沈阳铁路实验中学
-
2023年2月12日发(作者：)2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的
位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列判断错误的是
()
A
．若随机变量
服从正态分布21,,40.78NP
，则20.22P
B
．已知直线l
平面
，直线//m平面
，则
“
//
”
是
“lm”
的充分不必要条件
C
．若随机变量
服从二项分布：
1
4,
4
B
，则1E
D
．ambm是
ab
的充分不必要条件
2．已知
(,)abiabR
是
1
1
i
i
的共轭复数
,
则ab（）
A
．1B
．
1
2
C
．
1
2
D
．1
3．若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为
60°
，则体积为
()
A
．
3
3
B
．
6
3
C
．
23
3
D
．
26
3
4．设直线l的方程为
20()xymmR
，圆的方程为22(1)(1)25xy，若直线l被圆所截得的弦长为25，则
实数
m
的取值为
A
．9或
11B
．
7
或
11C
．
7D
．9
5．若直线
y
＝
kx
＋
1
与圆
x2＋
y2＝
1
相交于
P
、
Q
两点，且∠
POQ
＝
120°(
其中
O
为坐标原点
)
，则
k
的值为
()
A
．3B
．2C
．3或－3D
．2和－2
6．设
1
F，
2
F是双曲线22
22
:10,0
xy
Cab
ab
的左，右焦点，O是坐标原点，过点
2
F作C的一条渐近线的垂
线，垂足为P．若
1
6PFOP，则C的离心率为（）
A
．2B
．3C
．2D
．3
7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物
前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）
A
．
72
种
B
．
144
种
C
．
288
种
D
．
360
种
8．己知函数
1,0,
ln,0,
kxx
fx
xx
若函数fx
的图象上关于原点对称的点有
2
对，则实数k的取值范围是（）
A
．,0
B
．0,1
C
．0,
D
．
1
0,
2
9．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的
1
a
，
2
a
，
3
a
，，
50
a
为茎叶图中的
学生成绩，则输出的
m
，
n
分别是（）
A
．38m，12nB
．26m，12n
C
．12m，12nD
．24m，10n
10．设
n
S为等差数列
n
a
的前
n
项和，若
3
3a，
7
7S，则
n
S的最小值为（）
A
．12B
．
15C
．16D
．18
11．已知双曲线C：
22
22
1(0,0)
xy
ab
ab
的左、右两个焦点分别为
1
F
，
2
F
，若存在点P满足
1212
::4:6:5PFPFFF
，则该双曲线的离心率为（）
A
．
2B
．
5
2
C
．
5
3
D
．
5
12．若i为虚数单位，则复数
22
sincos
33
zi
的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．古代
“
五行
”
学认为：
“
物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．
”
将五
种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有
_________
种
.(
用数字作
答
)
14．设全集UR，
{|31,}AxxxZ
，2|20,BxxxxR
，则
U
AB
______.
15．已知椭圆
22
22
1(0)
xy
Cab
ab
：的左右焦点分别为
12
FF、
，过
2
(1,0)F
且斜率为1的直线交椭圆于AB、，
若三角形
1
FAB
的面积等于22b，则该椭圆的离心率为
________.
16．已知两点
(1,0)A
，
(1,0)B
，若直线
0xya
上存在点
(,)Pxy
满足0APBP，则实数
a
满足的取值范围
是
__________
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知
{a
n
}
是一个公差大于
0
的等差数列，且满足
a
3
a
5
=45
，
a
2
+a
6
=1
．
（
I
）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
{b
n
}
满足：12
222
bb
…1()
2
n
n
n
b
anN
，求
{b
n
}
的前
n
项和．
18．（12分）已知圆22:(2)(3)4Cxy外有一点41,
，过点
P
作直线l．
(1)
当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)
当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆C所截得的弦长．
19．（12分）已知0,0fxxaxbab
.
（Ⅰ）当1ab时，解不等式28fxx
；
（Ⅱ）若fx
的最小值为
1
，求
11
12ab
的最小值
.
20．（12分）已知函数
1
()||()
3
fxxaaR.
