高三数学补习班

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各地解析分类汇编:数列2

试题解析由京翰教育一对一家教辅导()整理

1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=

11

543(2)

nnn

aaSn





（I）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）若bn=n·an，求数列{bn}的前n项和Tn。

【答案】解：（Ⅰ）

11

3354(2)

nnnn

SSaan



≥

，

1

1

22n

nn

n

a

aa

a



，，………………（3分）

又

1

2a

，

{}22

n

a是以为首项，为公比的等比数列，

……………………………（4分）

1222nn

n

a.……………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）2n

n

bn，

1231222322n

n

Tn，

23121222(1)22nn

n

Tnn.……………………………………………（8分）

两式相减得：1212222nn

n

Tn，

1

2(12)

2

12

n

n

n

Tn







1(1)22nn，………………………………………（11分）

12(1)2n

n

Tn.…………………………………………………………………（12分）

2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）在等差数列

n

a中，3

1

a，其前n项和

为

n

S，等比数列

n

b

的各项均为正数，1

1

b，公比为q，且12

22

Sb，

2

2

b

S

q.

（1）求

n

a与

n

b；（2）设数列

n

c满足

1

n

n

c

S

，求

n

c

的前n项和

n

T.

【答案】解:（1）设

n

a的公差为

d

.

因为















,

,12

2

2

22

b

S

q

Sb

所以

















．

，

q

d

q

dq

6

126

解得3q或4q（舍），

3d

.

故3313

n

ann，13n

n

b.

（2）由（1）可知，

33

2n

nn

S



，

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所以

12211

3331n

n

c

Snnnn











.

故

211111212

11

322313131n

n

T

nnnn

















…

3.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列}{

n

a

满足：28

432

aaa，且2

3

a是

42

,aa的等差中项。

（Ⅰ）求数列}{

n

a的通项公式；

（Ⅱ）若

nnnnn

bbbSaab

21

2

1

,log，求5021n

n

nS成立的正整数n的最小值。

【答案】解：（Ⅰ）设等比数列

n

a的首项为

1

a，公比为q，

依题意，有

423

)22aaa（，

代入,28

432

aaa得20,8

423

aaa…………………………2分

















8

20

2

13

3

11

qaa

qaqa

解之得

























32

2

1

2

1

1a

q

a

q

或…………………………4分

又

n

a单调递增，

n

n

aaq2,2,2

1

………………………………6分

（Ⅱ）

nnn

n

nb22log2

2

1

，………………………………7分

n

n

ns223222132①

143222)1(2322212nn

n

nns②

①-②得2222

21

)21(2

22222111132





nnn

n

nn

n

nnns10分

5021n

n

ns，

522,502211nn

又523222451nn时，当，…………………………11分

当

5n

时，52642261n

.故使5021n

n

ns，成立的正整数n的最小值为5.…

4.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知等比数列n

a的前n项和为

n

S，若

1

,S

2

2,S

3

3S

成等差数列，且

4

40

27

S

求数列

n

a的通项公式.

【答案】

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5.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列

n

a前n项和为

n

S，首项为

1

a，且

nn

Sa,,

2

1

等差数列.

（Ⅰ）求数列

n

a的通项公式；

（Ⅱ）若n

b

n

a)

2

1

(2，设

n

n

na

b

c，求数列

n

c的前n项和

n

T.

【答案】解（1）由题意知0,

2

1

2

nnn

aSa………………1分

当

1n

时，

2

1

2

1

2

111

aaa

当

2n

时，

2

1

2,

2

1

2

11



nnnn

aSaS

两式相减得

11

22





nnnnn

aaSSa………………3分

整理得：2

1



n

n

a

a

……………………4分

∴数列

n

a是以

2

1

为首项，2为公比的等比数列.

211

1

22

2

1

2nnn

n

aa……………………5分

（2）

42222

n

b

n

na

∴nb

n

24，……………………6分

nn

n

n

n

nn

a

b

C

2

816

2

24

2











nn

n

nn

T

2

816

2

824

2

8

2

0

2

8

132















①

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1322

816

2

824

2

0

2

8

2

1











nn

n

nn

T②

①-②得

1322

816

)

2

1

2

1

2

1

(84

2

1







nn

n

n

T………………9分

11

1

12

2

816

)

2

1

144

2

816

2

1

1

)

2

1

1

2

1

84





















nn

n

n

n

n

（

（

n

n

2

4

.………………………………………………………11分

.

2

8

n

n

n

T…………………………………………………………………12分

6.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分12分)数列{}

n

a的前n项的和为

n

S,

对于任意的自然数0

n

a，241

nn

Sa

（Ⅰ）求证：数列{}

n

a是等差数列，并求通项公式

（Ⅱ）设

3

n

n

n

a

b，求和

12nn

Tbbb

【答案】解：（1）令------------------1分

（2）-(1)

--------------------------3分

是等差数列------------------------5分

----------------------------6分

（2）

---①---------------------8分

---②

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①-②----------10分

所以-------------------------------12分

7.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】（本小题满分12分）已知{}

n

a是等比数列，公

比1q，前n项和为3

4

2

7

,,4,

2n

S

Sa

a

且

21

1

{}:,

lognn

n

bb

na







数列满足

（Ⅰ）求数列{},{}

nn

ab的通项公式；

（Ⅱ）设数列

1

{}

nn

bb



的前n项和为

n

T，求证

11

(*).

