复数的乘法
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2023年2月16日发(作者：彭小川)1
复数的运算法则（加减乘除)
加法法则
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个
虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，
即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1;(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
减法法则
复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个
虚部的差。
乘除法
乘法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得:ac+adi+bci+bdi^2，因为
i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i。两个复数的积仍然是一个复数。
除法法则
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di
2
的商
运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭.所谓共轭你可
以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.
除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等定义可知cx-dy=adx+cy=b
解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2)y=(bc-ad)/(c^2+d^2)
于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i
分母有理化
②利用共轭复数将分母有理化得（见右图）：
点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有
理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1
是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实
数化法。