（
1
）当2a时，解不等式
1
()1
3
xfx
；
（
2
）设不等式
1
()
3
xfxx的解集为M，若
11
,
32
M
，求实数
a
的取值范围
.
21．（12分）已知椭圆
22
:1
43
xy
C的右顶点为D，E为上顶点，点A为椭圆C上一动点．
（
1
）若DEAE，求直线AD与
y
轴的交点坐标；
（
2
）设F为椭圆C的右焦点，过点4,0M
与
x
轴垂直的直线为
0
l
，FM的中点为N，过点A作直线
0
l
的垂线，垂
足为
B
，求证：直线AF与直线BN的交点在椭圆C上．
22．（10分）已知函数22lnfxxaxax
（
a
为实常数）
.
（
1
）讨论函数fx
在1,e
上的单调性；
（
2
）若存在1,xe
，使得0fx
成立，求实数
a
的取值范围
.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、
D
【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四
个选项加以分析判断，进而可求解
.
【详解】
对于A选项，若随机变量
服从正态分布21,,40.78NP
，根据正态分布曲线的对称性，有
241410.780.22PPP
，故A选项正确，不符合题意；
对于
B
选项，已知直线l
平面
，直线//m平面
，则当
//
时一定有lm，充分性成立，而当lm时，不
一定有
//
，故必要性不成立，所以
“
//
”
是
“lm”
的充分不必要条件，故
B
选项正确，不符合题意；
对于C选项，若随机变量
服从二项分布：
1
4,
4
B
，则
1
1
4
Enp，故C选项正确，不符合题意；
对于D选项，ambm，仅当0m时有
ab
，当0m时，
ab
不成立，故充分性不成立；若
ab
，仅当0m
时有ambm，当0m时，ambm不成立，故必要性不成立
.
因而ambm是
ab
的既不充分也不必要条件
,
故D选项不正确，符合题意
.
故选：
D
【点睛】
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查
理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题
.
2、
A
【解析】
先利用复数的除法运算法则求出
1
1
i
i
的值，再利用共轭复数的定义求出
a
+
bi
，从而确定
a
，
b
的值，求出
a
+
b
．
【详解】
21(1)2
1112
iii
iii
i
，
∴
a
+
bi
＝﹣
i
，
∴
a
＝
0
，
b
＝﹣
1
，
∴
a
+
b
＝﹣
1
，
故选：
A
．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
3、
D
【解析】
设圆锥底面圆的半径为
r
，由轴截面面积为23可得半径
r
，再利用圆锥体积公式计算即可
.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为
r
，由已知，
1
2323
2
rr
，解得2r，
所以圆锥的体积2
1
3
3
Vrr
26
3
.
故选：
D
【点睛】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题
.
4、
A
【解析】
圆22(1)(1)25xy的圆心坐标为（
1
，
1
），该圆心到直线l的距离
|1|
5
m
d
，结合弦长公式得
2
|1|
225()25
5
m
，解得9m或11m，故选
A
．
5、
C
【解析】
直线过定点，直线
y=kx+1
与圆
x2+y2=1
相交于
P
、
Q
两点，且∠
POQ=120°
（其中
O
为原点），可以发现∠
QOx
的大
小，求得结果．
【详解】
如图，直线过定点（
0
，
1
），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°
，
⇒∠1=120°
，∠
2=60°
，
∴由对称性可知k=±3．
故选
C
．
【点睛】
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
6、
B
【解析】
设过点
2
,0Fc
作
b
yx
a
的垂线，其方程为
a
yxc
b
，联立方程，求得
2a
x
c
，
ab
y
c
，即
2
,
aab
P
cc
，由
1
6PFOP，列出相应方程，求出离心率
.
【详解】
解：不妨设过点
2
,0Fc
作
b
yx
a
的垂线，其方程为
a
yxc
b
，
由
b
yx
a
a
yxc
b
解得
2a
x
c
，
ab
y
c
，即
2
,
aab
P
cc
，
由
1
6PFOP，所以有
2
222422
222
6
abaaab
c
cccc
，
化简得223ac，所以离心率
3
c
e
a
．
故选：
B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
7、
B
【解析】
利用分步计数原理结合排列求解即可
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物
4
种，且化学排在生物前面，有2
4
12A
种排法；第二步将数学和物理插入前
4
科
除最后位置外的
4
个空挡中的
2
个，有2
4
12A
种排法，所以不同的排表方法共有1212144种
.
