南宁中考

南宁中考

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2023年2月13日发(作者：)

1

广西南宁市中考2021年数学试卷

一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分）每小题都给出代号（A）、（B）、（C）、

（D）四个结论,其中只有一个是正确的,请考上用2B铅笔在答题卡上将选定答案标号涂

黑．

1．（3分）（2013•南宁）在﹣2,1,5,0这四个数中,最大的数是（ ）

A．﹣3B．

1

C．

5

D．

0

考点：有理数大小比较．

分析：根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0。②负数都小于0。③正数大于一切

负数进行比较即可．

解答：解：在﹣2,1,5,0这四个数中,

大小顺序为：﹣2＜0＜1＜5,

所以最大的数是5．

故选C．

点评：本题主要考查了有理数的大小的比较,解题的关键利用熟练掌握有理数的大小比较法

则,属于基础题．

2．（3分）（2013•南宁）如图所示,将平面图形绕轴旋转一周,得到的几何体是（ ）

A．B．C．D．

考点：点、线、面、体．

分析：根据半圆绕它的直径旋转一周形成球即可得出答案．

解答：解：半圆绕它的直径旋转一周形成球体．

故选：A．

点评：本题考查了平面图形与立体图形的联系,培养学生的观察能力和空间想象能力．

3．（3分）（2013•南宁）2021年6月11日,神舟十号飞船发射成功,神舟十号飞船身高9米,

重约8吨,飞行速度约每秒7900米,将数7900用科学记数法表示,表示正确的是（ ）

A．

0.79×10

4B．

7.9×104C．

7.9×103D．

0.79×103

考点：科学记数法—表示较大的数．

分析：

科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看

把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝

对值＞1时,n是正数。当原数的绝对值＜1时,n是负数．

2

解答：

解：将7900用科学记数法表示为：7.9×10

3

．

故选：C．

点评：

此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式,其中1≤|a|

＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2013•南宁）小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验,通过观察,发现这块

长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）

A．三角形B．线段C．矩形D．正方形

考点：平行投影．

分析：根据平行投影的性质分别分析得出即可即可．

解答：解：将矩形木框立起与地面垂直放置时,形成的影子为线段。

将矩形木框与地面平行放置时,形成的影子为矩形。

将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形。

由物体同一时刻物高与影长成比例,且矩形对边相等,故得到的投影不可能是三角形．

故选：A．

点评：本题考查了投影与视图的有关知识,是一道与实际生活密切相关的热点试题,灵活运用

平行投影的性质是解题的关键．

5．（3分）（2013•南宁）甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛,赛场只设1、2、3、4四

