绝对值方程的解法
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2023年2月16日发(作者：结构式怎么写)绝对值方程
NO1.【一元一次绝对值方程】背景介绍
只有一个未知数，未知数次数为一，且绝对值中含有未知数的方程叫做一元一次绝对值方
程。
绝对值方程的主要解法为零点分段法和绝对值的几何意义法
NO2.【解一元一次绝对值方程】原理
一元一次绝对值方程可以大体分为三类：
第一类：-(0)xamm=
第二类：()xakxbab−=−
第三类：()xaxbnnab−+−=−
A．零点分段法：
第一类方程可化为：;xamxam−=−=−，分别解这两个一元一次方程即可求得绝对
值方程的根
对于第二类方程：当xa时，原方程可化为：()axkbx−=−
当axb，原方程可化为：()xakbx−=−
当xb，原方程可化为：()xakxb−=−
分别解以上方程即可求出x的值（需要注意的是并不是每一个方程都有解）
对于第三类方程：当xa时，原方程可化为：axbxn−+−=
当axb，原方程可化为：xabxn−+−=
当xb，原方程可化为：xaxbn−+−=
分别解以上方程即可求出x的值（需要注意的是并不是每一个方程都有解）
B．几何意义法
对于第一类方程可以理解为在数轴上到点a的距离等于m的点，观察发现这样的点有
两个，分别为mama+−和
对于第二类方程可以理解为在数轴上到点a和点b的距离之比等于k的点，当k=1
时，该点是点a和点b的中点，当k＞1时，在ab之间靠近点a处有一个点，它把数轴
在ab之间的线段，分成两部分，比为1：k，那么这个点时（k+1）分点，近点a处；
1
在ab两点之外则该点在点b右侧，与b的距离等
1
()
1
ba
k
−
−
。
对于第三类方程可以理解为在数轴上到点a和点b的距离之和等于n的点，发现在ab
之间的点，距离之和为定值，等于ba−，若n=ba−，则在ab之间的点的任意一点都
符合题意，如果n>ba−,则需要在ab两侧，与点a和点b距离分别为
2
nba−+
的点
上，经过计算分别为
2
nba++
和
2
nba−++
；若n 这个方程无解。 NO3.【解一元一次绝对值方程】识记技巧 识别技巧： （1）绝对值中含有未知数 （2）一元一次方程 【代数法】 （1）零点分段 （2）大小排列 （3）分别化简 （4）分别求解 【几何意义法】 代数式转化为几何距离 2 NO4.【解一元一次绝对值方程】典型题型 例1.阅读解题：解方程：|3|1x=． ①当30x时，原方程可化为一元一次方程为31x=，它的解是 1 3 x=； ②当30x时，原方程可化为一元一次方程为31x−=，它的解是 1 3 x=−． 请你模仿上面例题的解法，解方程：2|3|513x−+=． 【解答】当30x−时，原方程可化为34x−= 它的解是7x= 当30x−时，原方程可化为()34x−−= 它的解是1x=− 经检验：7x=和1x=−是原方程的根 所以原方程的解是7x=或1x=− 例2.满足25238aa++−=的整数a的值有（） A.4个 B.5个 C.7个 D.9个 【答案】A 【解答】原方程可以看成是数轴上表示2a的点与表示-5、3两个数的点的距离之和，观察可 以发现-5和3之间的距离刚好是8，那么2a需要在-5和3之间 如下图 由此可得2a为4−，2−，0，2的时候a取得整数，共四个值 故选：A 例3：3522xx−+=+． 【解答】当3x时，3522xx−+=+ 解得0x=（不合题意，舍去） 当3x时，3522xx−+=+ 解得2x= 综上所述，方程的解为2x= 3 例4：求方程 |2||3|3xx−+−= 的实数解． 解：由 20x−= ， 30x−= 得两个零点2，3， ①当 3x 时，有 233xx−+−= ，解得 4x= ． 43x= ， 4x= 是方程的解； ②当 23x 时，有 2(3)3xx−−−= 化简得： 13= ，矛盾，所以当 23x 时方程无解； ③当 2x 时，有 (2)(3)3xx−−−−= ，解得 1x= ， 12x= ， 1x= 是方程的解； 原方程的解为 4x= 或 1x= ． 4