32n

TnN

【答案】解：----------------4分

-----------------------------------------5分

-----------------------6分

（2）设------8分

=----------------------------10分

因为，所以----------12分

8.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）

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设{}

n

a是公差大于零的等差数列，已知

1

2a，2

32

10aa.

（Ⅰ）求{}

n

a的通项公式；

（Ⅱ）设{}

n

b是以函数2

1

4sin()1

2

yx的最小正周期为首项，以

3

为公比的等比数列，求数列



nn

ab的前n项和

n

S.

【答案】

9.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）

已知函数()lnfxx的图象是曲线

C

，点*(,())(N)

nnn

Aafan是曲线

C

上的一系列点，曲线

C

在点

(,())

nnn

Aafa处的切线与y轴交于点(0,)

nn

Bb.若数列

n

b是公差为2的等差数列，且

1

()3fa.

（Ⅰ）分别求出数列

n

a与数列

n

b的通项公式；

（Ⅱ）设

O

为坐标原点，

n

S表示

nn

OAB的面积，求数列

nn

aS的前n项和

n

T.

【答案】解：（Ⅰ）

1

fx

x



，

曲线

C

在点,

nnn

Aafa处的切线方程：

1

ln

nn

n

yaxa

a



令0ln1

n

xya，

该切线与y轴交于点0,

nn

Bb，ln1

nn

ba………………………………………3分

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10．【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（理）】（本小题满分12分）

已知

n

a是公差为2的等差数列，且

317

111aaa是与的等比中项.

（1）求数列

n

a的通项公式；

（2）令1

2

n

n

n

a

bnN



，求数列

n

b的前n项和Tn.

【答案】

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11.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】设数列{a

n

}的前n项和为S

n

，且满足

S

n

=2-a

n

，n=1，2，3，…

（1）求数列{a

n

}的通项公式；（4分）

（2）若数列{b

n

}满足b

1

=1，且b

1n

=b

n

+a

n

，求数列{b

n

}的通项公式；（6分）

（3）设C

n

=n（3-b

n

），求数列{C

n

}的前n项和T

n

。（6分）

【答案】（1）a

1

=S

1

=1n≥2时，S

n

=2-a

n

S

1n

=2-a

1n

a

n

=a

n

+a

1n

2a

n

=a

1n

∵a

1

=1

1n

n

a

a

=

2

1

∴a

n

=(

2

1

)1n

（2）b

1n

-b

n

=（

2

1

)1n1分





























2

1

1

23

0

12

)

2

1

(

)

2

1

(

)

2

1

(

n

nn

bb

bb

bb

∴b

n

-b

1=(

2

1

)+……+（

2

1

)2n=

2

1

1

2

1

1

1





n

=2-

22

1

n

∴b

n

=3-

22

1

n

∵b

1

=1成立∴b

n

=3-（

2

1

)2n

（3）C

n

=n（

2

1

)2n1分

T

n

=1×（

2

1

)1+2（

2

1

)0+……+n（

2

1

)2n

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2

1

T

n

=1×（

2

1

)0+……+(n-1)（

2

1

)2n+n（

2

1

)1n=2+

2

1

1

2

1

1

1





n

-n（

2

1

)1n=2+2-（

2

1

)2n-n（

2

1

)1n

∴T

n

=8-

32

1

n

-

22n

n

=8-

22

2





n

n

12.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分13分）

已知：数列

n

a的前n项和为

n

S，且满足naS

nn

2，)(*Nn．

（Ⅰ）求：

1

a，

2

a的值；

（Ⅱ）求：数列

n

a的通项公式；

（Ⅲ）若数列

n

b的前n项和为

n

T，且满足

nn

nab

)(*Nn，求数列

n

b的

前n项和

n

T．

【答案】解：（Ⅰ）

naS

nn

2

令

1n

，解得1

1

a；令

2n

，解得3

2

a……………2分

（Ⅱ）

naS

nn

2

所以)1(2

11





naS

nn

，（*,2Nnn）

两式相减得12

1



nn

aa……………4分

所以)1(21

1



nn

aa，（*,2Nnn）……………5分

又因为21

1

a

所以数列1

n

a是首项为

2

，公比为

2

的等比数列……………6分

所以n

n

a21，即通项公式12n

n

a（*Nn）……………7分

（Ⅲ）

nn

nab，所以nnnbnn

n

2)12(

所以)2()323()222()121(321nnTn

n



)321()2232221(321nnTn

n

……9分

令n

n

nS2232221321①

13222)1(22212nn

n

nnS②

①－②得

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132122222nn

n

nS

12

21

)21(2







n

n

n

nS……………11分

112)1(22)21(2nnn

n

nnS……………12分

所以

2

)1(

2)1(21





nn

nTn

n

……13分

13.【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分13分）

设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为S

n

.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若求所有可能的数列的通项公式.

