收敛。

16．设)(

0

xf在区间)0(,0aa上连续，而且),2,1(,0,)()(

0

1



naxdxxfxfx

nn

，试

证：无穷级数

0

)(

n

n

xf在a,0上是绝对收敛的。

17．设)(xf在点x=0的某一邻域内具有连续的二阶导数，且0

)(

lim

0



x

xf

x

，证明级数

1

)

1

(

n

n

f

绝对收敛。

18．设函数)(xf在ba,上满足,1)(,)(



qxfbxfa令

],,[,,3,2,1),(

01

baunufu

nn





证明：







1

1

)(

n

nn

uu绝对收敛。

19．设a,b为正常数，为非负常数，微分方程xbeay

dx

dy



（1）求该方程的通解；

（2）证明：当0时,;)(lim

a

b

xy

x





当0时,;0)(lim



xy

x

20．设当bx0时，函数)(xf满足;)0(),()()(afxfxpxf



；函数)(xg满足

;)0(),()()(agxfxpxg



证明：bxxfxg0),()(

《高等数学2》答疑题

1.设,),(xyyxfz求)0,0(

x

f



，)0,0(

y

f



解：0

)0,0()0,0(

lim)0,0(

0











x

fxf

f

x

x

，同理有

)0,0(

y

f



＝0

2．设,arcsin

22yx

x

z



求

x

z





，

2

2

x

z





，

yx

z



2

解：

222

22

22

22

2

22

)(1

1

yx

y

yx

yx

x

xyx

yx

x

x

z























222222

2

)(

2

yx

yx

yx

y

x

x

z



























































































0,

)(

0,

)(

222

22

222

22

22

2

y

yx

yx

y

yx

yx

yx

y

yyx

z

3．设)()(

1

yxyfxyf

x

z，求

yx

z



2

解：令,,vyxuxy则)()(

1

)(

1

2

vfyyuf

x

uf

x

x

z













)()()()()()(

1

2

2

vfyvfufyvfyuf

x

y

uf

x

yyx

z











































4．设),()2(xyxgyxfz，其中)(tf二阶可导，),(vug具有连续的二阶偏导数，求

yx

z



2

解：

vu

gygtf

x

v

v

g

u

g

x

u

x

t

t

f

x

z





















































)(2

2)(2)(2

2

v

vuvvu

gxyggxtfgygtf

yyx

z





































5．设xyzexzyxfuysin,0),,(),,,(2，其中,f都具有一阶连续偏导数，且,0





z



，

求

dx

du

解：

dx

dz

x

u

dx

dy

y

f

x

f

dx

du

















x

dx

dy

cos

0),,(2zexy的两边对x求偏导数，得

3

21

321

cos2

0cos2



























xex

dx

dz

dx

dz

xex

y

y

故

z

f

xex

y

f

x

x

f

dx

duy





























3

21

cos2

cos





6．求曲线

























t

t

u

ez

tty

uduex

3

0

1

cossin2

cos

，在t=0处的切线和法平面方程。

解：当t=0时，

















2

1

0

z

y

x

，

30,3;2)0(,sincos2;1)0(,cos3























zezyttyxtextt

故切线方程为

3

2

2

1

1

0







zyx

法平面方程为0)2(3)1(2zyx,即0832zyx

7．求曲面32xyezz在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。

解：令

32),,(xyezzyxFz，则



42

0,2,10,2,1





yF

x

，



22

0,2,10,2,1





xF

y

，



01

0,2,10,2,1



z

z

eF

故切平面方程为042yx

法线方程为

0

0

1

2

2

1







zyx

8．求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线,6yxx轴和y轴所围的闭域D的最

大值与最小值。

解：（1）先求函数在D内的驻点。解方程组



















0)4(),(

0)4(2),(

22

2

yxyxxyxf

yxyxxyyxf

y

x得)60(,0yx及点（4，0），（2，1）；

在D内只有唯一驻点（2，1），在该点处4)1,2(f

（2）再求),(yxf在D的边界上的最值

在边界)60(,0yx和)60(,0xy上0),(yxf

在边界,6yx,6xy代入),(yxf得)6(2)2)(6(),(22xxxxyxf

由

02462



xxf

x

可得2,4yx，比较后可知4)1,2(f为最大值，64)2,4(f为

最小值。

9．计算2

1

4

1

1

2

1

2

1

y

y

x

y

y

x

y

dxedydxedyI

解：由于dxex

y

不能用有限形式表示出结果，故dxex

y

不能先计算，为了改变积分次序

先要写出右边两积分的积分域所对应的不等式组















2

1

4

1

2

1

:

