高中必背88个数学公式

高中必背88个数学公式

-金属导电性排序

2023年2月15日发(作者：mrs评分)

高中数学必背公式

NewlycompiledonNovember23,2020

高中数学必背公式、常用结论

一．二次函数和一元二次方程、一元二次不等式

1．二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是

a

b

x

2



，顶点坐标是





















a

bac

a

b

4

4

2

2

，

。

2.实系数一元二次方程20axbxc的解：

①若240bac,则

2

1,2

4

2

bbac

x

a



;

②若240bac,则

122

b

xx

a



;

③若240bac，它在实数集

R

内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复

数根

2

2

(4)

(40)

2

bbaci

xbac

a





.

3.一元二次不等式20(0)axbxca解的讨论:

二次函数

（0a）的图象

一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根

R

二、指数、对数函数

1．运算公式

⑴分数指数幂：

m

n

m

naa；

1m

n

m

n

a

a



（以上0,,amnN，且1n）.

⑵.指数计算公式：mnmnaaa；()mnmnaa；)mmmabab（

⑶对数公式：①bNNa

a

blog；②NMMN

aaa

logloglog；

③

NM

N

M

aaa

logloglog

；④

loglog

m

n

a

a

n

bb

m



.

⑷.对数的换底公式:

log

log

log

m

a

m

N

N

a

.对数恒等式:log

a

NaN.

2．指数函数

)10(aaayx且

的图象和性质

a>10

图

象

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即

x=0时，y=1

(4)x>0时，y>1;x<0

时，0

(4)x>0时，

0

y>1.

（5）在R上是增函数（5）在R上是减

函数

3．对数函数

log,(0,1)

a

yxaa

的图象和性质

三．常见函数的导数公式:

00

)

a>1

0

图

象

log

a

yx

log

a

yx

1,0

1x

1x

1x

1a

01a

1,0

（2）当x=1时，y=0；

10,,xyR

（3）当x>1时，y＜0，

0

（4）在（0，＋）上是增函数

（3）当x>1时，y>0，

0

（4）在（0，＋）上是减函数

1．①'C0；②1')(nnnxx；③xxcos)(sin'；④xxsin)(cos'；

⑤aaaxxln)('；⑥xxee')(；⑦

ax

x

aln

1

)(log'

；⑧

x

x

1

)(ln'

。

2．导数的四则运算法则：

;)(;)(;)(

2v

vuvu

v

u

vuvuuvvuvu





























3．复合函数的导数：

;

xux

uyy











四．三角函数相关的公式：

1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，

180

1



弧度，

1

弧度)

180

(



'1857

⑵弧长公式：Rl；扇形面积公式：2

2

1

2

1

RlRS

。

2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P

),(yx

,设

rOP||则：

,cos,sin

r

x

r

y



x

y

tan

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）

4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

5．⑴

)sin(xAy对称轴：令

2

xk





，得

;x

对称中心：

))(0,(Zk

k









；

⑵

)cos(xAy

对称轴：令kx

，得







k

x

；对称中心：

))(0,

2

(Zk

k













；

⑶周期公式:①函数

sin()yAx

及

cos()yAx

的周期



2

T(A、ω、为

常数，

且A≠0).②函数xAytan

的周期





T(A、ω、为常数，且A≠0).

6．同角三角函数的基本关系：

x

x

x

xxtan

cos

sin

;1cossin22

7．三角函数的单调区间及对称性：

⑴sinyx的单调递增区间为2,2

22

kkkZ













,单调递减区间为

3

2,2

22

kkkZ













，对称轴为

()

2

xkkZ





,对称中心为,0k()kZ.

⑵

cosyx

的单调递增区间为2,2kkkZ,单调递减区间为

2,2kkkZ，

对称轴为

()xkkZ

,对称中心为,0

2

k













()kZ

.

⑶

tanyx

的单调递增区间为,

22

kkkZ













，对称中心为













0,

2

kZk

.

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①

sin()sincoscossin

；

cos()coscossinsin

；

tantan

tan()

1tantan









.

