矢量
-热污染
2023年2月15日发(作者：康q)1
§2矢量的表示及其应用
1．矢量的直角坐标表示
利用直角坐标系我们可以用有顺序的一
对数字表示矢量。如图5－12所示，引进坐
标系oxy后，矢量OA就可以用它的终点坐标
（x,y)来表示。这样。矢量运算就可以通过数
量运算来进行。
矢量的相加（或相减），就是相应的坐标
相加（或相减），如图5－13所示。
OAOBOC
用1
1
x
y
表示矢量OA，用2
2
x
y
表示矢
量OB，则：
1212
1212
xxxx
OC
yyyy
11
11
xKx
KAK
yKy
如果K取一切正数，则KA就表示一条过原点的直线（图5－14）
2．矢量的三角函数表示
图5－15（甲）所示，单位矢量OM，其长度为1，则cos,sinOAOB，
即sinθ、cosθ可看成单位矢量在特定状态下（矢量和OX轴的夹角是θ时）在X轴上
的投影。
如果矢量ON的长度不是1而是ρ（图5－15乙），那么它的纵坐标是sin，
横坐标是cos，这样矢量ON就可以写成三角函数式
cos
sin
。
x
y
A(x,y)
0
图5-12
y
x
x
1
Kx
1
y
1
Ky
1
0
图5－14
2
在解决实际问题时，我们又常常把一个矢量沿相互垂直的坐标轴分解，或者用“一
个矢量在另一个矢量的投影”这样的语言。如图5－16所示，将矢量A沿X轴和Y
轴分解，
x
A和
y
A是矢量A在X轴和Y轴方向
上的分矢量，因为坐标轴的方向已确定，所以
分矢量
x
A和
y
A只要用数值和和正负号就可以
把它们的大小和方向完全表示出来。这样我们
就可以省去矢量符号而简单地把它们写成A
X
和A
Y
，A
X
和A
Y
叫做分量，显然：
cos,sin
xy
AAAA
由于分量是标量而不是矢量（分量的正负表示分矢量的方向跟指定的方向相同或
相反）因此，在X轴和Y轴方向上运算时，就可以把矢量运算转化为代数运算或三
角运算。
图5－17中的ON是OA矢量在矢量OB
上的投影，ON的大小（ON）是OA的大小（OA）
乘上OA和OB的夹角的余弦。即
cosONOA
。
3．矢量的复数表示
如图5－18所示，我们以X轴为实轴，y轴为虚轴，这两个坐标轴组成复平面，
每个复数（
abi
）都可用复平面上的一个点M
表示（这个点的横坐标为a，纵坐标是b）也可以
用连接为O、M的有向线段（O为起点，M为终
点（即矢量OM来表示）
因此，矢量OM可以写成复数表示式：
OMabi（复数的实部与虚部相当于矢量的
y
x
0
θ
y
x
0
θ
BM
Acosθ
sinθ
1
甲
N
ρ
ρcosθ
ρsinθ
乙
图5－15
y
x
A
y
A
x
A
图5－16
A
O
N
B
θ
图5－17
Y（虚轴）
X（实轴）
O
M
ρ
θ
a
b
图5－18
3
x,y的分量）
同样利用三角函数，矢量OM还可写成复数的三角函数式：
cossincossinOMii
由图5－18可见，矢量OM的长度为：
22OMab称为复数的模，由X轴转到OM矢量的角度arctan
b
a
称
为幅角。
此外利用数学上的尤拉公式：cossinjei，复数OM又可写成为
指数形式：jOMe
必须指出：复数虽然是“一个数”，但具有“大小”和“方向”这两个要素，因
此我们把复数作为描写矢量或刻划只有大小和相位的数量（如谐振量）的工具。
例5－5用计算法解例4－7。例4－7水流向东，速率为2km/h，汽船以8km/h
的航速在向东偏北600的方向航行。一位旅客在甲板上散步，速度为1km/h，面向正
西北。求旅客对岸的速度。
解：令X轴指向正东，Y轴指向正北，建立直角坐标系oxy，将各速度矢量的起
点移至坐标原点，作矢量图（图5－19）用A
A
x
y
表示矢量V
水对岸
，用B
B
x
y
表示矢量
V
船对水
，用
C
C
x
y
表示矢量V
人对船
。依速度合成规律，有：
VVVVCABC
AB
ABCABC
xxxx
xx
yyyyyy
人对岸水对岸船对水人对船
＝＋＋＝
00cos60cos135
122
28165.3
222
ABC
xxxvvv
水对岸船对水人对船
＋
00sin60sin135
322
81437.6
222
ABC
yyyvv
船对水水对船
∴225.37.69.2(km/h)v
水对岸
＝＋＝
