导数切线斜率公式

导数切线斜率公式

-牙板

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导数的计算

一、考点热点回顾

教学目标：

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函

数yc、yx、2yx、1

y

x

的导数公式；

2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点：四种常见函数yc、yx、2yx、1

y

x

的导数公式；

教学难点：四种常见函数yc、yx、2yx、1

y

x

的导数公式．

几个常见函数的导数

探究1．函数()yfxc的导数

根据导数定义，因为()()

0

yfxxfxcc

xxx







所以

00

limlim00

xx

y

y

x









函数导数

yc

0y





0y



表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜

率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则0y



可以解

释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状

态．

探究2．函数()yfxx的导数

因为

()()

1

yfxxfxxxx

xxx







所以

00

limlim11

xx

y

y

x









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__________________________________________________

函数导数

yx

1y





1y



表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间

的函数，则1y



可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

探究3．函数2()yfxx的导数

因为

22()()()yfxxfxxxx

xxx







2222()

2

xxxxx

xx

x







所以

00

limlim(2)2

xx

y

yxxx

x









函数导数

2yx

2yx





2yx



表示函数2yx图像（图3.2-3）上点(,)xy处的切线的斜率都为2x，说明随着

x

的变化，

切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x时，随

着

x

的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0x时，随着

x

的增加，函数2yx增加得越来越快．若

2yx表示路程关于时间的函数，则2yx



可以解释为某物体做变速运动，它在时刻

x

的瞬时速度

为2x．

探究4．函数

1

()yfx

x

的导数

因为

11

()()yfxxfx

xxx

xxx









2

()1

()

xxx

xxxxxxx







所以

22

00

11

limlim()

xx

y

y

xxxxx









函数导数

1

y

x



2

1

y

x





探究5．函数

()yfxx

的导数

因为

()()yfxxfxxxx

xxx







()()

()

xxxxxx

xxxx







__________________________________________________

__________________________________________________

()

()

xxx

xxxx







所以

00

11

limlim

2xx

y

y

x

xxxx











函数导数

yx

1

2

y

x





（2）推广：若*()()nyfxxnQ，则1()nfxnx



函数导数

yc'0y

yx'1y

2yx'2yx

1

y

x

'

2

1

y

x



yx

1

2

y

x





*()()nyfxxnQ'1nynx

函数导数

yc'0y

*()()nyfxxnQ'1nynx

sinyx'cosyx

cosyx'sinyx

()xyfxa'ln(0)xyaaa

()xyfxe'xye

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__________________________________________________

二、典型例题

1．下列各式正确的是()

A.(sinα)′＝cosα(α为常数)

B.(cosx)′＝sinx

C.(sinx)′＝cosx

D.(x－5)′＝－

1

5

x－6

【答案】C

【解析】由导数运算法则易得，注意A选项中的α为常数，所以(sinα)′＝0.选C

2．下列求导运算正确的是（）

A.'1(2)=2xxxB.2'

2

11

()2xx

xx



C.'(3)3xxeeD.



'

2

cossin

()

cos

cos

xxxx

x

x





【答案】C

【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：

2'2ln2xx，2

2

11

'2xx

xx









，3'3xxee，

2

cossin

'

cos

cos

xxxx

x

x











.

()log

a

fxx'

1

()log()(01)

lna

fxxfxaa

xa

且

()lnfxx'

1

()fx

x



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本题选择C选项.

3．已知3ln3xfx，则fx



等于()

A.3xB.

1

3ln3

3

xC.33ln3xxD.3ln3x

【答案】D

【解析】由题意结合导数的运算法则有：

'3'ln3'3ln303ln3xxxfx.

本题选择D选项.

4．函数21fxx的导函数为（）

A.1fxx



B.21fxx



C.2fxx



D.22fxx





【答案】D

【解析】因为2

2121fxxxx，所以22fxx



，应选答案D。

5．已知函数36,1xfxxgxe，则这两个函数的导函数分别为()

A.263,xfxxgxe



B.23,1xfxxgxe









C.23,xfxxgxe



D.263,1xfxxgxe









【答案】C

【解析】由导函数的运算法则可得若函数36,1xfxxgxe，

则这两个函数的导函数分别为23,xfxxgxe



.

本题选择C选项.

6．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()

A．1条B．2条

C．3条D．不确定

解析：选B∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．

7．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()

A．1B．2

C．eD.

1

e

解析：选A由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|

x＝0

＝e0＝1.

8．已知f(x)＝－3x5

3

，则f′(22)＝()

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A．10B．－5x

2

3

C．5D．－10

解析：选D∵f′(x)＝－5x

5

3，∴f′(22)＝－5×2

2

3×

2

3

＝－10，故选D.

9．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()

A．2B．－2

C．3D．－3

解析：选A若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，

∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.