②22sin()sin()sinsin；22cos()cos()cossin.

③sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点

(,)ab

所在的象限

决定,

tan

b

a



).

9．二倍角公式：①cossin22sin.2(sincos)12sincos1sin2

②2222cos2cossin2cos112sin（升幂公式）.

22

1cos21cos2

cos,sin

22









（降幂公式）.

10．正、余弦定理：

⑴正弦定理：

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



（

R2

是ABC外接圆直径）

注：①CBAcbasin:sin:sin::；②

CRcBRbARasin2,sin2,sin2

；③

CBA

cba

C

c

B

b

A

a

sinsinsinsinsinsin





。

⑵余弦定理：Abccbacos2222等三个；

bc

acb

A

2

cos

222



等三个。

11.几个公式:⑴三角形面积公式：①

111

222abc

Sahbhch

（

abc

hhh、、分别表示

a、b、c边上的高）；②

111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB

.

五。立体几何

1.表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=rh2；③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rl；③体积：V=

3

1

S

底h：

⑶台体：①表面积：S=S侧+

上底

SS下底;②侧面积：S侧=lrr)('

;③体积：V=

3

1

（S+''SSS）h；

⑷球体：①表面积：S=24R；②体积：V=3

3

4

R.

2．空间中平行的判定与性质：

1）、直线和平面平行：

⑴定义：若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行。

⑵判定定理：若a,a

且

aa

//,//aa则有且,al

则

la//

.

2）、平面与平面平行的判定与性质：

⑴定义：如果两个平面没有公共点则称两个平面平行。

⑵判定定理：若//,//,//,则且baba

⑶性质定理：若.//,,,//baba则有

3．空间中垂直的判定与性质：

1）、直线与平面垂直：

⑴定义：设l为平面内的任意一条直线，al，则a。

⑵判定定理：若

,,ababP

，且

,lalb

，则l。

⑶性质定理：若

1

l，

2

l则

.21

//ll

2）、平面与平面垂直：

⑴定义：如果两个平面所成的二面角的平面角为090，则称这两个平面互相垂直。

⑵判定定理：若l，l，则有。

⑶性质定理：若

,,la

且al，则l。

若

,,l

则l。

六．解析几何：

1．斜率公式：21

21

yy

k

xx







，其中

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy.

直线的方向向量bav,，则直线的斜率为k=

(0)

b

a

a



.

2.直线方程的五种形式：

(1)点斜式：

11

()yykxx(直线l过点

111

(,)Pxy，且斜率为k)．

(2)斜截式：

ykxb

(b为直线l在

y

轴上的截距).

(3)两点式：11

2121

yyxx

yyxx







(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy

12

xx，

12

yy).

(4)截距式：

1

b

y

a

x

(其中

a

、b分别为直线在

x

轴、

y

轴上的截距，且

0,0ba

).

(5)一般式：

0AxByC

(其中A、B不同时为0).

3．两条直线的位置关系：

（1）若

111

:lykxb，

222

:lykxb,则：

①

1

l

∥

2

l

21

kk

,

21

bb

；②

1212

1llkk

.

（2）若

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,则：

①

0//

122121

BABAll

且

0

1221

CACA

；②

121212

0llAABB

.

4．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

5．两个公式:

⑴点P（x0，

y

0

）到直线Ax+By+C=0的距离：

22

00

BA

CByAx

d







；

⑵两条平行线Ax+By+C1

=0与Ax+By+C

2

=0的距离

22

21

BA

CC

d







6．圆的方程：

⑴标准方程：①222)()(rbyax；②222ryx。

⑵一般方程：022FEyDxyx（)0422FED

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0

⑶参数方程：cos

sin

xr

yr









7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。

8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

①Rd点在圆上；②Rd点在圆内；③Rd点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①Rd相切；②Rd相交；③Rd相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，

rR,

表示两圆半径，且

rR

）

①rRd相离；②rRd外切；③rRdrR相交；

④rRd内切；⑤rRd0内含。

9．直线与圆相交所得弦长22||2ABrd

10.椭圆、双曲线、抛物线

椭圆双曲线抛物线

定义1．到两定点F1

,F

2

的距

离之和为定值

2a(2a>|F

1

F

2

|)的点的轨迹

1．到两定点F

1

,F

2

的距

离之差的绝对值为定值

2a(0<2a<|F

1

F

2

|)的点的

轨迹

2．与定点和直线的距

离之比为定值e的点的

轨迹.（0

2．与定点和直线的距

离之比为定值e的点的

轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等

的点的轨迹.