个跑道,选手以随机抽签的方式决定各自的跑道,若甲首先抽签,则甲抽到1号跑道的概率是

（ ）

A．

1

B．C．D．

考点：概率公式．

分析：由设1、2、3、4四个跑道,甲抽到1号跑道的只有1种情况,直接利用概率公式求解即

可求得答案．

解答：解：∵设1、2、3、4四个跑道,甲抽到1号跑道的只有1种情况,

∴甲抽到1号跑道的概率是：．

故选D．

点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

6．（3分）（2013•南宁）若分式的值为0,则x的值为（ ）

A．﹣1B．

0

C．

2

D．﹣1或2

考点：分式的值为零的条件．

分析：根据分式值为零的条件可得x﹣2=0,再解方程即可．

解答：解：由题意得：x﹣2=0,且x+1≠0,

解得：x=2,

故选：C．

点评：

3

此题主要考查了分式值为零的条件,关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分

母不等于零．

注意：“分母不为零”这个条件不能少．

7．（3分）（2013•南宁）如图,圆锥形的烟囱底面半径为15cm,母线长为20cm,制作这样一个

烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ）

A．

150πcm

2B．

300πcm2C．

600πcm2D．

150πcm2

考点：圆锥的计算．

专题：计算题．

分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆

锥的母线长,然后根据扇形的面积公式计算即可．

解答：

解：烟囱帽所需要的铁皮面积=×20×2π×15=300π（cm

2

）．

故选B．

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,

扇形的半径等于圆锥的母线长．

8．（3分）（2013•南宁）下列各式计算正确的是（ ）

A．

3a

3+2a2=5a6B．C．

a4•a2=a8D．

（ab2

）

3=ab6

考点：二次根式的加减法。合并同类项。同底数幂的乘法。幂的乘方与积的乘方．

专题：计算题．

分析：分别根据合并同类项、同底数幂的乘法法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行

逐一判断即可．

解答：

解：A、3a

3

与2a

2

不是同类项,不能合并,故本选项错误。

B、2+=3,故本选项正确。

C、a4•a2=a6,故本选项错误。

D、（ab2

）

3=a3b6,故本选项错误．

故选B．

点评：本题考查的是二次根式的加减法,即二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次

根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变．

9．（3分）（2013•南宁）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场,气球的种类有

笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同,由于会场布置需要,购买时

以一束（4个气球）为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为（ ）

4

A．

19

B．

18

C．

16

D．

15

考点：二元一次方程组的应用．

分析：要求出第三束气球的价格,先求出笑脸形和爱心形的气球的单价就可以求出结论．

解答：解：设笑脸形的气球x元一个,爱心形的气球y元一个,由题意,得

,

解得：2x+2y=16．

故选C．

点评：本题考查了学生观察能力和识图能力,列二元一次方程组解实际问题的运用和数学整

体思想的运用,解答本题时根据单价×数量=总价的数量关系建立方程是关键．

10．（3分）（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列说法错误

的是（ ）

A．图象关于直线x=1对称B．

函数ax

2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4

C．

﹣1和3是方程ax

2+bx+c（a≠0）的两个

根

D．当x＜1时,y随x的增大而增大

考点：二次函数的性质．

分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况,结合二次函数的性质,即可对所得结论进行判断．

解答：解：A、观察图象,可知抛物线的对称轴为直线x=1,则图象关于直线x=1对称,正确,故

本选项不符合题意。

B、观察图象,可知抛物线的顶点坐标为（1,﹣4）,又抛物线开口向上,所以函数ax2+bx+c

（a≠0）的最小值是﹣4,正确,故本选项不符合题意。

C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1,0）,而对称轴为直线x=1,所以抛物线

与x轴的另外一个交点为（3,0）,则﹣1和3是方程ax

2+bx+c（a≠0）的两个根,正确,

故本选项不符合题意。

D、由抛物线的对称轴为x=1,所以当xx＜1时,y随x的增大而减小,错误,故本选项符合

题意．

故选D．

5

点评：此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是利用数形结合思想解题．

11．（3分）（2013•南宁）如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=

∠BOD,则⊙O的半径为（ ）

A．

4

B．

5

C．

4

D．

3

考点：垂径定理。勾股定理。圆周角定理．

专题：探究型．

分析：

先根据∠BAC=∠BOD可得出=,故可得出AB⊥CD,由垂径定理即可求出DE的

长,再根据勾股定理即可得出结论．

解答：

解：∵∠BAC=∠BOD,

∴=,

∴AB⊥CD,

∵AE=CD=8,

∴DE=CD=4,

设OD=r,则OE=AE﹣r=8﹣r,

在RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8﹣r,

∵OD2=DE2+OE2,即r2=42+（8﹣r）2,解得r=5．

故选B．

点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理,熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且