1

y

yx

D，















1

2

1

:

2y

yxy

D

1

2

1

1

2

12

1

8

3

)(

2

eedxeexdyedxIx

x

x

x

y

10．设函数)(xf在1,0上连续，并设Adxxf1

0

)(，求11

0

)()(

x

dyyfxfdx

解：111

0

1

0

)()()()(

xx

dyyfdxxfdyyfxfdxI中1)(

x

dyyf不能直接计算出来，故

必须考虑更换积分次序，

yy

x

xdyyfdxxfdxxfdyyfdxyfxfdyI

00

1

0

1

0

1

0

)()()()()()(

于是2

1

0

1

0

1

0

1

0

)()())()(()(2AdyyfdxxfdyyfdyyfdxxfI

x

x

故2

11

02

1

)()(AdyyfxfdxI

x



11．设有一曲顶柱体，以双曲抛物面xyz为顶，以xy为坐标面为底，以0x平面为侧，柱

面122yx为内侧，柱面xyx222为外侧，试求这个柱体的体积。

解：由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影D，由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体

的体积简便。



DD

xydxdyzdxdyV

曲线L

1:cos2,L

1:1，联立解得，

3





故





cos2

1

3

3

016

9

cossinddV

12．求由下列曲面所围成的体积：0,0,1,,yxyxxyzyxz

解：显然,由以上曲面所围成的空间形体在xoy坐标上的投影是由1yx及yx,轴所围成

的三角形，10,10yx，因而xyyx故所求体积



24

7

][)(1

0

1

0

dxdyxyyxdxdyxyyxVx

D

13．计算







D

d

yx

y

I

2

3

221

，D：10,10yx

解：





dx

yxyx

yxd

dxI

0

1

1

1

1

1

2

11

0

2

1

22

1

0

2

3

22

22

1

0









＝

31

22

ln





14．求,,max22

D

yxdeyxI其中0,0),(yxyxD

解：





















y

xy

x

y

xy

D

xyx

xy

D

yxdxxedyedyedxedxedyeI22222222

00























0

)2(

00

)2(

2

1

)

2

1

(2222222xdedy

x

eedyyedyexyx

x

yx



22

)(

2

1

0

2



tdet

15．计算:,



dxdydzzyxI以由平面1zyx及三坐标所围之区域。

解：zyxzyxf),,(，及积分域关于x,y,z均为对称，故





zdxdydzydxdydzxdxdydz，于是

8

1

331

0

1

0

1

0





yxxdzdyxdxxdxdydzI

16．计算



zdxdydzI，:是球面4222zyx与抛物面zyx322所围形体。

解：凡积分域是由抛物面与其他曲面所围成之形体，一般用柱坐标计算为宜。在柱坐标系

下，球面与抛物面的交线为











z

z

3

4

2

22





，即











3

1



z

，故



Dxy

zdzddzdzdxdyI3

0

4

3

2

0

4

3

4

132

2

2

2











17．计算





dxdydzyxI22，其中:是由曲线0,22xzy绕oz轴旋转一周而成的

曲面与两平面8,2zz所围之形体。

解：曲线











0

22

x

zy

，绕oz轴旋转，所得旋转面方程为

zyx222，无论从积分域还是

从被积函数均可看出本题以选柱坐标系为宜。由于积分域在xoy面上的投影域的两个不同部

分：42:,20:

21

DD之中任意点所作平行于z轴的直线与围成的不同曲面相

交，故原积分应视为柱坐标下两个不同的三重积分之和，即：









3364

2

8

2

3

2

0

2

0

8

2

3

2

0

8

2

2

8

2

2

22

21

dzdddzdddzdddzddI

DD

18。计算三重积分





dxdydzyxI22，其中:是由锥面222zyx与平面

)0(aaz围成的区域。

解：本题积分域为锥体，既可用柱面坐标系，也可用球面坐标系。该处用球面坐标系作，

注意各面均应写成球坐标方程。

545

cos

0

222

2

0

4

010

0

4

tan

4

1

5

2

sinsinaadrrrddI

a











19．计算

L

dlyI其中),()(;222222yxayxL，其中a>0

解：由L的表达式可知用极坐标简便，令,sin,cosyx则

2cossincos:2222224aaL，因为路径和被积函数yyxf),(均关于

x轴,y轴原点对称，所以只要算出第一象限的曲线再4倍即可。

令

42

202







，又



d

a

ddl

2cos

2

2



，故

)

2

2

1(4

2cos

sin42

4

0

ad

a

I









20．计算曲线积分

L

dlzyI222，L为球面

2222azyx与平面yx

相交的圆周，其中a>0

解：



























yx

azy

yx

azyx22222222

，于是



Ll

aaaaldladlaI222)2(

21．计算

L

dyyxdxxyxI)()2(422，其中L为由点（0，0）到点B（1，1）的曲线

xy

2

sin





解：xxyx

yy

P

2)2(2











，xyx

xx

Q

2)(42











，由

x

Q

y

P











可知，



L

QdyPdx与路径无关。

故

15

23

1)()2(1

0

4

1

0

2422dyydxxdyyxdxxyxI

L

22．设曲线积分

L

dyxydxxy)(2与路径无关，其中具有连续的导数，且0)0(，计算

)1,1(

)0,0(

2)(dyxydxxyI

解：xy

y

P

2





，)(xy

x

Q









，因为曲线积分

L

dyxydxxy)(2与路径无关，

故Cxxxyxy

2)(2)(，又0)0(，则C＝0，故2)(xx

于是，1

0

1

0

)1,1(

)0,0(

2

2

1

0)(ydydxdyxydxxyI

23．在过点O（0，0）和A（，0）的曲线族)0(sinaxay中，求一条曲线L，使沿该曲

线从0到A的积分

L

dyyxdxy)2()1(3的值最小。

解：3

0

33

3

4

4]cos)sin2(sin1[)(aadxxaxaxxaaI

令)1(,10)1(4)(2舍去



aaaaI，a=1是)(aI在（0，＋）内唯一驻点。

又1)(,08)(

1







aaIaI

a

在处取得最小值，故所求曲线为)0(sinxxy

24．计算曲面积分dszyxftF

tzyx







2222

),,()(，其中

















22

2222

,0

,

),,(

yxz

yxzyx

zyxf

解：球面

2222tzyx

被上半锥面22yxz分成两部分：

222222

1

,:yxztzyx

222222

2

,:yxztzyx





•

211

)(0)()(2222dsyxdsdsyxtF

用球面坐标22222sin,sintyxddtds，于是

4

4

0

222

2

0

)258(

6

1

sinsin)(tdttdtF







25．计算曲面积分



dsdczbyaxI2)(，其中是球面：2222Rzyx

解：由于对称性有



dszdsydsx2220



zdsydsxds

0



xzdsyzdsxyds，

故













dscdzbdyadxbcyzacxzabxydzcybxa

dsdczbyaxI

)222222(

)(

2222222

2

422222)(

3

4

4RcbadR





26．计算曲面积分



dxdyzyzdzdxxzdydzI22，其中是由曲面22yxz与

222yxz所围成立体表面外侧。

解：

































2

0

2

0

2

4

02

sincos

)22()(

drrrdd

dxdydzzdxdydzzzzdxdydz

z

R

y

Q

x

P

I

27．判断级数





1

1

1

)1(

n

p

n

n

的敛散性。

解：,

1

p

nn

u当0p时，,0

1

lim





n

pn

于是0

)1(

lim

1







p

n

nn

，故级数发散；当1p时，



1

1

n

pn

收敛，故1

1

)1(

1







n

n

pn

绝对收敛。当10p时，

1

1

n

pn

发散，但由于该级数为交错

级数且满足：（1）.,

)1(

11

1







n

pp

n

u

nn

u(2)