选B
.
【点睛】
本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题
8、
B
【解析】
考虑当0x时，1lnkxx有两个不同的实数解，令ln1hxxkx
，则hx
有两个不同的零点，利用导数和
零点存在定理可得实数k的取值范围
.
【详解】
因为fx
的图象上关于原点对称的点有
2
对，
所以0x时，1lnkxx有两个不同的实数解
.
令ln1hxxkx
，则hx
在0,
有两个不同的零点
.
又
1kx
hx
x
，
当0k时，0hx
，故hx
在0,
上为增函数，
hx
在0,
上至多一个零点，舍
.
当0k时，
若
1
0,
x
k
，则0hx
，hx
在
1
0,
k
上为增函数；
若
1
,
x
k
，则0hx
，hx
在
1
,
k
上为减函数；
故
max
11
lnhxh
kk
，
因为hx
有两个不同的零点，所以
1
ln0
k
，解得01k.
又当01k时，
11
ek
且
1
0
k
h
ee
，故hx
在
1
0,
k
上存在一个零点
.
又
22
ln+122ln
eee
htet
kkk
，其中
1
1t
k
.
令22lngttet
，则
2et
gt
t
，
当1t时，0gt
，故gt
为
1,
减函数，
所以120gtge
即
2
0
e
h
k
.
因为
22
11e
kkk
，所以hx
在
1
,
k
上也存在一个零点
.
综上，当01k时，hx
有两个不同的零点
.
故选：
B.
【点睛】
本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说
明零点的存在性，本题属于难题
.
9、
B
【解析】
试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于
80
和成绩不小于
60
且小于
80
的人数，由茎叶图可知，成绩不
小于
80
的有
12
个，成绩不小于
60
且小于
80
的有
26
个，故26m，12n．
考点：程序框图、茎叶图．
10、
C
【解析】
根据已知条件求得等差数列
n
a
的通项公式，判断出
n
S
最小时
n
的值，由此求得
n
S
的最小值
.
【详解】
依题意
1
1
23
7217
ad
ad
，解得
1
7,2ad
，所以
29
n
an
.
由
290
n
an
解得
9
2
n
，所以前
n
项和中，前
4项的和最小，且
41
46281216Sad
.
故选：
C
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前
n
项和公式的基本量计算，考查等差数列前
n
项和最值的求法，属于基础题
.
11、
B
【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求
.
【详解】
12
21
55
642
FF
e
PFPF
.
选
B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为
a,b,c
的关系式
.
12、
B
【解析】
由共轭复数的定义得到z，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解
【详解】
由题意得
22
sincos
33
zi
，
因为
23
sin0
32
，
21
cos0
32
，
所以z在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：
B
【点睛】
本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题
.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
1
．
【解析】
试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能
从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只
能排上土，故总的排列方法种数有
5×2×1×1×1=1
．
考点：排列、组合及简单计数问题．
点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及
“
五行
”
学说的背景，利用分
步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详．
14、
{0,1}
【解析】
先求出集合A，
B
，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【详解】
解：
{2,1,0,1}A
，
{|1Bxx
或
2}x
；
∴{|12}
U
xxB；
∴{0,1}
U
AB．
故答案为：
{0,1}
．
【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
15、31
【解析】
由题得直线AB的方程为
1xy
，代入椭圆方程得：222222220abybybab
，
设点
1122
,,ABxyxy，
，则有
2222
1212
2222
2
，
bbab
yyyy
abab
，由
1
2
1212
1
2
2FAB
SFFyyb
，且221ab解出
a
，进而求解出离心率
.
【详解】
由题知，直线AB的方程为
1xy
，代入
22
22
1
xy
ab
消
x
得：
222222220abybybab
，
设点
1122
,,ABxyxy，
，则有
2222
1212
2222
2
，
bbab
yyyy
abab
，
2
222222
2
121212
222222
221
44
bbababab
yyyyyy
ababab
，
而
1
22
2
1212
22
1121
22
22FAB
abab
SFFyyb
ab
，又221ab，
解得：
31
2
a
，所以离心率
1
31
31
2
c
e
a
.