平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

12．（3分）（2013•南宁）如图,直线y=与双曲线y=（k＞0,x＞0）交于点A,将直线y=

向上平移4个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线y=（k＞0,x＞0）交于点B,若

OA=3BC,则k的值为（ ）

6

A．

3

B．

6

C．D．

考点：反比例函数综合题．

专题：探究型．

分析：先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式,再分别过点A、B作AD⊥x

轴,BE⊥x轴,CF⊥BE于点F,再设A（3x,x）,由于OA=3BC,故可得出B（x,x+4）,再

根据反比例函数中k=xy为定值求出x

解答：

解：∵将直线y=向上平移4个单位长度后,与y轴交于点C,

∴平移后直线的解析式为y=x+4,

分别过点A、B作AD⊥x轴,BE⊥x轴,CF⊥BE于点F,设A（3x,x）,

∵OA=3BC,BC∥OA,CF∥x轴,

∴CF=OD,

∵点B在直线y=x+4上,

∴B（x,x+4）,

∵点A、B在双曲线y=上,

∴3x•x=x•（x+4）,解得x=1,

∴k=3×1××1=．

故选D．

7

点评：本题考查的是反比例函数综合题,根据题意作出辅助线,设出A、B两点的坐标,再根据

k=xy的特点求出k的值即可．

二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分）

13．（3分）（2013•南宁）若二次根式有意义,则x的取值范围是 x≥2 ．

考点：二次根式有意义的条件．

分析：根据二次根式有意义的条件,可得x﹣2≥0,解不等式求范围．

解答：

解：根据题意,使二次根式有意义,即x﹣2≥0,

解得x≥2。

故答案为x≥2．

点评：本题考查二次根式的意义,只需使被开方数大于或等于0即可．

14．（3分）（2013•南宁）一副三角板如图所示放置,则∠AOB= 105 °．

考点：角的计算．

分析：根据三角板的度数可得：∠1=45°,∠2=60°,再根据角的和差关系可得∠AOB=∠1+∠2,进而

算出角度．

解答：解：根据三角板的度数可得：∠1=45°,∠2=60°,

∠AOB=∠1+∠2=45°+60°=105°,

故答案为：105．

8

点评：此题主要考查了角的计算,关键是掌握角之间的关系．

15．（3分）（2013•南宁）分解因式：x2

﹣25= （x+5）（x﹣5） ．

考点：因式分解-运用公式法．

分析：直接利用平方差公式分解即可．

解答：

解：x

2

﹣25=（x+5）（x﹣5）．

故答案为：（x+5）（x﹣5）．

点评：本题主要考查利用平方差公式因式分解,熟记公式结构是解题的关键．

16．（3分）（2013•南宁）某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分,其中,期中考

试成绩占40%,期末考试成绩占60%,小海这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是80

分、90分,则小海这个学期的体育综合成绩是 86 分．

考点：加权平均数．

分析：利用加权平均数的公式直接计算．用80分,90分分别乘以它们的百分比,再求和即

可．

解答：解：小海这学期的体育综合成绩=（80×40%+90×60%）=86（分）．

故答案为86．

点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80、90这两个数的平均数,

对平均数的理解不正确．

17．（3分）（2013•南宁）有这样一组数据a

1

,a

2

,a

3

,…a

n

,满足以下规律：

,（n≥2且n为正整数）,则a

2013

的

值为 ﹣1 （结果用数字表示）．

考点：规律型：数字的变化类．

专题：规律型．

分析：求出前几个数便不难发现,每三个数为一个循环组依次循环,用过2013除以3,根据商

和余数的情况确定答案即可．

解答：

解：a

1

=,

a

2

==2,

a

3

==﹣1,

a

4

==,

…,

依此类推,每三个数为一个循环组依次循环,

∵2013÷3=671,

∴a

2013

为第671循环组的最后一个数,与a

3

相同,为﹣1．

9

故答案为：﹣1．

点评：本题是对数字变化规律的考查,根据计算得到每三个数为一个循环组依次循环是解题

的关键．

18．（3分）（2013•南宁）如图,在边长为2的正三角形中,将其内切圆和三个角切圆（与角两

边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去,则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为

