截距有正负吗

截距有正负吗

-自己生日感言

2023年2月15日发(作者：期中考试成绩分析)

12．2一次函数

第1课时一次函数(一)

教学目标

【知识与技能】

认识正比例函数，掌握正比例函数解析式的特点．

【过程与方法】

经历用图象法表示正比例函数的过程，利用数形结合思想分析问题．

【情感、态度与价值观】

1．通过让学生用图象法表示正比例函数使学生参与到探究正比例函数的过程中来，激发

学生学习数学的积极性．

2．将函数用图象表示出来使函数显得更为生动形象，使学生易于接受．

重点难点

【重点】

正比例函数的解析式特点，正比例函数的图象表示法．

【难点】

由正比例函数的图象归纳其性质．

教学过程

一、创设情境，导入新知

教师多媒体出示：

s＝50t；h＝50t＋500；Q＝－25t＋300；y＝2x.

师：观察这些函数，你能发现它们的共同点吗？

生：能．它们的自变量的最高次数都是1.

师：很好！不难看出，这些函数都是用自变量的一次式表示的，可以写成y＝kx＋b的形

式．因为它们有这一共同特征，我们把它们归为一类．

教师多媒体出示并口述：

一般地，形如y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，其中k叫做比例系

数，b叫做常数．当b＝0时，它会是怎样的呢？

生：当b＝0时，它化简成了y＝kx.

师：对．我们把有这一特征的函数也归为一类．一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的

函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

二、边讲边练，共同探究

师：请同学们根据刚才介绍的一次函数及正比例函数的形式来判断一下下列函数，哪些

是一次函数？哪些是正比例函数？

(1)y＝－4x；(2)y＝

6

x

；(3)y＝4x＋8；(4)y＝3x2－1；(5)y＝－

x

8

.

学生讨论后回答，集体纠正．

师：我们现在已经知道了正比例函数的解析式的特点，那么它的图象又有什么特点呢？

在前面我们画了y＝2x、s＝－3t的图象，它们有什么共同点？

生：它们都是一条直线．

师：对．通常我们把正比例函数y＝kx(k≠0)的图象叫做直线y＝kx.

教师多媒体出示：

y＝

1

2

x，y＝x，y＝3x.

师：请大家在同一直角坐标系中画出下列正比例函数的图象．我们知道两点确定一条直

线，所以要画y＝kx的图象，找出两个点即可．在y＝kx中，无论k取何值，x＝0时y都为

0，所以正比例函数的图象是一条经过原点的直线．我们再找一个容易计算的x的值，比如取

x＝1，求出相应的y的值．

教师找三名学生板演，其余同学在下面做，然后集体纠正得到：

三、继续探究，层层推进

师：它们除了都是正比例函数外，k都是大于0的．它们的图象除了是经过原点的直线

外，还有什么共同点？

生：它们都经过一、三象限．

师：除此之外，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？

学生观察后回答：增大．

师：很好！它们还有没有其他的共同之处？

学生继续观察，发现另一共同点：它们都是自左向右上升的．

教师多媒体出示：

y＝－

1

2

x，y＝－x，y＝－3x.

师：你们再画出这几个函数的图象，看看它们有什么共同点．

学生作图后回答．

生甲：它们都是过原点的一条直线．

生乙：它们都经过二、四象限．

生丙：y的值随着x的增大而减小．

生丁：它们都是自左向右下降的．

师：同学们回答得很好！我们由这两个例子得到如下结论：

在正比例函数y＝kx中，当k＞0时，y随x的增大而增大，图象经过一、三象限；当k

＜0时，y随x的增大而减小，图象经过二、四象限．

师：那么大家将前面的三个图象结合起来，看|k|的大小对y＝kx的图象有什么影响？

生：|k|越大，图象越接近y轴；|k|越小，图象越接近x轴．

师：很好，大家观察得很仔细．我们现在来探究正比例函数的平移问题．

教师多媒体出示：

(1)将直线y＝3x向下平移2个单位，得到直线________．

(2)将直线y＝－x－5向上平移5个单位，得到直线________．

学生讨论．

教师找两名学生回答．

生甲：y＝3x－2.