V水对岸
与X轴所成的夹角为：0/
7.6
tan1.434556
5.3
ABC
ABC
xxx
yyy
向东
偏北。
例5－6在加速行驶的火车上固定一斜面，斜面倾角为θ（图5－20），有一物体
4
静止在斜面上，如果火车的加速度小于某一值a
0
,物体就会下滑。设物体和斜面间的静
摩擦因数为μ
0
，推导a
0
的表达式。
解：选斜面上的物体为研究对象，物体受三个力的作用：重力mg，竖直向下；斜面
对它的支持力N，与斜面垂直向上，静摩擦力f，
沿斜面向上（当加速度为a
0
时，有最大静摩擦力
0m
fN）
解法一：选取加速度a
0
的方向为X轴正向，
与之垂直的方向为Y轴方向建立直角坐标系。将
mg、N、f沿X、Y两个方向分解（见图5－21）
得：
sin,cos,()0
cos,sin,
sincoscossin
xmxmx
ymym
y
xmym
NNffmg
NNffmgmg
FNfFNfmg
根据牛顿第二定律有：
0
0
xy
FmaF
即：
0
sincos
m
Nfma„„（1）
cossin0
m
Nfmg„„（2）
解（1）、（2）两方程得：0
0
0
sincos
cossin
ag
解法二：
斜面是物体的支承面，取沿斜面方向和垂直斜面方向为直角坐标系的方位，将N、
mg、f进行分解（见图5－22），得：
00
cos
x
aa
00
sin
y
aa
根据牛顿第二定律有：
0
0
xx
yy
Fma
Fma
即：0
0
sincos(1)
cossin(2)
m
mgfma
Nmgma
解（1）、（2）两式得：0
0
0
sincos
cossin
ag
说明：本例是在分析物体受力情报基础上，根
据力的独立性作用原理（每个力都能各自独立产生相应的效应的效果），在受力体的
适当的位置建立直角坐标系，把所有作用于物体上的外力沿两条互相垂直的坐标轴分
解，然后利用代数方法将各分量叠加（各分量的正负由坐标轴的取向决定），最后依
θ
a
0
图5－20
y
x
N
mg
f
m
θ
θ
θ
o
a
0
图5－21
mg
θ
图5－22
y
N
f
m
θ
x
0
a
0
a
0x
a
0y
θ
5
据牛顿第二定律列出方程。
在X轴方向上：
Xx
Fma
在Y轴方向上：
YY
Fma
上述方法称为正交分解法，其主要优点在于：将力和加速度的矢量运算转化为代
数运算。若要求合力F，则2
2
xy
FFF合
＝，22
xy
aaa
合
＝，F合与X
轴的正向的夹角
arctany
x
F
F
，这样就可用直角三角形色股定理替换三角形的余
弦定理进行计算。
正交分析法在解决动力学问题中有重要作用。坐标轴的选取需根据物体的运动的
特点，一般取加速度方向和垂直于加速度方向（或沿运动方向和垂直于运动方向）。
例5－7如图5－23所示，金属矩形框架放在水平位置上，可动边cd可在框架上
无摩擦地滑动。已知cd的质量m=0.05kg，
边长L＝0.50m,匀强磁场的B＝0.50T,方向斜
向上与框架平面成150且与线框边AB，CD
垂直，整个框架电阻R＝0.20欧，问当cd的
滑动速度达到多大时，它才对框架AD，BC
边没有压力。
解：如图5－24所示，由于cd边以速度
V运动时切割了磁感应线，产生由
d向c的感应电动势：
线框中的感应电流：
sinBLv
I
RR
cd所受的磁场力F垂直于导线cd
和磁感应强度B所决定的平面，
且：
sinBLv
FBILBL
R
将力F沿直方向和水平方向正
交分解：
2
coscos()FFF
由此，导线cd在竖直方向上受三个
力：重力G，弹力N，磁场分力
FeBr2
，（平
面图如图5－25所示）为了使cd对线框
没有压力（即N＝0），必须有：
2
Fmg
即：
22sincosBLv
mg
R
A
d
cB
V
B
α
D
C
l图5-23
A
B
C
D
d
c
F
F
1
F
2
B
I
α
v
G
N
β
图5－24
F
2
F
F
1
G
B
α
β
I
V
图5-25
6
即：
22
22
220.050.2010
6.4(/)
sin2
0.50.500.5
mgR
vms
BL
例5－8证明质点作匀速圆周运动时，它在直径上的投影作简谐振动地，并写出
其投影在任意时刻的位移、速度和加速度的表达式。
证明：图5－26所示，设质点以匀角速度ω在半径为r的圆周上逆时针运动，并