﹣π ．

考点：三角形的内切圆与内心．

分析：连接OB,以及⊙O与BC的切点,在构造的直角三角形中,通过解直角三角形易求得

⊙O的半径,然后作⊙O与小圆的公切线EF,易知△BEF也是等边三角形,那么小圆的

圆心也是等边△BEF的重心。由此可求得小圆的半径,即可得到四个圆的面积,从而由

等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积．

解答：解：如图,连接OB、OD。

设小圆的圆心为P,⊙P与⊙O的切点为G。过G作两圆的公切线EF,交AB于E,交BC

于F,

则∠BEF=∠BFE=90°﹣30°=60°,所以△BEF是等边三角形．

在Rt△OBD中,∠OBD=30°,

则OD=BD•tan30°=1×=,OB=2OD=,BG=OB﹣OG=。

由于⊙P是等边△BEF的内切圆,所以点P是△BEF的内心,也是重心,

故PG=BG=。

∴S

⊙O

=π×（）2=π,S

⊙P

=π×（）2=π。

∴S

阴影

=S

△ABC

﹣S

⊙O

﹣3S

⊙P

=﹣π﹣π=﹣π．

故答案为﹣π．

点评：

10

此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法,难度适

中．

三、（本大题共2小题,每小题6分,共12分）

19．（6分）（2013•南宁）计算：20130

﹣+2cos60°+（﹣2）

考点：实数的运算。零指数幂。特殊角的三角函数值．

分析：分别进行零指数幂、二次根式的化简,然后代入特殊角的三角函数值合并即可得出答案．

解答：

解：原式=1﹣3+2×﹣2=﹣3．

点评：本题考查了实数的运算,属于基础题,关键是掌握零指数幂的运算法则及一些特殊角的

三角函数值．

20．（6分）（2013•南宁）先化简,再求值：,其中x=﹣2．

考点：分式的化简求值．

专题：计算题．

分析：先算括号里面的,再把除式的分母分解因式,并把除法转化为乘法,然后进行约分,最后

把x的值代入进行计算即可得解．

解答：

解：（+）÷

=÷

=•

=x﹣1,

当x=﹣2时,原式=﹣2﹣1=﹣3．

点评：本题考查了分式的化简求值,分子、分母能因式分解的先因式分解。除法要统一为乘法

运算．

四、本大题共2小题,每小题8分,共16分

21．（8分）（2013•南宁）如图,△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1,3）,B（﹣1,1）,C