生乙：y＝－x.

四、课堂小结

师：今天我们学习了哪些内容？

生甲：学习了一次函数和正比例函数的概念．

生乙：学习了正比例函数的性质．

师：很好，你能说说什么样的函数是一次函数、什么样的函数是正比例函数吗？

学生回答．

师：正比例函数有哪些性质呢？

教师找一名学生回答，让另一名学生补充，最后教师完善．

教学反思

本节课我给出几个例子，让学生自己去观察它们的共同点，即正比例函数的特征，锻炼

他们观察、总结的能力和意识．我让学生自己动手作图，学生通过观察、分析图象来发现正

比例函数的性质，增强了参与感和学习的热情，提高了类比、归纳和概括能力．在课程标准

规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教材中对一次函数的讨论比较全面．正比例

函数是一次函数的最简单的形式．通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个

初步的认识与了解，从而能更好地掌握二次函数、反比例函数的学习方法．教学完后，对新

教材有了一些更深的认识．

第2课时一次函数(二)

教学目标

【知识与技能】

1．认识一次函数，掌握一次函数解析式的特点及系数的取值范围．

2．知道一次函数和正比例函数的联系和区别．

3．会画一次函数的图象．

4．理解并掌握一次函数的性质．

【过程与方法】

1．经历绘制一次函数图象的过程，类比对正比例函数的探究过程来研究一次函数的性质．

2．用数形结合的方法分析问题．

【情感、态度与价值观】

1．通过让学生类比对正比例函数性质的探究，画出一次函数，归纳出一次函数的性质，

提高他们的类比、概括能力．

2．通过让学生积极思考、讨论来活跃课堂气氛，激发学生学习数学的兴趣，形成合作交

流意识．

重点难点

【重点】

一次函数的解析式和画法，一次函数解析式与图象的联系．

【难点】

一次函数的解析式与图象的联系．

教学过程

一、创设情境，导入新知

师：我们上节课学习了一次函数的定义，你们还记得吗？

生：记得．一般地，形如y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．

师：同学们回答得很好．

教师多媒体出示：

已知气温随海拔高度的升高而变化，海拔每升高1km，气温下降6℃，若某地海平面的

温度是15℃，设海拔高度为xkm位置的气温为y℃，求y与x之间的关系．

学生讨论后回答：y＝15－6x，x≥0.你能求出海拔高度为2km位置处的气温吗？

生：能．把x＝2代入y＝－6x＋15，得y＝－6×2＋15＝3，所以海拔高度为2km位置

处的气温为3℃.

师：对．上节课我们还学习了正比例函数，研究了它的解析式与它的图象的关系，这节

课我们来看看一次函数的解析式和图象是否也有这种关系．

二、合作探究，获取新知

教师多媒体出示：

请在同一坐标系中画出y＝2x和y＝2x＋3的图象．

教师让学生填写表格：

x…－2－1012…

y＝2x……

y＝2x＋3……

学生填写．

师：通过填表你发现这两个函数之间有什么关系吗？

生：对于自变量x的同一个值，函数y＝2x＋3的值比函数y＝2x的函数值大于3个单位．

师：对．现在请同学们描点、连线，看它们的图象有什么关系？

学生操作．

生甲：它们的图象是平行线．

生乙：它们之间的距离处处相等．

生丙：它们的倾斜程度相同，把y＝2x的图象向上平移三个单位就得到y＝2x＋3的图象．

师：同学们观察得很认真．你们知道它们为什么会平行吗？

学生讨论．

师：你们再在这一直角坐标系中画出y＝2x－1的图象，看看会是什么情况？

学生操作后回答：这三个图象都是直线，且互相平行．

师：它们的解析式有什么共同点呢？

生：函数自变量x前面的系数相同．

师：对．解析式y＝kx＋b中的k决定这条直线的倾斜程度，当两个一次函数的k值相同、

b值不同时，它们的图象平行．那么b代表什么呢？当x＝0时，y的值是多少？

生：b.

