武汉大学自主招生

武汉大学自主招生

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2023年2月12日发(作者：)

专题2不等式

自主招生常见的不等式试题类型主要包括：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，

其中不等式的证明是难点，也是重点．证明不等式的基本方法主要有：比较法（作差，作商）、

放缩法、反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（构造函数，构造图形）等．它的关键

在于恰当的变形和转化，除此之外，也涉及均值不等式和柯西不等式．构造适当的模型来处

理不等式问题，也是自主招生考试试题中的热点．总之，不等式试题的特点是形式多样，解

法灵活，解题时应重视转化，善于运用技巧．

要点概括

1．均值不等式．

设

12

,,...,

n

aaa是n个正实数，记

222

12

...

n

n

aaa

Q

n



，

12

...

n

n

aaa

A

n



，

12

...n

nn

Gaaa，

12

111

...

n

n

n

H

aaa





，

则有

nnnn

QAGH，其中等号成立的条件是：

12

...

n

aaa.

2．柯西不等式，

设

1212

,,...,;,,...,

nn

aaabbb是2n个实数，则有

2222222

12121122

(...)(...)(...)

nnnn

aaabbbababab

即222

111

()()()

nnn

iiii

iii

abab



，其中等号成立的条件是(1,2,...,)

ii

abin，是一个常

数.

3．柯西不等式的几个绪论．

(1)

12

...1

n

bbb时，柯西不等式即为

2222

1212

(...)(...)

nn

naaaaaa．

若(1,2,...,)

i

ain是正实数，则

222

1212

......

nn

aaaaaa

nn



.

(2)当

1

(1,2,...,)

i

i

bin

a

时，则柯西不等式即为

2222

12

222

12

111

(...)(...)

n

n

aaan

aaa

．

(3)若(1,2,...,)

ii

abin、是正实数，则

2

12

1212

12

(...)(...)(...)n

nn

n

a

aa

bbbaaa

bbb



热点透视

不等式问题是当前各高校自主招生考试中必定涉及的内容．该类题型要求考生在掌握

相关知识及技能的同时，还必须了解和掌握常见不等式的解题策略，这些策略包括特征观

察、数式比较、等价转化、函数单调性、有效放缩、合理构造、数学归纳法、重要不等式的

运用等．

1．解不等式问题．

解不等式，需要同解变形，同解变形时需要保证每一步的转化都是等价转化．要密切关

注不等式的结构形式，采取正确的应对策略和方法，才能有针对性地解题．例如，2004年

同济大学自主招生，2008年浙江大学自主招生，2007年上海交通大学冬令营，2008年、2009

年、2010年复旦大学的自主招生考试的试题都有这类题型．

2．证明不等式，

由于证明不等式的试题形式多样，方法灵活，对代数式的变形技能要求高，因此不等式

的证明历来是自主招生考试的热点．其中，利用均值不等式和柯西不等式来证明是较为常见

的处理方法；而放缩、构造等方法，是更高层次的变形技能．例如，2008年浙江大学自主

招生考试，2008年北京大学自主招生考试的试题，2009年清华大学自主招生考试等均出现

该类题型．

3．不等式的应用，

这类问题主要以求相应的最值，求取值范围，以及探讨函数性质的形式给出，常用的解

题方法包括等价转化的代数方法，以及数形结合的思想方法．具体解题时应灵活应对．例

如，2007年、2008年上海交通大学冬令营，2008年清华大学自主招生考试，2010年复旦大

学自主招生考试的试题等均出现过该类题型．

例题精析

例1(2010年浙江大学自主招生)

12

,,...,

n

xxx是小于1的正数，且

12

...1

n

xxx，求证：

333

1122

111

...4

nn

xxxxxx





＞.

【回顾】方法二的证明，抓住了问题的本质，证明的过程简洁而优美，但①式成立不容

易想到．

例2（2009北京大学自主招生）

已知对任意的

coscos21axbx

恒成立，求

ab

的最大值.

【回顾】通过换元，转化为二次不等式在给定范围上恒成立问题．寻求二次不等式恒

立的条件，及解不等式组都是解题的易错点.

例3（2009年南京大学自主招生）

P为△ABC内一点，它到三边BC、CA、AB的距离分别为

123

ddd、、．S为△ABC

的面积．

求证：

2

123

()

2

abcabc

dddS



（这里

abc、、

分别表示BC、CA、AB的长）．

(回顾】本题熟练使用柯西不等式是证明的关键．

例4（2008年浙江大学自主招生）

已知220,y0,,,xaxybxxyycmxy＞＞

.是否存在正数m．使得对于任意正

数

xy、

可使

abc、、

为三边构成三角形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，

请说明理由.