故答案为：31
【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力
16、
2,2
【解析】
问题转化为求直线l与圆221xy有公共点时，
a
的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．
【详解】
解：直线
:0lxya
，点
(1,0)A
，
(1,0)B
，
直线l上存在点P满足
0APBP
，
P的轨迹方程是221xy．
如图，直线l与圆221xy有公共点，
圆心
(0,0)O
到直线
:0lxya
的距离：
||
1
2
a
d
，
解得22a．
实数
a
的取值范围为
2,2
．
故答案为：
2,2
．
【点睛】
本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化
思想、函数与方程思想，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（
I
）
21
n
an
；（Ⅱ）224n
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d．
由
,
可得
2
n
c
．
由，得，可得．
所以．
可得．
（Ⅱ）设，则
.
即，
可得
2
n
c
，且．
所以，可知．
所以，
所以数列是首项为
4
，公比为
2
的等比数列．
所以前
n
项和．
考点：等差数列通项公式、用数列前
n
项和求数列通项公式．
18、（
1
）4x或
3480xy
（
2
）22．
【解析】
(1)
根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果
;
(2)
先求出直线方程，然后求得圆心C与直线l的距离
,
由弦长公式即可得出答案
.
【详解】
解
:(1)
由题意可得2,3C
,
直线l与圆C相切
当斜率不存在时，直线l的方程为4x,
满足题意
当斜率存在时，设直线l的方程为
1
4
y
k
x
,
即
410kxyk
∴
2
2341
2
1
kk
k
,
解得
3
4
k
∴直线的方程为
3480xy
∴直线l的方程为4x或
3480xy
(2)
当直线l的倾斜角为135时，直线l的方程为
30xy
圆心2,3C
到直线l的距离为
233
2
2
∴弦长为2222(2)22
【点睛】
本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的
能力
.
19、（Ⅰ）22,
；（Ⅱ）
32
42
.
【解析】
（Ⅰ）当1ab时，
21,
11211,
21.
xx
fxxxx
xx
令28gxx
，作出,fxgx
的图像，结合图像即
可求解；
（Ⅱ）结合绝对值三角不等式可得
()()()1fxxaxbxbxaabab
，再由
“1”
的妙用可拼凑为
11111
()(1)
12212
ab
abab
，结合基本不等式即可求解；
【详解】
（Ⅰ）
21,
11211,
21.
xx
fxxxx
xx
令28gxx
，作出它们的大致图像如下：
由2822xxx
或4x（舍），得点B横坐标为
2
，由对称性知，
点A横坐标为﹣
2
，
因此不等式2()8fxx
的解集为22,
.
（Ⅱ）
()()()1fxxaxbxbxaabab
.
2
()(1)(1)(2)
42
ba
ab
ababab
.
取等号的条件为
1
12
ba
ab
，即12ab，联立1ab得
322,
222.
a
b
因此
11
12ab
的最小值为
32
42
.
【点睛】
本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题
20、（
1
）
{|0xx
或
1}x≥；（
2
）
14
,
23
【解析】
（
1
）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果
.
（
2
）利用等价转化的思想，可得不等式
|31|||3xxax
在
11
,
32
恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关
系，可得结果
.
【详解】
（
1
）当2a时，
原不等式可化为
|31||2|3xx
.
①当
1
3
x
时，
则33012xxx，所以0x；
②当
1
2
3
x时，
则32113xxx，所以12x；
⑧当2x时，
则
33
2
1
3
2xxx
，所以2x.
综上所述：
当2a时，不等式的解集为
{|0xx
或
1}x≥.
（
2
）由
1
||()
3
xfxx，
则
|31|||3xxax
，
由题可知：
|31|||3xxax
在
11
,
32
恒成立，
所以
31||3xxax
，即
||1xa
，
即11axa，
所以
1
1
14
3
1
23
1
2
a
a
a
故所求实数
a
的取值范围是
14
,
23
.