图形

方

程

标准

方程

1

2

2

2

2



b

y

a

x

(ba>0)1

2

2

2

2



b

y

a

x

(a>0,b>0)

y2=2px

参数

方程











pty

ptx

2

22

(t为参数)

范围─axa，─byb|x|a，yR

x0

中心原点O（0，0）原点O（0，0）

顶点(a,0),(─a,0),(0,b),

(0,─b)

(a,0),(─a,0)(0,0)

对称轴x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;

实轴长2a,虚轴长2b.

x轴

焦点

F

1

(c,0),F

2

(─c,0)F

1

(c,0),F

2

(─c,0)

焦距

2c（c=22ba）2c（c=22ba）

离心率

e=1

准线

x=

c

a2

x=

c

a2



渐近线

y=±

a

b

x

焦半径

通径

2p

焦参数

P

七．等差、等比数列：

等差数列等比数列

定义

通项

公式

n

a=

1

a

+（n-1）d=

k

a+（n-k）

d=dn+

1

a

-d

求和

公式

中项

公式

A=

2

ba

推广：

2

n

a=

mnmn

aa





abG2。推广：

mnmnn

aaa



2

性

质

1若m+n=p+q则

qpnm

aaaa若m+n=p+q，则

qpnm

aaaa。

2

若}{

n

k成等差数列（其中

Nk

n

）则}{

n

k

a也为等差数列。

若}{

n

k成等比数列（其中

Nk

n

），则}{

n

k

a成等比数

列。

3

．

nnnnn

sssss

232

,,成等差数

列。

nnnnn

sssss

232

,,成等比数

列。

4

1

1

a

a

qn

n，

m

n

mn

a

a

q

)(nm

2．看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①),2(

1

为常数dndaa

nn



；

②2

11



nnn

aaa(2n)

③bkna

n

(kn,为常数).

3．看数列是不是等比数列有以下2种方法：

①)0,,2(

1





且为常数qnqaa

nn；

②

11

2





nnn

aaa(2n，0

11



nnn

aaa)①

4．数列{

n

a}的前n项和

n

S与通项

n

a的关系：















)2(

)1(

1

11

nss

nas

a

nn

n

5.常用公式：①1+2+3…+n=



2

1nn

；②



6

121

3212222





nnn

n

；

③

2

2

1

3213333

















nn

n

；

④

1

11

)1(

1





nnnn

；⑤)

2

11

(

2

1

)2(

1





nnnn

八。复数

1.复数的四则运算法则：

(1)

()()()()abicdiacbdi

;(2)

()()()()abicdiacbdi

;

(3)

()()()()abicdiacbdbcadi

;

(4)

2222

()()(0)

acbdbcad

abicdiicdi

cdcd







.

2.复平面上的两点间的距离公式：

22

122121

||()()dzzxxyy

（

111

zxyi，

222

zxyi）.

3．几个重要的结论：

222

2

2

1

2

21

2

21

)2();(2)1(zzzzzzzzzz

；⑶

ii2)1(2

；⑷

;

1

1

;

1

1

i

i

i

i

i

i













⑸

i

性质：T=4；iiiiiinnnn3424144,1,,1；

;03424144nnniiii

4．模的性质：⑴

||||||

2121

zzzz

；⑵

||

||

||

2

1

2

1

z

z

z

z



；⑶nnzz||||。

九。向量

运

算

类

型

几何方法坐标方法运算性质

加

法

1.平行四边形法则

2.三角形法则

减

法

三角形法则

ABBA,ABOAOB

数

乘

向

量

1.a是一个向量,满

足:||||||aa

2.>0时,aa与同

向;

<0时,aa与异

向;

=0时,0a.