10.曲线y＝

1

3

x3在x＝1处切线的倾斜角为()

A．1B．－

π

4

C.

π

4

D.

5π

4

解析：选C∵y′＝x2，∴y′|

x＝1

＝1，

∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝

π

4

.

11．求下列函数的导数：

(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log

3

x；

(4)y＝sin









x＋

π

2

；(5)y＝e2.

解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.

(2)y′＝(4x)′＝4xln4.

(3)y′＝(log

3

x)′＝

1

xln3

.

(4)y′＝(cosx)′＝－sinx.

(5)y′＝(e2)′＝0.

三、课堂练习

1．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．

解析：∵y′＝(lnx)′＝

1

x

，∴y′|

x＝e

＝

1

e

.

∴切线方程为y－1＝

1

e

(x－e)，即x－ey＝0.

答案：

1

e

x－ey＝0

2．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.

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解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝

1

x

，

所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－

1

x

＝1.

解得x＝1或x＝－

1

2

，因为x＞0，所以x＝1.

答案：1

3．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y

轴的交点Q的坐标为________．

解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．

令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．

答案：(0，－a2)

4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，

(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．

(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．

解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．

过P点的切线的斜率k

1

＝y′|

x＝－1

＝－2，

过Q点的切线的斜率k

2

＝y′|

x＝2

＝4，

过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.

过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝

4－1

2＋1

＝1，

切线的斜率k＝y′|x＝x

0

＝2x

0

＝1，

所以x

0

＝

1

2

，所以切点M









1

2

，

1

4

，

与PQ平行的切线方程为：

y－

1

4

＝x－

1

2

，即4x－4y－1＝0.

5．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝

5

t，则质点在t＝4时的速度为()

A.

1

2

5

23

B.

1

10

5

23

C.

2

5

5

23D.

1

10

5

23

解析：选B∵s′＝

1

5

t－

4

5

.∴当t＝4时，

s′＝

1

5

·

1

5

44

＝

1

10

5

23

.

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6．直线y＝

1

2

x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()

A．2B．ln2＋1

C．ln2－1D．ln2

解析：选C∵y＝lnx的导数y′＝

1

x

，

∴令

1

x

＝

1

2

，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．

代入直线y＝

1

2

x＋b，得b＝ln2－1.

7．在曲线f(x)＝

1

x

上切线的倾斜角为

3

4

π的点的坐标为()

A．(1,1)B．(－1，－1)

C．(－1,1)D．(1,1)或(－1，－1)

解析：选D因为f(x)＝

1

x

，所以f′(x)＝－

1

x2

，因为切线的倾斜角为

3

4

π，所以切线斜率为－1，

即f′(x)＝－

1

x2

＝－1，所以x＝±1，

则当x＝1时，f(1)＝1；

当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．

8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x

n

，则x

1

·x

2

·…·x

n

的值为

()

A.

1

n

B.

1

n＋1

C.

n

n＋1

D．1

解析：选B对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝

n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x

n

－1)．令y＝0，得x

n

＝

n

n＋1

，∴x

1

·x

2

·…·x

n

＝

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n－1

n

×

n

n＋1

＝

1

n＋1

，故选B.

9．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．

解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，

又∵y′＝(lnx)′＝

1

x

，∴

1

x

＝2，解得x＝

1

2

.

∴切点的坐标为









1

2

，－ln2

.

故切线方程为y＋ln2＝2









x－

1

2

.

即2x－y－1－ln2＝0.

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__________________________________________________

答案：2x－y－1－ln2＝0

10．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是

________________．

解析：∵y′＝

1

2x

，∴切线方程为y－a＝

1

2a

(x－a)，令x＝0，得y＝

a

2

，令y＝0，得x＝－a，

由题意知

1

2

·

a

2

·a＝2，∴a＝4.

答案：4

11．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．

解：设切点P的坐标为(x

0

，x2

0

)．

∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x

0

)＝2x

0

，

∴切线方程为y－x2

0

＝2x

0

(x－x

0

)．

将点B(3,5)代入上式，得5－x2

0

＝2x

0

(3－x

0

)，

即x2

0

－6x

0

＋5＝0，∴(x

0

－1)(x

0

－5)＝0，

∴x

0

＝1或x

0

＝5，

∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，

故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，

即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.

12．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．

证明：设P(x

0

，y

0

)为双曲线xy＝a2上任一点．

∵y′＝









a2

x

′＝－

a2

x2

.

∴过点P的切线方程为y－y

0

＝－

a2

x2

0

(x－x

0

)．

令x＝0，得y＝

2a2

x

0

；令y＝0，得x＝2x

0

.

则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S＝

1

2

·









2a2

x

0

·|2x

0

|＝2a2.

即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.

