ln什么意思
-蛋白质工程
2023年2月15日发(作者：内盘外盘顺口溜)直观理解欧拉公式
欧拉的身份似乎莫名其妙：
它来自一个更通用的公式：
)sin()cos(xixei
Yowza——我们将一个虚指数与正弦和余弦联系起来！并以某种方式插入pi给出-1？这可
能是直观的吗？
不是根据1800年代数学家BenjaminPeirce的说法：
这绝对是自相矛盾的；我们无法理解它，我们不知道它的含义，但我们已经证明了它，
因此我们知道它一定是真理。
啊啊啊，这态度让我热血沸腾！公式不是需要记住的魔法：我们必须，必须，必须找到洞察
力。这是我的：
欧拉公式描述了两种等价的圆周运动方式。
就是这样？这个惊人的方程式是关于旋转的？是的——我们可以通过一些类比来理解它：
从数字1开始，将乘法视为改变数字的变换：
ie•1
规则指数增长在一段时间内以某种速度持续增加1；虚指数增长在一段时间内连续旋转
1
为“pi”单位时间增长意味着围绕圆圈旋转pi弧度
所以，
ie•1意味着从1开始并旋转pi（绕一圈的一半）到-1
这是高级视图，让我们深入了解细节。顺便说一句，如果有人试图给你留下深刻印象
，向他们询问i的i次幂。如果他们想不通，欧拉公式对他们来说仍然是一
个神奇的咒语。
更新：在写作时，我认为可能有助于更清楚地解释这些想法：
理解cos(x)+i*sin(x)
1ie
1ie
等号过载。有时我们的意思是“将一件事设置为另一件事”（例如x=3），而其他人的意思
是“这两件事描述相同的概念”（例如
√
−1=i）。
欧拉公式是后者：它给出了两个公式来解释如何做圆周运动。如果我们使用三角函数检查圆
周运动，并以x弧度移动：
cos(x)是x坐标（水平距离）
sin(x)是y坐标（垂直距离）
该声明
cos(x)+isin(x)
是一种将x和y坐标粉碎成单个数字的巧妙方法。类比“复数是二维的”帮助我们将单个
复数解释为圆上的位置。
当我们将x设置为π，我们在旅行π单位圆外的单位。因为总周长是2π,老样子π
已经过了一半，让我们处于-1。
Neato：欧拉公式的右边(cos(x)+isin(x))用虚数描述圆周运动。现在让我们弄清楚等式
的e边是如何完成它的。
什么是想象增长？
将x和y坐标组合成一个复数很棘手，但很容易管理。但是虚指数是什么意思呢？
让我们退后一步。当我看见，我是这样想的：
3是以ln(3)的速率即时增长（使用e）的最终结果。换句话说)3ln(3e：
43与增长到3相同，但随后增长了4倍。所以43=814)3ln(•e
您可以将数字视为必须“成长”的东西，而不是单独看到数字。实数，如3，给出的利率为
ln(3)=1.1，这就是e在它进行时“收集”的，并且不断增长。
定期增长很简单：它不断“推动”一个数字朝着它原来的方向前进。3×3向原始方向推
动，使其大3倍(9)。
想象的增长不一样：我们赚的“利息”方向不同！它就像一个被绑在侧面的喷气发动机——
我们不是向前推进，而是开始以90度角推进。
恒定正交（垂直）推动的巧妙之处在于它不会使您加速或减慢您的速度——它会旋转您！取
任何数字并乘以i不会改变它的大小，只会改变它指向的方向。
直觉上，我是这样看待连续的假想增长率的：“当我成长时，不要在我已经前进的方向上推
动我前进或后退。而是旋转我。”
但是我们不应该越来越快地旋转吗？
我也想知道。常规增长复合我们原来的方向，所以我们去1、2、4、8、16，每次乘以2倍
并保持实数。我们可以考虑这个xe)2ln(，这意味着在“x”秒内以ln(2)的速度立即增长。
嘿——如果我们的增长率是两倍快，2ln(2)vsln(2)，它看起来就像增长了两倍（2xvsx）。e的
魔力让我们交换速率和时间；ln(2)处的2秒与2ln(2)处的1秒增长相同。
现在，假设我们有一些纯虚构的增长率(Ri)，它会旋转我们直到达到i，或向上90度。如
果我们将这个比率加倍到2Ri会发生什么，我们会脱离这个圆圈吗？
不！具有2Ri的速率意味着我们只是以两倍的速度旋转，或者以R的速率旋转两倍的时间，
但我们仍停留在圆圈上。旋转两倍的时间意味着我们现在面对180度。
一旦我们意识到某种指数增长率可以将我们从1带到i，那么增加该增长率只会使我们旋
转得更多。我们永远也逃不出这个圈子。
然而，如果我们的增长率是复数（a+bivsRi），那么实部(a)会像往常一样增长，而虚部(bi)
会旋转我们。但我们不要幻想：欧拉公式，ixe,是关于让我们留在圈子里的纯粹想象的增
长（稍后会详细介绍）。
快速健全性检查
在写作的过程中，我不得不为自己澄清几个问题：