设当t=0时质点在M
0
处，半径为OM
0
，与X轴的夹角为ф，经时间t后，质点到达
M点，半径OM与X轴的夹角为t，M点在X轴（即直径CB）上的投影为M/,
它离开圆心O的位移/OM是矢量OM在X轴上的投影，其大小：
/cosOMOMt
即：cosxrt„„（1）
根据圆周运动的规律，质点在M处的
线速度的大小：vr,沿切线方向，加速
度的大小为2ar，方向指向圆心。M/既
然是M在X轴上的投影，那么M/的速度
V/、加速度a应分别是M点的速度V和a/
在X轴的投影,即：
/cossin
2
vvtrt
∵V/的方向与X轴的取向相反，/sinvrt„„（2）
/2coscosaatrt
∵a/的方向与X轴的取向相反，/2cosart„„（3）
以（1）代入（3）得：/2ax„„（4）（负号表示加速度的方向与位移的方
向相反）
（4）式表明投影M/的运动是简谐振动。（1）、（2）、（3）式告诉我们，投影M/的位移、
速度和加速度都是时间t的正弦或余弦函数。
说明：因为匀速园周运动的质点在直径上的投影的运动是简谐振动，因此我们可
借助于匀速园周运动来研究简谐振动。M点所描绘的圆称为M/点的简谐振动的参考
圆。
例5－9如图5－27所示，质量为m，带电量为＋q的带电粒子，从坐标原点O
沿Y轴正方向以速度V射入磁感应强度为B的匀强磁场和电场强度为E的匀强电场
中，B、E的方向均平行于Z轴的方向。当带电粒子第一次XOZ平面内的挡板OACD
上的小孔M射出时，试求带电粒子的位移OM。（粒子的重量忽略不计）。
y
x
M
0
M
a
a/
M/
V
V/
C
B
D
ф
t
图5－26
7
解：运动电荷进入匀强磁场和匀强磁场
后，受到洛仑兹力和电场力作用：
B
FqVB在OXY平面内与V垂直，
大小为：
0sin90
B
FqvBqvB
E
FqE方向沿Z轴向上，大小为：
E
FqE
因为F
B
与F
E
互相垂直，根据运动的独立性原理，我们分别在XOY平面内，和
沿Z轴方向考虑粒子的运动。
在XOY平面内，由于
B
FV，粒子作匀速圆周运动，且圆周与坐标原点O相
切，半径
mv
qB
（∵
2v
qvBm
R
），圆心在X轴上，其坐标
0
xR，当粒子第一次从挡
板的小孔M射出时，必须满足y=0
2
22
2
,2
mv
xRyRxR
qB
在Z轴方向上粒子作初速度为零，加速度为
x
qE
a
m
的匀加速直线运动，M点的
Z坐标应是：
2
1
2
z
zat
12
2
Rm
t
vqB
2
2
2
1
22
qEmEm
z
mqBqB
矢径OM的长度：
22422
222242
22242
4
16
42
mvEmm
OMxzBvE
qBqBqB
矢径OM与X轴的夹角：
2
arctanarctan
4
zE
xBv
即带电粒子的位移OM的大小等于：2242
2
16
2
m
BvE
qB
，方向在OXZ平
面内，现X轴的夹角
2
arctanarctan
4
zE
xBv
Z
x
y
E
B
A
C
D
O
M
z
x
x
0
图5-27
8
例5－10用计算法解例4－8例4－8：某人以4km/h的速率向正东方向前进
时，感觉风从正北方向吹来，若将速率增一倍，则感觉风从东北方向吹来。求风速和
风向。
解：令x轴为实数轴，指向东；y轴为虚数轴，指向北，作速度矢量图，如图5
－28所示。依题意有：
当40Vj
人对地
＝＋
0Vjv
风对人
＝－
当/80Vj
人对地
＝＋
//0/0
//
cos45sin45
22
22
Vvjv
vjv
风对人
根据速度合成法则：VVV
风对人
风对地人对地
＝＋
∴4Vjv
风对地
„„（1）
∴//
22
8
22
Vvjv
风对地
＝－„„（2）
比较（1）、（2）两方程得：
/
2
48
2
v„„（3）
/
2
2
vv„„（4）
解（3）、（4）两式得：
4v
代入（1）得：44Vj
风对地
所以：2
24442V
风对地
＝＋－＝km/h
风向与X轴正向（即正东方向）的夹角0
4
arctan45
4
（即从正西北方向吹来）
说明：本例题从（1）、（2）得出（3）、（4）时，利用了两个复数相等的条件定状态部
相等，虚部相等。
y（虚轴）
x（实轴）
V/
风对人V风对人
V人对地V/
人对地
图5－28