充分条件和必要条件的口诀
-迪拜公主塔
2023年2月15日发(作者：忘记时间歌词)数
学
篇
判断充分、必要条件问题是每年高考中的必考问
题.此类问题常与函数、不等式、圆锥曲线等知识相结
合，通常难度不大.解答此类问题，同学们需熟练掌握
常用逻辑用语以及判断充分、必要条件的方法.下面主
要谈一谈判断充分、必要条件的三种常用方法.
一、定义法
定义法是判断充分、必要条件的基本方法.对于命
题“若p，则q”，如果
p⇒q
，那么
p就是q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件.对于一些比较简单的问题，可直接
运用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.
例1.已知
p：-2 ， q： 关于 x 的方 程 x 2+mx+n=0 有两个小于1的正根，试分析 p是q 的什么条件. 解：设 x 1 ，x 2是方程 x2+mx+n=0 的两个小于1的 正根，即0 <1 ，则0 x 2<1，由韦达定理可得 -2 ， 0 ，从而可得 q⇒p .而当 m=-1 ， n=1 2时，方程 x 2-x+ 1 2 =0无实 根，所以pq.综上可知 p是q 的必要不充分条件. 要解答本题，我们需根据条件 q 中给出的信息， 利用韦达定理求得 m，n 的取值范围，然后讨论条件 p、q之间的关系，再采用定义法，根据充分、必要条件 的定义来进行判断. 二、集合法 若使 p 成立的对象构成的集合为A，使q成立的 对象构成的集合为B，则集合A、B与充分、必要条件的 关系为：（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；（2）若B⊆A， 则p是q的必要条件；（3）若A=B，则p是q的充要条件. 运用集合法，可以将有关充分、必要条件的问题转化 为集合间的关系问题，通过判断集合之间的包含、真 包含、相等关系来判断命题的充要性、必要性. 例2.已知 p: | || | ||1-x-13 ≤2， q:x2-2x+1-m2≤0(m >0)，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数 m 的取值 范围. 解：由 | || | ||1-x-13 ≤2得 -2≤x≤10， 所以¬p对应的 集合为{}x|x>10或x<-2， 设 A={}x|x>10或x<-2.由 x 2-2x+1-m2≤0 (m>0)，可得 1-m≤x≤1+m(m >0)， 所以¬q对应的集合为{}x|x>m+1或x0， 设 B={}x|x>m+1或x0.因为¬p是¬q的 必要不充分条件，所以 B⊆A ，所以 ì í î m>0，1-m≤-2， 1+m≥10，解得 m≥9 ，所以实数 m 的取值范围为 [9,+∞） . 当命题中的条件与结论都能够用集合来表示的 时候，我们就可以运用集合法来判断充分、必要条件. 集合法多适用于解答命题中涉及解集的包含或者相 等问题. 三、等价转化法 等价转化法是指运用一个命题与其逆否命题的 等价性，把原命题转化为逆否命题，然后再进行判断. 当难以按判断原命题的真假时，就可以采用等价转化 法，转化思路，判断其逆否命题的真假. 例 3 .设 p：||||x-1-2<1 ， q： x-2 x 2+x-2 >0，试证明 ¬p是¬q的必要不充分条件. 证明：设命题 p，q 对应的集合分别为 P，Q ，则 P={}x|-2 因为 P⊄Q ，所以 q是p 的必要不充分条件， 所以¬p是¬q的必要不充分条件. 由于原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命 题等价，因此对于一些否定性的命题，可先将其转化 为等价命题，再进行判断.该方法体现了等价转化的思 想，运用该方法解题，有利于培养思维的灵活性. 相比较而言，定义法较为简单，定义法和集合法 比较常用，而等价转化法较为复杂，对同学们的逻辑 思维能力的要求较高.因此在，判断充分、必要条件时， 可先尝试运用定义法、集合法，若解题受阻，再考虑运 用等价转化法. （作者单位：江苏省大丰高级中学） 判断充分、必要条件的常用方法 吴春涛 考点透视 36