为什么使用xe，我们不是在旋转数字1吗？
e表示从1开始并在1个单位时间内以100%的利率持续增长的过程。
当我们写e时，我们用一个数字来捕捉整个过程——e代表了持续增长的所有完整细节。
所以真的，xe是说“从1开始，并在x秒内以100%的速度持续增长”，然后像我们想
要的那样从1开始。
但是作为指数的i是做什么的？
对于像这样的常规指数43我们问：
什么是隐含增长率？我们从1增长到3（指数的底数）。
我们如何改变这种增长率？我们将其缩放4倍（指数的幂）。
我们可以将我们的增长转换为“e”格式：我们的瞬时增长率是ln(3)，我们将其增加到ln(3)
*4。同样，指数(4)的幂只是缩放了我们的增长率。
4)3ln(4)3ln(4)(3ee•
当最高指数为i时（如i3)，我们只需将隐含增长率乘以i。因此，我们不是以普通的ln(3)
增长，而是以ln(3)*i增长。
iiiee)(3)3ln()3ln(•
指数的顶部修改了底部的隐含增长率。
详细信息
让我们仔细看看。记住e的这个定义：
n
nn
ee)
%100
1(lim%100
那代表我们在每个微观时期赚取的部分利息。我们假设实际维度上的利率是100%——但
是如果它在虚方向上是100%呢？
n
n
i
n
e)
i%100
1(lim%100
•
•
现在，我们新形成的兴趣增加了我们在90度方向上的兴趣。令人惊讶的是，这并没有改变
我们的长度——这是一个棘手的概念，因为它似乎构成了一个斜边必须更大的三角形。我们
正在处理一个限制，额外的距离在我们指定的误差范围内。这是我想改天解决的问题，但请
相信我的话：持续的垂直增长会让你旋转。这是正弦和余弦的核心，你的变化垂直于你当前
的位置，你在一个圆圈中移动。
我们以无限小的增量应用i个增长单位，每个单位都以90度角推动我们。没有“越来越快”
的旋转——相反，我们沿着圆周爬行了|i|的距离。=1（i的大小）。
嘿-绕圆爬行的距离是以弧度为单位的角度！我们找到了另一种描述圆周运动的方法！
获得圆周运动：通过以90度角（又名假想增长率）旋转来不断变化。
所以，欧拉的公式是说“指数的，想象的增长描绘出一个圆圈”。这条路径与在虚平面中使
用正弦和余弦在圆中移动是一样的。
在这种情况下，“指数”这个词令人困惑，因为我们以恒定的速度绕圆运动。在大多数讨论
中，假设指数增长具有累积的复合效应。
一些例子
你不会真的相信我吧？这里有几个例子，以及如何直观地思考它们。
例子：ie
x在哪里？啊，它只是1。直观地，不用计算器，我们知道这意味着“沿单位圆走1弧度”。
在我的脑海中，我看到“e”试图在同一个方向上以100%的速度增长1，但我一直在移动
球并迫使“1”沿着圆的边缘增长：
ie=cos(1)+isin(1)=.5403+.8415i
不是最漂亮的数字，但确实如此。请记住在输入时将计算器置于弧度模式。
例子：i3
这很棘手——它不是我们的标准格式。但要记住，
ii313•
我们希望在周期结束时初始增长3倍，或ln(3)的瞬时速率。但是，i出现并将ln(3)的比
率更改为"i*ln(3)"：
iiiee•)3ln()3ln()(3
我们认为我们将以ln(3)的常规速率进行转换，比100%连续增长快一点，因为e约为
2.718。但是哦，不，我让我们转了一圈：现在我们正在以想象的速度转变，这意味着我们
只是在旋转。如果我是一个像4这样的普通数字，它会让我们的增长速度提高4倍。现在
我们以ln(3)的速度增长，但横向增长。
我们应该期待单位圆上的复数——增长率不会增加我们的规模。求解方程：
i3=ie•)3ln(=cos(ln(3))+isin(ln(3))=.4548+.8906i
所以，而不是在圆圈周围结束“1”个单位（比如)我们最终得到ln(3)个单位。
例子：ii
几个月前，这会让我泪流满面。今天不行！让我们分解一下转换：
ii=1ii
我们从1开始，想改变它。喜欢解决i3，以i为基数表示的瞬时增长率是多少？
嗯。通常我们会做ln(x)来获得在1个单位时间结束时达到x所需的增长率。但是对于虚
率？我们需要解决这个问题。
为了从1开始并增长到i，我们需要从一开始就开始旋转。多快？好吧，我们需要在1个
单位时间内获得90度（pi/2弧度）。所以我们的汇率是.请记住，我们的速率必须是虚构
的，因为我们是在旋转，而不是在增长！朴素的老pi/2约为1.57并导致正常增长。
这应该是有道理的：要在1个单位结束时将1.0变为i，我们应该旋转pi/2在那段时间内
的弧度（90度）。所以，为了得到“i”，我们可以使用2
ie.
