球体表面积计算公式
-板式蒸发器
2023年2月16日发(作者：慈祥的母亲歌词)1..3.2球的体积和表面积（1）
设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平
面把半球切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的“小
圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。
由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近
似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度
n
R
，底面
就是“小圆片”的下底面。
由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径：
22)]1([i
n
R
Rr
i
，（i＝1,2,3，···，n）
第i层“小圆片”的体积为：
V≈π
2
i
r·
n
R
＝
2
31
1
n
i
n
R
，（i＝1,2,3，···，n）
半球的体积：V半径＝V
1
＋V
2
＋···＋Vn
≈
n
R3
{1＋（1－
2
21
n
）＋（1－
2
22
n
）＋···＋［1－
2
2)1(
n
n
］}
＝
n
R3
［n－
2
222)1(21
n
n•••
］（注：)12)(1(
6
1
21222•••nnnn）
＝
n
R3
［n－
6
)12()1(1
2
•
nnn
n
＝
2
3
6
)12)(1(
1(
n
nn
R
）＝
6
)
1
2)(
1
1(
13nn
R①
当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，①式越来越接近于半球的
体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。
事实上，n增大，
n
1
就越来越小，当n无限大时，
n
1
趋向于0，这时，有
V半径＝
3
3
2
R，所以，半径为R的球的体积为：V＝
3
3
4
R
1..3.2球的体积和表面积（2）
球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法）
（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S
1
，S
2
，……
Sn，那么球的表面积为：S＝S1＋S2＋……＋Sn
把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球
面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后
就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”
的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么
“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近
似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。
（2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V
1
，V
2
，…，Vn
那么球的体积为：V＝V
1
＋V
2
＋…＋Vn
由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的
近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”
顶点的连线为棱。设它的高为h
i
，底面面积为S’
i
，于是，它的体积为：
V’i＝
3
1
hiS’i，（i＝1,2,…，n）
这样就有：V
i
≈
3
1
hiS’i，（i＝1,2,…，n）
V≈
3
1
（h
1
S’
1
＋h
2
S’
2
＋…＋h
n
S’
n
）①
（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分
割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么h
i
（i＝1,2,…，n）就趋向于R，S’
i
就趋向于S
i
，于是，由
①可得：V＝
3
1
RS
又V＝
3
3
4
R，所以，有
3
3
4
R＝
3
1
RS即：S＝4πR2