【答案】（Ⅰ）由

又

故解得

因此，的通项公式是1，2，3，…，

（Ⅱ）由得

即

由①+②得－7d<11，即

由①+③得,即,

于是又，故.

将4代入①②得

又，故

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所以，所有可能的数列的通项公式是

1，2，3，….

14.【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分14分）

已知函数（为自然对数的底数）．

（1）求的最小值；

（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范

围

（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比

数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．

【答案】（1）

由当；当

（2），

有解

由即上有解

令，

上减，在[1，2]上增

又，且

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（3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使

……10分

又时，

故

②-①×2得，解得（舍）

故，此时

满足

存在满足条件的数列……14分

15.

【北京四中

2013

届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分

14

分）

已知

A(,)

，

B(,)

是函数的图象上的任意两点（可以重合），点

M

在

直线上，且

.

（

1

）求

+

的值及

+

的值

（

2

）已知，当时，

+++

，求；

（

3

）在（

2

）的条件下，设

=

，为数列

{}

的前项和，若存在正整数、，

使得不等式成立，求和的值

.

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【答案】（Ⅰ）∵点

M

在直线

x=

上，设

M.

又＝，即，，

∴

+=1.

①当

=

时，

=

，

+=

；

②当时，，

+=+===

综合①②得，

+.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当

+=1

时

,+

∴，

k=.

n

≥

2

时，

+++

，①

，②

①＋②得，

2=-2(n-1),

则

=1-n.

当

n=1

时，

=0

满足

=1-n.

∴

=1-n.

（Ⅲ）

==

，

=1++=.

.

=2-

，

=-2+=2-

，

∴，、

m

为正整数，∴

c=1

，

当

c=1

时，，

∴

1<<3

，

∴

m=1.

16.【山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）已知数列

n

a满足3

1

a，

12

11



nnn

aaa

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京翰教育高考网——专业对高中学生开设针对性的高三数学辅导补习班

（1）求

2

a，

3

a，

4

a；

（2）求证：数列

1

1

n

a









是等差数列，并求出

n

a的通项公式。

【答案】（1）3,12

111





aaaa

nnn

又

∴

7

9

,

5

7

,

3

5

432

aaa___________________________3分

(2)证明：易知0

1



n

a，所以

1

1

2





n

na

a_____________________4分

当时，2n

1

1

1)

1

2(

1

1

1

1

1

1

1

1



















n

n

nn

a

a

aa

1

1

1

1

1

1

1













n

n

a

a

=

1

1

1

11

1











nn

n

aa

a

=1

所以为公差的等差数列为首项以是以1

1

1

1

1

1















aa

n

__________8分

（3）由（2）知

2

1

1)1(

2

1

1

1





nn

a

n

__________________10分

所以

12

12

1

12

2











n

n

n

a

n

__________________________12分

17.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科】（本小题满分12分）在数列

n

a中，已知

)(log32,

4

1

,

4

1

*

4

1

1

1

Nnab

a

a

a

nn

n

n.

（Ⅰ）求数列

n

a的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列

n

b是等差数列；

（Ⅲ)设数列

n

c满足

nnn

bac，求

n

c的前n项和

n

S.

【答案】解：（Ⅰ）∵

4

1

1

n

n

a

a

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∴数列｛

n

a｝是首项为

4

1

，公比为

4

1

的等比数列，

∴

)()

4

1

(*Nnan

n



.…………………………………………………………………………3分

（Ⅱ）∵

2log3

4

1



nn

ab

…………………………………………………………………4分

∴232)

4

1

(log3

2

1

nbn

n

.……………………………………………………………5分

∴1

1

b，公差d=3

∴数列}{

n

b是首项1

1

b，公差3d的等差数列.…………………………………………7分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，n

n

a)

4

1

(

，23nb

n

（n*N）

∴

)(,)

4

1

()23(*Nnncn

n



.………………………………………………………………8分

∴nn

n

nnS)

4

1

()23()

4

1

()53()

4

1

(7)

4

1

(4

4

1

1132，①

于是1432)

4

1

()23()

4

1

()53()

4

1

(7)

4

1

(4)

4

1

(1

4

1

nn

n

nnS

②

……………………………………………………………………………………………9分

两式①-②相减得132)

4

1

()23(])

4

1

()

4

1

()

4

1

[(3

4

1

4

3

nn

n

nS

=1)

4

1

()23(

2

1

nn

.………………………………………………………………………11分

∴

)()

4

1

(

3

812

3

2

*1Nn

n

Sn

n





.………………………………………………………12分