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__________________________________________________

导数的运算法则

导数运算法则

1．'

''()()()()fxgxfxgx

2．'

''()()()()()()fxgxfxgxfxgx

3．



'

''

2

()()()()()

(()0)

()

()

fxfxgxfxgx

gx

gx

gx











（一）导数的加减法运算法则：

1．



)()(xgxf

2．



cxf)(

3、导数的加法与减法法则

1．导数的加法与减法法则的推导

令

)()()(xvxuxfy

，

)()()()(xvxuxxvxxuy)()()()(xvxxvxuxxu

vu

x

v

x

u

x

y



















，

所以

x

y

x



0

lim

0

lim





x

（

x

v

x

u











）

0

lim





xx

v

x

u

x









0

lim

)()(xvxu









即

vuvuy















)(

说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。

2．导数的加法与减法法则

两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即

vuvu











)(

，和（差）

函数求导法则由两个可以推广到

n

个。

（二）导数的乘除法运算法则

1．



)()(xgxf

；2．

















)(

)(

xg

xf

；

3．



)(xkf

；

1．导数的乘法、除法法则的推导：

__________________________________________________

__________________________________________________

令)()()(xvxuxfy，

)()()()(xvxuxxvxxuy

)()()()(xxvxuxxvxxu)()()()(xvxuxxvxu

)(

)()(

xxv

x

xuxxu

x

y















x

xvxxv

xu







)()(

)(

∴)(

)()(

limlim

00

xxv

x

xuxxu

x

y

xx

•











x

xvxxv

xu

x



•



)()(

lim)(

0

)()()()(xvxuxvxu









即vuvuuvy















)(

同理可得：

2v

vuvu

v

u

y



























说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。

2．导数的乘法、除法法则：

①两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数

的导数的和，即

vuvuuv











)(

。若

c

为常数，则

cucucu











)(uc



0uc





。由以上两个法则可

知：

)()()()(xvbxuaxbvxau









，ba,为常数。

②两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平

方。即

2v

vuvu

v

u

y



























二、典型例题

1．设2sinxyex则y



等于()

A.2cosxexB.2sinxexC.2sinxexD.2cossinxexx

【答案】D

【解析】由2sinxyex，得

'

'222cossinxxxxxyesinxesinxesinxecosxexx













.

故选D.

2．函数21fxx的导函数为（）

A.1fxx



B.21fxx



C.2fxx



D.22fxx





【答案】D

【解析】因为2

2121fxxxx，所以22fxx



，应选答案D。

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3．若xfxxe，则fx



_______________．

【答案】1xxe

【解析】结合函数的解析式和导函数的运算法则有：'''1xxxxxfxxexeexexe.

4．解下列导数问题：

（Ⅰ）已知22332fxxx，求1f



（Ⅱ）已知2

sin

x

fx

x

，求fx



【答案】(1)119f



(2)



2

2

2sincos

sin

xxxx

x





【解析】试题分析：（1）根据题干对函数求导将1代入导函数即可；（2）根据三角函数求导公式和

分式型的求导公式计算即可.

解析：

（Ⅰ）因为22332fxxx，所以21889fxxx



，

所以119f





（Ⅱ）2

sin

x

fx

x

，根据导函数的计算公式可得fx





2

2

2sincos

sin

xxxx

x





5．求下列函数的导数．

（1）；（2）．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）．

（2）因为，

所以．

考点：求函数的导数．

__________________________________________________

__________________________________________________

6．求下列函数的导数：

（1）1sin14fxxx；

（2）2

1

x

x

fx

x





.

【答案】（1）'4cos4sin4cosfxxxxx；（2）

2

1

'2ln2

1

xfx

x





.

【解析】试题分析：直接利用导数的乘除法则及基本初等函数的求导公式求解.

试题解析：（1）'1sin'141sin14'fxxxxx

1414

444

cosxxsinx

cosxsinxxcosx





（2）

2

1

''2'2ln2

1

1

xx

x

fx

x

x













.

三、课后练习

1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()

A．1B.2

C．－1D．0

解析：选A∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，

又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.

2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()

A．1B．2

C．3D．4

解析：选Dy′＝[(x＋1)

2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，

∴y′|

x＝1

＝4.

3．曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()

A．y＝2x＋2B．y＝2x－2

C．y＝x－1D．y＝x＋1

解析：选C∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为

y＝x－1.

4.已知物体的运动方程为s＝t2＋

3

t

(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()

__________________________________________________

__________________________________________________

A.

19

4

B.

17

4

C.

15

4

D.

13

4

解析：选D∵s′＝2t－

3

t2

，∴s′|

t＝2

＝4－

3

4

＝

13

4

.

5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()

A．0B．1

C．2D．3

解析：选Dy′＝a－

1

x＋1

，由题意得y′|

x＝0

＝2，即a－1＝2，所以a＝3.

