幂和指数的区别

幂和指数的区别

-围城人物形象分析

2023年2月16日发(作者：港务区)

指数与指数幂的运算

【学习目标】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

（1）理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；

（2）能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写

法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；

（3）能利用有理指数运算性质简化根式运算.

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；

3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到

符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；

4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．

【要点梳理】

要点一、整数指数幂的概念及运算性质

1．整数指数幂的概念

n*

aaaanZ

n个a

0

a01a0

n1

an

1

n

（a0,nZ*）

a

2．运算法则

mnmn

（1）aaa；

m

n

mn

（2）aa；

m

a

mn

（3）

n

amn，a0；

a

n

（4）abmambm.

要点二、根式的概念和运算法则

1．n次方根的定义：

若xn=y（n∈N*，n>1，y∈R），则x称为y的n次方根.

n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负

数，记为

ny；零的奇次方根为零，记为n00；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为

零，记为n00.

1）当n

1且nN*时，naa；

2)n

a

n

a,（n为奇

数）|a|

（n为偶

2．两个等式

要点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负

数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误．

要点三、分数指数幂的概念和运算法则

*m

为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且m为既约分数，分数指数幂可如下定义：n

1

a

n

m

na

a

n

(

n

a)

mn

a

m

m

a

-

m

n

1

m

a

n

要点四、有理数指数幂的运算

1．有理数指数幂的运算性质

a0，b0，,Q

(1)aaa;

(2)(a)a;

(3)(ab)ab;

当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

4(4)2(44)2；

21

(3)幂指数不能随便约分.如(4)4(4)2.

2.指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，

先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的

形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝(a－b)(a＋b)，

(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(a±b)

3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab

＋b2)的运用，能够简化运算.

【典型例题】

类型一、根式

例1.求下列各式的值：

(1)5(3)5;(2)4(10)2;(3)4(3)4;(4)(ab)2.

ab(a>b)答案】-3；10；3；0(a=b)

ba(a

解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号

（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可

换，何时可换.

举一反三：

【变式1】计算下列各式的值：

1)3(2)3；(2)4(9)2；(3)6(4)6；(4)8(a2)8.

例2.计算：(1)526743642；

【答案】22;22．

【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.

对于（2），

则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.

（1）526743642

=（3）2232（2）2+22223（3）2-22222（2）2

=(32)2(23)2(22)2

=|32|+|23|-|22|

1）5(3)53；

2）4(10)210；

3）

4(3)4|3|3；

ab

(a>b

)

4）

(ab)2|ab|0

（a=b

）

ba(a

正数的偶次方根有两个，

例如，4的平方根是2，但不是4

2.

答案】（1）-2；（2）3；（3）44）

a2(a2)

2a(a2)

总结升华】（1）求偶次方根

应注意，

=32+23-(22)

=22

=22

【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用

整体思

1

想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如

本例(2)中，1

21

的分子、分母中同乘以(21).

举一反三：

【变式1】化简：(1)3223(12)34(12)4；

2)x22x1x26x9(|x|3)

1)a

2

a

12

2

aa

2

2

1

a

2

2

5

a2;

2211

2)

332aa3

3

3

3

a

3

3

a3；

aa

11313

3)

(a

a2)2

(a2)2a4

；

4)解法一：从里向外化为分数指数幂

21(2

1)(21)

2121

21(2

1)(21)

答案】(1)21；(2)

2x

2(3

(1

x

1),x

3).

类型二、指数运算、化简、求值

例3.用分数指数幂形式表示下列各

1)a22)

