导数的公式
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2023年2月16日发(作者：良宵二胡独奏)1
导数的定义：f'(x)=limΔy/Δx
Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）
用定义求导数公式
（1）f(x)=x^n
证法一：（n为自然数）
f'(x)
=lim[(x+Δx)^n-x^n]/Δx
=lim(x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ
x)+x^(n-1)]/Δx
=lim[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+...x^(n-2)*x+x^(n-1)
=nx^(n-1)
证法二：（n为任意实数）
f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
2
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)/f(x)=n/x
f'(x)=n/x*f(x)
f'(x)=n/x*x^n
f'(x)=nx^(n-1)
（2）f(x)=sinx
f'(x)
=lim(sin(x+Δx)-sinx)/Δx
=lim(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=lim(sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=limcosxsinΔx/Δx
=cosx
（3）f(x)=cosx
3
f'(x)
=lim(cos(x+Δx)-cosx)/Δx
=lim(cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx
=lim(cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx
=lim-sinxsinΔx/Δx
=-sinx
（4）f(x)=a^x
证法一：
f'(x)
=lim(a^(x+Δx)-a^x)/Δx
=lima^x*(a^Δx-1)/Δx
（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）
=lima^x*m/loga^(m+1)
=lima^x*m/[ln(m+1)/lna]
4
=lima^x*lna*m/ln(m+1)
=lima^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=lima^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]
=lima^x*lna/lne
=a^x*lna
证法二：
f(x)=a^x
lnf(x)=xlna
[lnf(x)]'=[xlna]'
f'(x)/f(x)=lna
f'(x)=f(x)lna
f'(x)=a^xlna
若a=e，原函数f(x)=e^x
5
则f'(x)=e^x*lne=e^x
（5）f(x)=loga^x
f'(x)
=lim(loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx
=limloga^[(x+Δx)/x]/Δx
=limloga^(1+Δx/x)/Δx
=limln(1+Δx/x)/(lna*Δx)
=limx*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)
=lim(x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)
=limln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)
=limlne/(x*lna)
=1/(x*lna)
若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx
6
则f'(x)=1/(x*lne)=1/x
（6）f(x)=tanx
f'(x)
=lim(tan(x+Δx)-tanx)/Δx
=lim(sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx
=lim(sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim(sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔ
x)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=limsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))
=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
（7）f(x)=cotx
f'(x)
=lim(cot(x+Δx)-cotx)/Δx
=lim(cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx
7
=lim(cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim(cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔ
xcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim-sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))
=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
（8）f(x)=secx
f'(x)
=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx
=lim(1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx
=lim(cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)
=lim(cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=limsinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))
=sinx/(cosx)^2=tanx*secx
（9）f(x)=cscx
8
f'(x)
=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx
=lim(1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx
=lim(sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim(sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim-sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))
=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx
（10）f(x)=x^x
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)/f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f'(x)=(lnx+1)*x^x
9
（12）h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim(f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx
=lim[(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx
=lim[(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δ
x)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx
=lim(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
（13）h(x)=f(x)/g(x)
h'(x)
=lim(f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx
=lim(f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim[(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δ
x))
10
=lim[(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δ
xg(x)g(x+Δx))
=lim(f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δ
xg(x)g(x+Δx))
=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x
（14）h(x)=f(g(x))
h'(x)
=lim[f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx
=lim[f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx
（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）
=lim(f(u+Δu)-f(u))/Δx
=lim(f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)
=limf'(u)*Δu/Δx
=limf'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx
11
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)
(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数
关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)
（15）y=f(x)=arcsinx
则siny=x
(siny)'=cosy
所以
(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy
=1/√1-(siny)^2
(siny=x)
=1/√1-x^2
即f'(x)=1/√1-x^2
(16)y=f(x)=arctanx
则tany=x
(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2
所以
(arctanx)'=1/1+x^2
即f'(x)=1/1+x^2
12
总结一下
（x^n）'=nx^(n-1)
（sinx）'=cosx
（cosx）'=-sinx
（a^x）'=a^xlna
（e^x）'=e^x
（loga^x）'=1/(xlna)
（lnx）'=1/x
(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2
(secx)'=tanx*secx
(cscx)'=-cotx*cscx
(x^x)'=(lnx+1)*x^x
13
(arcsinx)'=1/√1-x^2
(arctanx)'=1/1+x^2
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)