（﹣3,2）．

（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A

1

B

1

C

1

。

（2）以原点O为位似中心,将△A

1

B

1

C

1

放大为原来的2倍,得到△A

2

B

2

C

2

,请在第三象限内画

出△A

2

B

2

C

2

,并求出S

△A1B1C1

：S

△A2B2C2

的值．

11

考点：作图-旋转变换。作图-轴对称变换．

专题：作图题．

分析：

（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A

1

、B

1

、C

1

的位置,然后顺次

连接即可。

（2）连接A

1

O并延长至A

2

,使A

2

O=2A

1

O,连接B

1

O并延长至B

2

,使B

2

O=2B

1

O,连接

C

1

O并延长至C

2

,使C

2

O=2C

1

O,然后顺次连接即可,再根据相似三角形面积的比等于

相似比的平方解答．

解答：

解：（1）△A

1

B

1

C

1

如图所示。

（2）△A

2

B

2

C

2

如图所示,

∵△A

1

B

1

C

1

放大为原来的2倍得到△A

2

B

2

C

2

,

∴△A

1

B

1

C

1

∽△A

2

B

2

C

2

,且相似比为,

∴S

△A1B1C1

：S

△A2B2C2

=（）2=．

点评：本题考查了利用旋转变换作图,利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构,准确找出对应

点的位置是解题的关键,还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质．

22．（8分）（2013•南宁）2021年6月,某中学结合广西中小学阅读素养评估活动,以“我最喜

爱的书籍”为主题,对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查,收集整理数据后,绘制出

以下两幅未完成的统计图,请根据图1和图2提供的信息,解答下列问题：

12

（1）在这次抽样调查中,一共调查了多少名学生？

（2）请把折线统计图（图1）补充完整。

（3）求出扇形统计图（图2）中,体育部分所对应的圆心角的度数。

（4）如果这所中学共有学生1800名,那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．

考点：折线统计图。用样本估计总体。扇形统计图．

专题：图表型．

分析：（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解。

（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数,然后补全折线图即可。

（3）用体育所占的百分比乘以360°,计算即可得解。

（4）用总人数乘以科普所占的百分比,计算即可得解．

解答：解：（1）90÷30%=300（名）,

故,一共调查了300名学生。

（2）艺术的人数：300×20%=60名,

其它的人数：300×10%=30名。

补全折线图如图。

（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：×360°=48°。

（4）1800×=480（名）．

答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．

13

点评：本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用,折线统计图表示的是事物的变化

情况,扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数

与360°的比．

五、（本大题满分8分）

23．（8分）（2013•南宁）如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的

中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF。

（2）若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长．

考点：菱形的性质。全等三角形的判定与性质。等边三角形的判定与性质．

分析：（1）首先根据菱形的性质,得到AB=BC=AD=CD,∠B=∠D,结合点E、F分别是边BC、

AD的中点,即可证明出△ABE≌△CDF。

（2）首先证明出△ABC是等边三角形,结合题干条件在Rt△AEB中,∠B=60°,AB=4,即

可求出AE的长．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC=AD=CD,∠B=∠D,

∵点E、F分别是边BC、AD的中点,

∴BE=DF,

在△ABE和△CDF中,

∵,

∴△ABE≌△CDF（SAS）。

（2）∵∠B=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∵点E是边BC的中点,

14

∴AE⊥BC,

在Rt△AEB中,∠B=60°,AB=4,

sin60°==,

解得AE=2．

点评：本题主要考查菱形的性质等知识点,解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质、全等三角

形的证明以及等边三角形的性质,此题难度不大,是一道比较好的中考试题．

六、（本大题满分10分）

24．（10分）（2013•南宁）在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地。

乙骑自行车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离B地的距离y

（km）与行驶时x（h）之间的函数图象,根据图象解答以下问题：

（1）写出A、B两地直接的距离。

（2）求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义。

（3）若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙

两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．

考点：一次函数的应用．

分析：（1）x=0时甲的y值即为A、B两地的距离。

（2）根据图象求出甲、乙两人的速度,再利用相遇问题求出相遇时间,然后求出乙的路

程即可得到点M的坐标以及实际意义。

（3）分相遇前和相遇后两种情况求出x的值,再求出最后两人都到达B地前两人相距

3千米的时间,然后写出两个取值范围即可．

解答：解：（1）x=0时,甲距离B地30千米,

所以,A、B两地的距离为30千米。

（2）由图可知,甲的速度：30÷2=15千米/时,

乙的速度：30÷1=30千米/时,

30÷（15+30）=,

×30=20千米,

所以,点M的坐标为（,20）,表示小时后两车相遇,此时距离B地20千米。

（3）设x小时时,甲、乙两人相距3km,

①若是相遇前,则15x+30x=30﹣3,

15

解得x=,

②若是相遇后,则15x+30x=30+3,

解得x=,

③若是到达B地前,则15x﹣30（x﹣1）=3,

解得x=,

所以,当≤x≤或≤x≤2时,甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系．

点评：本题考查了一次函数的应用,主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系,难点在于

（3）要分情况讨论．

七、（本大题满分10分）

25．（10分）（2013•南宁）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交

BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P．

（1）求证：DE是⊙O的切线。

（2）求tan∠ABE的值。

（3）若OA=2,求线段AP的长．

考点：切线的判定。圆周角定理。解直角三角形．

专题：证明题．

分析：（1）连结AD、OD,根据圆周角定理得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形的直线

得DC=DB,所以OD为△BAC的中位线,则OD∥AC,然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE,

这样根据切线的判定定理即可得到结论。

（2）易得四边形OAED为正方形,然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值。

（3）由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°,再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF,则

tan∠EAP=tan∠ABE=,在Rt△EAP中,利用正切的定义可计算出EP,然后利用勾股定

理可计算出AP．

解答：（1）证明：连结AD、OD,如图,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

∵AB=AC,

16

∴AD垂直平分BC,即DC=DB,

∴OD为△BAC的中位线,

∴OD∥AC,

而DE⊥AC,

∴OD⊥DE,

∴DE是⊙O的切线。

（2）解：∵OD⊥DE,DE⊥AC,

∴四边形OAED为矩形,

而OD=OA,

∴四边形OAED为正方形,

∴AE=AO,

∴tan∠ABE==。

（3）解：∵AB是⊙O的直径,

∴∠AFB=90°,

∴∠ABF+∠FAB=90°,

而∠EAP+∠FAB=90°,

∴∠EAP=∠ABF,

∴tan∠EAP=tan∠ABE=,

在Rt△EAP中,AE=2,

∵tan∠EAP==,

∴EP=1,

∴AP==．

点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查

了圆周角定理和解直角三角形．

八、（本大题满分10分）

26．（10分）（2013•南宁）如图,抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2,0）,D（0,﹣1）两点,并与