【点睛】
本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，
属中档题
.
21、（
1
）
3
0,
7
（
2
）见解析
【解析】
（
1
）直接求出直线AE方程，与椭圆方程联立求出A点坐标，从而可得直线AD方程，得其与
y
轴交点坐标；
（
2
）设
00
(,)Axy
，则
0
(4,)By
，求出直线BN和AF的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，
即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分
0
1x
和
0
1x
说明．
【详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，
（
1
）由题知2,0D
，0,3E
，则
3
2DE
k．因为DEAE，所以
23
3AE
k，
则直线AE的方程为
23
3
3
yx，联立
22
23
3
3
1
43
yx
xy
，可得
48
25
73
25
x
y
故
4873
,
2525
A
．则
73
3
25
48
14
2
25
DA
k
，直线AD的方程为
3
(2)
14
yx．令0x，
得
3
7
y，故直线AD与
y
轴的交点坐标为
3
0,
7
．
（
2
）证明：因为
(1,0)F
，
(4,0)M
，所以
5
,0
2
N
．设点
00
,Axy
，则
0
4,By
．
设
当
0
1x
时，设
3
1,
2
A
，则
3
4,
2
B
，此时直线AF与
x
轴垂直，
其直线方程为1x，
直线BN的方程为
3
0
5
2
0
5
2
4
2
yx
，即
5
2
yx
．
在方程
5
2
yx
中，令1x，得
3
2
y
，得交点为
3
1,
2
，显然在椭圆C上．
同理当
3
1,
2
A
时，交点也在椭圆C上．
当
0
1x
时，可设直线BN的方程为
0
5
5
2
4
2
y
yx
，即0
2
5
32
y
yx
．
直线AF的方程为
0
0
(1)
1
y
yx
x
，联立方程
0
0
0
2
5
32
(1)
1
y
yx
y
yx
x
，
消去
y
得00
0
2
5
(1)
321
yy
xx
x
，化简并解得
0
0
58
25
x
x
x
．
将
0
0
58
25
x
x
x
代入
0
0
(1)
1
y
yx
x
中，化简得
0
0
3
25
y
y
x
．
所以两直线的交点为00
00
583
,
2525
xy
xx
．
因为
22
00
00
583
11
425325
xy
xx
2222
000000
222
000
258
42525425
xxyxxy
xxx
，
又因为
22
001
43
xy
，所以22
00
4123yx
，
则
2
222
0
00000
222
000
25
258
1
4252525
x
xxyxx
xxx
，
所以点00
00
583
,
2525
xy
xx
在椭圆C上．
综上所述，直线AF与直线BN的交点在椭圆C上．
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线
方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．
22、（
1
）见解析（
2
）1a
【解析】
（
1
）分类讨论
a
的值，利用导数证明单调性即可；
（
2
）利用导数分别得出2a，22ae，2ae时，fx
的最小值，即可得出实数
a
的取值范围
.
【详解】
（
1
）
222
\'22
xaxa
a
fxxa
xx
21xax
x
，1,xe.
当
1
2
a
即2a时，1,xe
，\'0fx
，此时，fx
在1,e
上单调递增；
当
1
2
a
e
即22ae时，
1,
2
a
x
时，\'0fx
，fx
在
1,
2
a
上单调递减；
,
2
a
xe
时，\'0fx
，fx
在
,
2
a
e
上单调递增；
当
2
a
e
即2ae时，1,xe
，\'0fx
，此时，fx
在1,e
上单调递减；
（
2
）当2a时，因为fx
在1,e
上单调递增，所以fx
的最小值为11fa
，所以12a
当22ae时，fx
在
1,
2
a
上单调递减，在
,
2
a
e
上单调递增
所以fx
的最小值为
2
lnln1
24224
aaaaa
faaa
.
因为22ae，所以
0ln1
2
a
，
3
11
242
ae
.
所以
ln10
224
aaa
fa
，所以22ae.
当2ae时，fx
在1,e
上单调递减
所以fx
的最小值为22feeaea
因为
22
2
1
ee
ae
e
，所以0fe
，所以2ae，综上，1a.
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题，属于中档题
.