2
iei
呼。这将i描述为基础。指数呢？
好吧，另一个我告诉我们改变我们的费率——是的，我们花了很长时间才弄清楚这个费率！
所以，而不是以速度旋转，这就是i的基数的意思，我们将比率转换为：
2
1
22
••ii
i取消并再次使增长率变为真实！我们轮换了利率并将自己推向负数。负增长率意味着我们
正在萎缩——我们应该期待使事情变小。它确实：
2.~2
eii
多田！（在百度上搜索“i^i”以使用其计算器）
喘口气：您可以直观地弄清楚虚底和虚指数应该如何表现。哇。
作为奖励，你想出了ln(i)--使xe变成i，让e旋转
2
弧度。
2
)ln(
•ii
例子：(i^i)^i
双虚指数？如果你坚持。首先，我们知道括号内的增长率是多少：
22)(
eeii
i
i
我们得到-pi/2的负（收缩）增长率。现在我们再次通过i修改该速率：
i
i
i
iieei22)()(
现在我们有了一个负轮换！我们以1倍的速度绕圈2
每单位时间。我们去多久？嗯，
在这个指数链的最顶端有一个隐含的“1”时间单位；隐含的默认值是使用1个时间单位（就
像
1ee）。1个时间单位给我们一个旋转-π/2弧度（-90度）或-i!
iiii)(
而且，只是为了踢球，如果我们把这个疯狂的结果平方：
1))((2iii
它“只是”旋转了两倍：2是一个常规数字，因此在单位时间内将我们的旋转速率翻倍至-180
度。或者，您可以将其视为连续两次应用-90度旋转。
乍一看，这些是非常奇怪的指数。但是通过我们的类比，我们可以从容应对。
复杂的增长
我们可以同时拥有实数和虚数的增长：实数部分让我们放大，而虚数部分让我们旋转：
像(a+bi)这样的复杂增长率是真实增长率和虚构增长率的混合。实部a表示“以100%
的速度增长a秒”，虚部b表示“旋转b秒”。请记住，旋转不会获得复合的好处，因为您
一直在不同的方向“推动”——旋转会线性增加。
考虑到这一点，我们可以使用(a+bi)表示任何大小圆上的任何点！半径为角度由下式确定
bie
.这就像将数字放入expand-o-tron两个循环：一次将其增长到正确的大小（a秒），
另一次将其旋转到正确的角度（b秒）。或者，您可以先旋转它，然后再成长！
假设我们想知道达到6+8i的增长量。这实际上是在求一个虚数的自然对数：我们如何增
加e以获得(6+8i)？
半径：我们需要多大的圆？嗯，幅度是101008622.这意味着我们需要增长
ln(10)=2.3秒才能达到这个数量。
旋转量：那个点的角度是多少？我们可以使用arctan来计算：atan(8/6)=53度=.93
弧度。
合并结果：ln(6+8i)=2.3+.93i
也就是说，如果我们使用，我们可以到达随机点(6+8i)
ie93.3.2
.
为什么这很有用？
欧拉公式为我们提供了另一种描述圆周运动的方法。但是我们已经可以用正弦和余弦来做到
这一点——有什么特别的？
这都是关于视角的。正弦和余弦根据网格描述运动，绘制出水平和垂直坐标。
欧拉公式使用极坐标——你的角度和距离是多少？同样，它有两种描述运动的方式：
网格系统：向东走3个单位，向北走4个单位
极坐标：以53.13度的角度走5个单位
根据问题，极坐标或直角坐标更有用。欧拉公式让我们可以在两者之间进行转换，以使用最
适合这项工作的工具。还有，因为可以转换为正弦和余弦，我们可以将trig中的公式重写
为e的变体，这非常方便（无需记住sin(a+b)，您可以推导出它-改天再说）。每个数字，
无论是实数还是复数，都是e的变体，这很美妙。
但是实用性，灵活性：最重要的结果是认识到，通过正确的类比，令人困惑的方程可以变得
直观。不要让像欧拉公式这样美丽的方程仍然是一个魔法——建立在你知道的类比的基础上，
看看方程中的洞察力。
快乐数学。
附录
截屏很有趣，绝对欢迎反馈。我认为它有助于想法流行，浏览这篇文章帮助我找到直觉中的
差距。
参考：
布赖恩·斯莱辛斯基(BrianSlesinsky)对欧拉公式进行了简洁的介绍
VisualComplexAnalysis对Euler公式进行了很好的讨论——请参见第10页。
我做了一个关于数学和类比的演讲，它更直观地解释了欧拉的恒等式：