【回顾】本题中利用构成三角形的条件得出不等式组并不难，但解出不等式组对考生的

能力要求较高．

例5（2003复旦大学保送生）

12

,,...,

n

aaa是各不相同的正整数，

2a

.

求证：

123

1111

()()()...()2aaaa

n

aaaa

＜.

【回顾】本题通过观察不等式的特征，合理联想幂函数和指数函数的单调性，再合理放

缩，使不等式得以证明．熟悉幂函数和指数函数的性质，并会灵活运用是解题关键．

例6（2008年北京大学自主招生）

实数(1

ii

abi、满足

123

aaabbb，

1

aaaaaabbbbbb，

123123

min(,,)min(,,)aaabbb.

求证：

123123

max(,,)max(,,)aaabbb．

【回顾】本题是一道难度较大的试题，利用反证法，构造函数，来完成证明需要相当的

技巧，平时应多加强这方面的练习．

巩固提升

一、选择题

1.（2010年复旦大学自主招生）设实数0xy、,且满足2x+y=5，则函数

2(,)22fxyxxyxy的最大值是

（A）

97

8

；（B）

195

16

；（C）

49

4

；（D）

25

2

.

2.（2008年复旦大学自主招生）已知一个三角形的面积为

1

4

，且它的外接圆半径为1，

abc、、分别是该三角形的三边长，若

111

,uvabc

abc

则u和v的关系是

（A）u>v;(B)u=v；(C)u

3.（2009年复旦大学自主招生）若1,01,xyab则下列各式中一定成立的是

（A）abxy；（B）abxy；（C）xyab；（D）xyab.

4.（2009年复旦大学自主招生）设0,xyz且有12,xyzyz则

422

logloglogxyz的最大值是

（A）3；（B）4；（C）5；（D）6.

5.（2009年复旦大学自主招生）若实数x满足：对任意正数0,a均有则x的取

值范围是

（A）（-1,1）；（B）1,1；（C）(1,1)aa；（D）不能确定.

6.（2009年复旦大学自主招生）设实数

0,,,

bccaab

abc

abc

、、且成等差数列，则下列

不等式一定成立的是

（A）bac；（B）2bac；（C）222abc；（D）

2

ac

b



.

7.（2007年复旦大学自主招生）当

ab和

取遍所有实数时，函数

22(,)(53cos)(2sin)fababab所能取到的最小值为

（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.

8.（2007年武汉大学自主招生）已知函数

2,0;

()

,0,

xx

fx

xx













不等式()20fx的解集为

（A）(,2)；（B）(,2)；（C）（-2,2）；（D）(2,2).

9.（2006年复旦大学自主招生）下列不等式正确的是

（A）

120

1

1

1617

kk

；（B）

120

1

1

1819

kk

；

（C）

120

1

1

2021

kk

；（D）

120

1

1

2223

kk

.

10.（2007年全国数学联赛一试）若实数a使得不等式2232xaxaa对任意实数x

恒成立，则满足条件的a所组成的集合是

（A）

11

,

33









；（B）

11

,

22









；（C）

11

,

43









；（D）3,3.

二、填空题

11．（2008年南开大学自主招生）已知正数

abc、、

满足：2625aabacbc，

则

32abc

的最小值是______________.

12．（2008年南开大学自主招生）若对任意实数x都有1()log(2)1,x

a

fxe则

实数x的取值范围是______________.

13．（2006年武汉大学自主招生）已知不等式

2

2

36

96

1

xpx

xx







对任意实数x恒成

立，则p=______________.

14．（2004年上海交通大学自主招生）已知

xyz、、

是非负整数，且10xyz，

2330xyz，则53xyz值是______________.

三、解答题

15．（2009年清华大学自主招生）已知0xyz、、，

abc、、

是

xyz、、

的一个排列．求

证：3

abc

xyz

．

16．（2006年清华大学自主招生）已知

ab、

为非负实数，44,．求

M的最值．

17．（2008年南开大学自主招生）设

abc、、

为正数，且

1abc

．求

222

111

()()()abc

abc

的最小值．

18．（2008年浙江大学自主招生）已知0,0ab.

求证：

111

...

2

21

()()

22

n

ababanb

bn

aab









19．（2007年浙江省高中数学竞赛）设正实数abc、、及非负实数

xy、

满足条件：

666223,(1)求

332332332

111

222

I

axbybxcycxay





的最小

值，并给出证明．

20．已知17,1,2,...,,

i

ain其中正整数n≥2．

(1)求证：对于一切的正整数

i

，都有

22

112

173

ii

aa





；

(2)求

22

1

1

1

(1)(7)

n

i

ii

S

aa







的最小值，其中约定

11n

aa



.