5

a

2

；

11

a

3

；

35

44

a

4

；y4答案】

【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质

a

33

a

2

；(3)aa

1

y)2

此类问题应熟练

应用

时，要搞清被开方数，由里向外或由

外向里，举一反三：

anam（a0,m,nN*,且n

1）．

用分数指数幂写出，然后再用性质进

行化简．

■高清课程：指数与指数运算例1

2

y

2

(x

2

x1

xy2

2

=

y

x

5

=y4

解法二：从外向里化为分数指

数幂．

=[

yx

3

x

3

y

3

61

y

x3

6)1

2

x

x

5

=y4

236111{y

x[x

y

(y

x

3)3]2}2

xyx

1

12

总结升华】

当所求根式含有多重根号

变式1】把下列根式用指数形式表示出来，

并化简

1)5a2a；

6x

x

3

x

1

10

1)682；

2）aa(a

答案】

7

212；

3

a4；

1)682

7

2

12；

0）；

（3）

b

113

解

7

2

2

3

a4；

(2)7333324631

4333

9

(3)31254(36)26(4)63(3)3．

【答案】3；0；2

1

112101

【解析】(1)原式=(0.3)1()23；

33333

(2)原式=733633233330；

(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；

注意：(1)运算顺序(能否应用公式)；(2)指数为负先化正；(3)根式化为分

数指数幂举一反三：

【变式1】计算下列各式：

11

例4.计算：

1

(1)

(0.0081)4

(7

8

)0

81

0.25

3

1

3

(33

8

)3

3

x

5

答案】21+156

4

解析】原式=16+6+5+26+36=21+156

4

例5.化简下列各

式.

21

5x3y2

(1

)

1

1y2

1

答案】24y6

5x3y

x

3

y

6

1

m

1

2

(2

)

1

mm2

11

m

2

m

2

2

(3)

(0.027)3

27

125

0.

5

2

7

9

1

m2；

0.09

1

(1)

(1)

1

3(7)080.25

6

42(

3

2

6

；

(2)

2

a

3

答案】

112；a．

解析】(1)原式=8

(1)(1

3

)

1

(23)4

1

2

4

1

(23)6

1

(32)6

(2)原式

1

a3(a

8b)

1

a

3

11

a

3

2b

3

1

a

3

1111

(a3)22a3b3(2b3)2

变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与

指数运算

3

32063

3

32(1.03)0(6)3

(1

4

)

41

38a3b

2

3

ab

1

a

3

1

(a3)3

例3

2

4b

3

(1

23

b

a

)3a.

2

2

3

3112

1

3(a

8b)1

(2b3)3

a.

举一反三：

【变式1】化简：

3xy2(xy)3.

57答案】x6

y6

答案】

2

xy

xy

【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数

进行运算，母运算的理解要求较高，即能够认出分数

指数的完全平方关系；215x3y2

同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对

字

(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.

(1

)

1

1

2

11

5x3y6

5

(4)

1

24x0y6

5

1

24y6

2

3)

1)

111

3

y

22

1

6

)

1

m

2

11

22

2

m

2

2

1

m

2

m

2

(2)m

1

m

2

1

m

2

2

(3)

(0.027)3

27

=(3

0.027)

0.5

7

2

9

=0.0

9

1

m

2

1

3

5

=0.09

3

1

解析】原式

=[xy2(x2

11

y

2

)

3

]

3

331x2y2)3x

y.

注意：当n为偶

数时，

|a

|

2

变式2】化简x

2

x

3

2

y

2

2

3

2x

2

x

3

(xy2

a(a0)

a(a0)

2

y

2

2

y

3

57

66

3)

2

3

3)

2

3

y(

2

3y

2

3x

x([y(

2

3y

2

3x2)

2

3x

解析】应注意到

2

【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被

开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.

【变式3】化简下列式子：

13

【解析】从已知条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体

寻求结果11

与条件x2x23的联系，进而整体代入求值．

11

Qx2x23，x2x19，xx17

2222

x2x49，xx45

3311x2x23

=

(x2x2)(x1x1)3

x

2

x

2

2

=

472

3(71)3151

=

45453

【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”

或“化简

33后代换”方法求值．本题的关键是先求x2

x2及x2x2的值，然后整体代入．

2(xy)

3xy

∴由平方根的定义

得：

422641842

(3)Q3x33x23x13(x1)3x1

x22x1|x1|

x1(x1)

x1(x1)

1824182

2322462242

(1)33(2)42

223

【答案】226；41842；

26(3)x22x13x33x23x1

解析】(1)原式

2x(x

2(x

2(

3

1)

1)

3)

(31)2

2(33)2

(33)(33)

(2)Q(41842)2

2(33)

2423

2(1263)

226

6

(418)2241842(42)2

2(33)

33

x

2

2x1

3

x

3

3x

23x1

2x(x1)

2(x1)

■高清课程：指数与指数运

算

例4

11

例6．已知x2x23，

求

33

22

x

2

x

2

3

3的

xx2

【答案】

23；

73

举一反三：

【变式1】求值：

11

x

2

1

x

2

x

2

5，求

x1的值；xba

a>0，b>0，且a=b，

b=9a23；43

(1)已

知

(2)已知

【答案】

【解析】熟练掌握幂的运算是关

键问题1

(1)由x2

1

x25，两边同时平方

得

，求a的

值.