向

量

的

数

量

积

ab•是一个数

1.00ab或时，

0ab•.

2.

00

||||cos(,)

ab

ababab





且时，

2.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

e1

，e

2

是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，

有且仅有一对实数λ1

，λ2

，使a＝λ1

e

1

＋λ2

e

2

.

(2)两个向量平行的充要条件：a∥bb=λa

1221

0xyxy；

(3)两个向量垂直的充要条件：a



b(a0)

a·b=0

1212

0xxyy

九．不等式

1.不等式的基本性质

（1）

abba

（对称性）；（2）

cacbba,

（传递性）

（3）

cbcaba

（加法单调性）

（4）

dbcadcba,

（同向不等式相加）；

（5）

dbcadcba,

（异向不等式相减）

（6）

bcaccba0,.

；

（7）

bcaccba0,

（乘法单调性）

（8）

bdacdcba0,0

（同向不等式相乘）；

(9)0,0

ab

abcd

cd



（异向不等式相除）

11

(10),0abab

ab



（倒数关系）；（11）

)1,(0nZnbabann且

（平方法则）

（12）

)1,(0nZnbabann且

（开方法则）

2．均值不等式：

)0,(

22

22









ba

baba

ab

注意：①一正二定三相等；②变形：),(

2

)

2

(

22

2Rba

baba

ab







。

3．极值定理：已知

yx,

都是正数，则有：

(1)如果积

xy

是定值

p

，那么当

yx

时和yx有最小值p2；

(2)如果和yx是定值

s

，那么当

yx

时积

xy

有最大值2

4

1

s

.

十．概率和统计：

1．概率

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

⑵古典概型：

基本事件的总数

包含的基本事件的个数A

AP)(；

⑶几何概型：

等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的

积等）的区域长度（面积或体构成事件A

AP)(

；

2．总体特征数的估计：

⑴样本平均数





n

i

in

x

n

xxx

n

x

1

21

1

)(

1

；

⑵样本方差

])()()[(

1

22

2

2

1

2xxxxxx

n

S

n

2

1

)(

1

xx

n

n

i

i





；

⑶样本标准差

])()()[(

1

22

2

2

1

xxxxxx

n

S

n



=2

1

)(

1

xx

n

n

i

i





十一。理科选修部分：1.排列、组合和二项式定理：

⑴排列数公式:m

n

A=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=

)!(

!

mn

n



(m≤n,m、n∈N*),

当m=n时为全排列n

n

A=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1=n!

⑵组合数公式：m

n

C=

m

n

m

m

A

A

=

m

mnnn









21

)1()1(

=

！！

！

)(mnm

n



(

n

，

m

∈N*，且

mn

)

⑶组合数性质：m

n

m

n

m

n

mn

n

m

n

CCCCC

1

1;





⑷二项式定理：)()(1110NnbCbaCbaCaCbann

n

kknk

n

n

n

n

n

n

①通项：);,...,2,1,0(

1

nrbaCTrrnr

nr





②注意二项式系数与系数的区别

2．随机变量

⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi

≥0,i=1,2,3，…；p

1

+p

2

+…

=1;

②离散型随机变量：

Xx

1

X

2

…

X

n

…

PP

1

P

2

…

P

n

…

均值（又称期望）：EX＝x1

p

1

+x

2

p

2

+…+x

n

p

n

+…;

方差：DX＝

nn

pEXxpEXxpEXx2

2

2

21

2

1

)()()(;

注：DXabaXDbaEXbaXE2)(;)(；

③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n,p）,则EX＝np,DX＝np（1-p）注：

knkk

n

ppCkXP)1()(。

⑵条件概率：称

)(

)(

)|(

AP

ABP

ABP为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：

0P（B|A）1

⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。