n

p

n

nn

u0

1

limlim.由莱氏准则，可知







1

1

1

)1(

n

p

n

n

条件收敛。

28．求级数

1

22

1

arctan

n

n

的和。

解：

2

1

arctan

1

s

3

2

arctan

8

1

2

1

1

8

1

2

1

arctan

8

1

arctan

2

1

arctan

2







s

4

3

arctan

18

1

arctan

3

2

arctan

18

1

arctan

23

ss

1

arctan





n

n

s

n

，（由数学归纳证是正确的）

)(,

4

1arctan

1

arctan



n

n

n

s

n



故

4

2

1

arctan

1

2





n

n

29．设函数)(,)(2xxxxf的傅立叶级数为





1

0

)sincos(

2

1

n

nn

nxbnxaa

求系数

3

b

解：由傅立叶系数公式dxxxxdxxxfb















3sin)(

1

3sin)(

1

2

3







3

2

3sin

2

0

xdxx

30．把155,10)(xxxf展成以10为周期的傅立叶级数。

解：0

5

cos

5

1

5

cos2

5

cos)10(

5

115

5

15

5

15

5xdx

n

xxdx

n

xdx

n

xa

n



推演

n

a过程中n=0没有意义，

0

a要重新求。15

5

0

)10(

5

1

dxxa

15

5

),2,1(

10

)1(

5

sin)10(

5

1

n

n

xdx

n

xbn

n



故









1

)155(

5

sin

)1(10

10)(

n

n

x

n

n

xxf





31．求解微分方程0]1)[ln(



xyyyx

解：令yxyuxyu







,，代入原方程，得0]1[ln



uyyu

Cxxycxu

x

dx

uud

du

u

x

u

uuyu







)ln(lnlnlnln

ln

lnln

32．设函数)(xf具有一阶连续导数，且1)(f又0,0)()]([sin

1

xdyxfdxxfxy

x

是

全微分方程，求，并求此微分方程的通解。

解：根据已知，有)()]([sin

1

xf

x

xfxy

xy























，即

,0,

sin

)(

1

)(



x

x

x

xf

x

xf可求得通解为0),cos(

1

)(xCx

x

xf

又1,1)(Cf，则0),1cos(

1

)(xx

x

xf将)(xf代入原方程，得

0

1cos

)

1cos

(sin







dy

x

x

dx

x

x

x

x

y

对它们进行分项组合得))(1(

1

]cos)cossin[(

1

22

xdyydx

x

xdyxdxxyxxy

x



0])1[()

cos

(

x

y

d

x

xy

d

故原方程的通解为C

x

y

x

xy

)1(

cos

，即

x

Cx

y

cos1





33．求解微分方程axeyyy







44，其中a为实数。

解：对应齐次方程的特征方程为0442，特征值2

21

，对应的齐次方程

的通解为xexCCy2

21

)(

非齐次方程的一个特解*y为























2,

2

1

2,

)2(

1

2

2

*

aex

ae

a

y

ax

ax

非齐次方程的通解为





























2,

2

1

)(

2,

)2(

1

)(

22

21

2

2

21

aexexCC

ae

a

exCC

y

axx

axx

34．已知xxxxxxxeexeyexeyexey2

32

2

1

,,是某二阶线性非其次系数常微分

方程的三个解，求此微分方程及其通解。

解：由线性微分方程的解的结构定理可得，xxxeeyyeyy2

2131

,

xeyyyy2

2131

)()(是该方程对应的其次方程的解，由解xe与xe2的形式，可得其齐次

方程为02







yyy，设该方程为xexyyy)21(2







其通解为xxxxexeeCeC22

21



35．求解微分方程3233xyyxyx







解：令tet，则t=lnx,用算子法得

原方程tteyDDeyDDD323)32(]33)1([（*）

特征方程为1,3032

21

2

对应的关于t的齐次微分方程通解为tteCeCty

2

3

1

)(

非其次方程（*）的特解为ttee

DD

ty33

2

*

12

1

32

1

)(





故方程（*）的通解为ttteeCeCty3

2

3

112

1

)(

于是原方程的通解为3

2

3

112

11

)(xxC

x

Cxy