6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．

解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|

x＝1

＝3×12－1＝2.

∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

答案：2x－y＋1＝0

7．已知曲线y

1

＝2－

1

x

与y

2

＝x3－x2＋2x在x＝x

0

处切线的斜率的乘积为3，则x

0

＝________.

解析：由题知y′

1

＝

1

x2

，y′

2

＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x

0

处切线的斜率分别为

1

x2

0

，3x2

0

－

2x

0

＋2，所以

3x2

0

－2x

0

＋2

x2

0

＝3，所以x

0

＝1.

答案：1

8．已知函数f(x)＝f′









π

4

cosx＋sinx，则f









π

4

的值为________．

解析：∵f′(x)＝－f′









π

4

sinx＋cosx，

∴f′









π

4

＝－f′









π

4

×

2

2

＋

2

2

，

得f′









π

4

＝2－1.

∴f(x)＝(2－1)cosx＋sinx.

∴f









π

4

＝1.

答案：1

9．求下列函数的导数：

(2)y＝

ex＋1

ex－1

；

(3)y＝

x＋cosx

x＋sinx

；解：

__________________________________________________

__________________________________________________

(2)y′＝

ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′

ex－12

＝

－2ex

ex－12

.

(3)y′＝

x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′

x＋sinx2

＝

1－sinxx＋sinx－x＋cosx1＋cosx

x＋sinx2

＝

－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1

x＋sinx2

.

10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，

求f(x)的解析式．

解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.

又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.

∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.

∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，

∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.

∵f′(x)|

x＝1

＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.

∴a＝

5

2

，c＝－

9

2

.

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝

5

2

x4－

9

2

x2＋1.

1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()

A．－1B．－2

C．2D．0

__________________________________________________

__________________________________________________

解析：选B∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.

2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()

A．2eB．e

C．2D．1

解析：选C函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，

当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.

3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝()

A．e－1B．－1

C．－e－1D．－e

解析：选C∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，

∴f′(x)＝2f′(e)＋

1

x

，

∴f′(e)＝2f′(e)＋

1

e

，解得f′(e)＝－

1

e

，故选C.

4．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()

A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)D．(－1,0)

解析：选C∵f(x)＝x2－2x－4lnx，

∴f′(x)＝2x－2－

4

x

＞0，

整理得

x＋1x－2

x

＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，

又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2.

5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．

解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝

1

x＋a

，设切点为(x

0

，y

0

)，

则y

0

＝2x

0

－1，y

0

＝ln(x

0

＋a)，且

1

x

0

＋a

＝2，

解之得a＝

1

2

ln2.

答案：

1

2

ln2

6．曲线y＝

x

2x－1

在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是

____________．

解析：y′＝－

1

2x－12

，则y′|x＝1

＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆

心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.

__________________________________________________

__________________________________________________

答案：22－1

7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.

(1)求a，b的值；

(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－

1

4

x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，

由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，

解得a＝1，b＝－16.

(2)∵切线与直线y＝－

1

4

x＋3垂直，

∴切线的斜率k＝4.

设切点的坐标为(x

0

，y

0

)，

则f′(x

0

)＝3x2

0

＋1＝4，∴x

0

＝±1.

由f(x)＝x3＋x－16，可得y

0

＝1＋1－16＝－14，

或y

0

＝－1－1－16＝－18.

则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.

即y＝4x－18或y＝4x－14.

8．设f

n

(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.

(1)求f

n

′(2)；

(2)证明：f

n

(x)在









0，

2

3

内有且仅有一个零点(记为a

n

)，且0＜a

n

－

1

2

＜

2n

3n＋1

.

解：(1)由题设f

n

′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.

所以f

n

′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①

则2f

n

′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②

①－②得，－f

n

′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝

1－2n

1－2

－n·2n＝(1－n)·2n－1，

所以f

n

′(2)＝(n－1)·2n＋1.

(2)因为f(0)＝－1＜0，

f

n







2

3

＝

2

3









1－









2

3

n

1－

2

3

－1＝1－2×









2

3

n≥1－2×









2

3

2＞0，

因为x≥0，n≥2.

所以f

n

(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，

所以f

n

(x)在









0，

2

3

内单调递增，

__________________________________________________

__________________________________________________

因此f

n

(x)在









0，

2

3

内有且仅有一个零点a

n

.

由于f

n

(x)＝

x－xn＋1

1－x

－1，

所以0＝f

n

(a

n

)＝

a

n

－an＋1

n

1－a

n

－1，

由此可得a

n

＝

1

2

＋

1

2

an＋1

n

＞

1

2

，故

1

2

＜a

n

＜

2

3

.

所以0＜a

n

－

1

2

＝

1

2

an＋1

n

＜

1

2

×









2

3

n＋1＝

2n

3n＋1

.