直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E（0,﹣2）且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l

的垂线,垂足分别为点M、N．

17

（1）求此抛物线的解析式。

（2）求证：AO=AM。

（3）探究：

①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值。

②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数．

考点：二次函数综合题．

专题：代数几何综合题．

分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c,即可得解。

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标,然后求出AO、AM的长,即可得证。

（3）①k=0时,求出AM、BN的长,然后代入+计算即可得解。

②设点A（x

1

,x

1

2

﹣1）,B（x

2

,x

2

2

﹣1）,然后表示出+,再联立抛物线与直线解

析式,消掉未知数y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出

x

1

+x

2

,x

1

•

2

,并求出x

1

2+x

2

2,x

1

2•x

2

2,然后代入进行计算即可得解．

解答：

（1）解：∵抛物线y=ax

2+c（a≠0）经过C（2,0）,D（0,﹣1）,

∴,

解得,

所以,抛物线的解析式为y=x

2

﹣1。

（2）证明：设点A的坐标为（m,m

2

﹣1）,

则AO==m

2+1,

∵直线l过点E（0,﹣2）且平行于x轴,

18

∴点M的纵坐标为﹣2,

∴AM=m2

﹣1﹣（﹣2）=m

2+1,

∴AO=AM。

（3）解：①k=0时,直线y=kx与x轴重合,点A、B在x轴上,

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2,

∴+=+=1。

②k取任何值时,设点A（x

1

,x

1

2

﹣1）,B（x

2

,x

2

2

﹣1）,

则+=+==,

联立,

消掉y得,x

2

﹣4kx﹣4=0,

由根与系数的关系得,x

1

+x

2

=4k,x

1

•x

2

=﹣4,

所以,x

1

2+x

2

2=（x

1

+x

2

）

2

﹣2x

1

•x

2

=16k2+8,

x

1

2•x

2

2=16,

∴+===1,

∴无论k取何值,+的值都等于同一个常数1．

点评：本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,勾股定理以及点

到直线的距离,根与系数的关系,根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标,然后

用含有k的式子表示出+是解题的关键,也是本题的难点,计算量较大,要认真仔

细．

19

23.在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与x轴交于

A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C。

（1）求点A的坐标。

（2）当时,求m的值。

（3）已知一次函数,点P（n,0）是x轴上的一个动点,在（2）的条件下,过点P

垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数

的图象于N。若只有当时,点M位于点N的上方,

求这个一次函数的解析式。

24.在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。

（1）在图1中证明。

（2）若,G是EF的中点（如图2）,直接写出∠BDG的度数。

（3）若,FG∥CE,,分别连结DB、DG（如图3）,求∠BDG的度

数。

F

E

D

A

C

B

G

F

E

D

A

C

B

G

F

E

D

A

C

B

2(3)3(0)ymxmxm

45ABC

ykxb

2(3)3(0)ymxmxm

22n

CECF

90ABC

120ABCFGCE

20

A

MN

BPC

25.如图,在平面直角坐标系xOy中,我把由两条射线AE,BF和以AB为直径的半圆所组成

的图形叫作图形C（注：不含AB线段）。已知A（,）,B（,）,AE∥BF,且半圆与y

轴的交点D在射线AE的反向延长线上。

（1）求两条射线AE,BF所在直线的距离。

（2）当一次函数的图象与图形C恰好只有一个公共点时,写出b的取值范围。

当一次函数的图象与图形C恰好只有两个公共点时,写出b的取值范围。

（3）已知□AMPQ（四个顶点A,M,P,Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上,且不

都在两条射线上,求点M的横坐标x的取值范围。

26．(10分)在等腰△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6．动点M、N分别在AB、AC上(M不与A、B

重合),且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P．

(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上？

(2)设MN＝x,△PMN与△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式．当x为

何值时,y的值最大？最大值是多少？

1010

yxb

yxb