-1

x+2+x

=25，

整理

得：

-1

x+x-1=23，

则有

x

2

1

(2)a>0

，

8∴a9巩

固练习

一、选择

题

1

3

1.若x

A.

3x

2.若a

A.

1

3.计

算

A.3

2

4.化

简

A.1

12

b>0

1

9

9

ba

，又∵a

b=ba，

a

8

3

2

a

6x

B.

1

3x

3

(3)3，

B.

5

4

21

2

3

C.

-1

1

∴

(ab)b

1

(ba)b

aabb

1

(9a)9

43.

2

9x2等于

(

C.(13x)2

4

(2

D.

22的结果是

(

B.16C.64D.12

8

D.非以上答

案

1

32

1

16

1

32B.

1

32

5

.

4

等于(

A.

a

16B.

a8

6.若a

1,b

0，且aba

b

A.6B.

二、填空

题

7.计算

4

)

4，

则

C.

22

C.

C.a

则a

b

，结果

是

1

32D.

1

2

32

D.a2

b的值等于

(

D.2

23

8.化简b

(2b

1)(1b2)=

1

9.(2)

1

2

3

3

(23)3

=

10.若

a

3

2

b,化简4(4a212ab2

9b2)=

三、解答

题

11.计

算：2

1)1253

16

1

3433

1

2)0.0273

4

50

3

0.0016

4

12.计算下列

各式：

1)

(0.064)

(2)

3

1

160.75|

0.01|2；

2)a

1

a

2

b

1

b

2

b

1

a

2

1

2a2

1

b

2

1

b

2

1

1

3x

2

3

1313

巩固练习一、选择题

1.化

简

1

12

32

11

12

16

12

8

A.1

1

1

1

1

1

2

32B.

12

32

2

2.计算4212322的结果是(

A.32B.16C.64D.128

3.若

a

1,b

0，且abab22，

A.6B.2C.

4.下列各式中错误的是()

11

12

4122，结果是()

11

C.12

32

1

2

)

则abab的值等于()

2D.2

211

A.a5a3a151(a1)

2

B.a6b93a4b6(a,b0)

111212

C.2x4y33x2y34x4y324y(x,y0)

6.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axa

x2

二、填空题

7.[(2)2]

8.31

223

3

1

2

2

3

D.

11

15a2b3c

115

25a2b3c4

3

ac(a,b,c

0)

5.

1

22、33、66这三个数的大小关系

A.

1

6

6

1

3

3

111

22B.6622

11

33C.2233

1

66D.33

1

2

2

1

6

6

a0,且a1，若g(2)a，则f(2)(

A.2B.

15C.

4

17

D.

4

2)

1313

9.若x0，则2x4322x432

1

4x

2(x

1

x2)=.

10.已知a

a

11

4，则a2a2=.

三、解答

题

11.计

算：

2

1)1253

1

1

2

16

1

3433

2)

1

4

0.0273

3

50

0.00164

12.计算下列各

式：

1

(1)(0.064)

3

(2)

3

160.7

5

1

|

0.01|2；

11

ab

11

a

2

b

2

b2a2b2

11

22ab

32

【答案】（1）210a10；（2）x3．

变式2】把下列根式化成分数指数幂：

x2之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，

13.计

算：

2

x

3

x1

1

x31

x1

1

x

3

2

3

xx

3

1

x31

14

.

14.已

知

2

a

3

2

b

34,x

12

3a3b3,y

21

3a3b3

.

求

证：

2

3为定

值.

15.（1）化

简：

1

2

x

2

y

14

x

1

y

4

1

a

ca

x

ab

b

x

bc

1

ab

c

x

ca

1

bc

2）已

知

x1

2

(a

b

b)(a

a

0,b

0）

，求

2bx21

xx

2

1

的

值.