师：这说明了y＝kx＋b的图象经过(0，b)这一点，我们知道横坐标为零的点在y轴上，

所以这个点是y＝kx＋b的图象与y轴的交点，我们把b叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距．现

在我问大家一个问题，截距可以为0或负值吗？

学生思考，讨论．

生甲：不可以．

生乙：可以．

师：注意，截距不同于距离，截距可正可负，也可以为零．截距不同，图象与y轴的交

点位置就不同．请大家指出以上三条直线的截距分别是多少？

生甲：直线y＝2x＋3的截距是3.

生乙：直线y＝2x的截距是0.

生丙：直线y＝2x－1的截距是－1.

师：大家回答得很好．

三、层层推进

师：我们知道了y＝2x＋3的图象可以由y＝2x的图象向上平移3个单位得到，y＝2x－1

的图象也与y＝2x的图象平行，是否也可以由它平移得到呢？

学生思考后回答：可以．

师：怎样平移呢？

生：向下平移1个单位．

师：对．所以直线y＝kx＋b可以看作是由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到的，我们

知道了平移的距离，平移的方向由什么确定呢？怎样确定呢？

学生思考．

教师提示：请同学们根据你作出的y＝2x＋3和y＝2x－1的图象与y＝2x的图象之间的

关系来考虑．

生：y＝2x＋3的图象是由y＝2x的图象向上平移3个单位得到的．

师：由此你能得到截距与y＝kx＋b的图象相对于y＝kx的图象的平移方向之间有什么关

系呢？

生：当b＞0时，图象向上平移b个单位．

师：对．由y＝2x－1的图象与y＝2x的图象之间的关系，你能得到什么结论？

生：当b＜0时，图象向下平移－b个单位．

师：很好．

四、分析图象，探索性质

师：我们在上节课正比例函数的学习中，由函数的解析式得到了它的哪些性质？

生：当k＞0时，y随x的增大而增大，图象经过一、三象限；当k＜0时，y随x的增大

而减小，图象经过二、四象限．

师：对．一次函数是否也有这种性质呢？

教师多媒体出示：

请画出函数y＝3x＋1、y＝－2x－3、y＝

1

2

x＋4的图象．

学生操作．

教师多媒体出示：

x02

y＝3x＋117

y＝－2x－3－3－7

y＝

1

2

x＋4

45

师：一次函数的解析式y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)中，k的正负对图象会有什么影响

呢？

学生观察图象后回答，集体纠正，得到如下结论：

当k＞0时，y随x的增大而增大，图象是自左向右上升的，经过的象限中必有一、三象

限；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象是自左向右下降的，经过的象限中必有二、四象

限．

师：b的正负对y＝kx＋b的图象有什么影响呢？

学生观察分析图象后回答：当b＞0时，图象与y轴的正半轴相交；当b＜0时，图象与

y轴的负半轴相交．

师：很好．那么k、b的正负情况结合在一起，它们的正负与图象经过的象限有什么关系

呢？

教师在黑板上画出表格：

直线y＝kx＋b经过的象限b＞0b＝0b＜0

k＞0

k＜0

教师找一名学生板演，其余同学在下面做，然后集体订正．

直线y＝kx＋b

经过的象限

b＞0b＝0b＜0

k＞0一、二、三一、三一、三、四

k＜0一、二、四二、四二、三、四

师：我们知道了k、b的正负，就能知道直线y＝kx＋b经过的象限．同时也要能根据直

线y＝kx＋b经过的象限判断k、b的正负，它们是互相对应的．

五、课堂小结

师：本节课你们学到了什么内容？

学生回答，教师补充完善．

教学反思

在本节课中，利用两个函数y＝2x和y＝2x＋3的图象，让学生观察k值对函数图象的影

响．学生看不出，我就加入一个函数y＝2x－1，让他们再观察，这三个图象是互相平行的直

线，它们的函数中的k值相同，这样让学生通过观察、总结规律得到结论．在总结结论时，

我把图象的上升、下降情况放在它所经过的象限之前，是因为k值的正负直接决定的是图象

的变化趋势，而不是经过的象限，由变化趋势我们能得到它经过哪几个象限．本节课中直线

y＝kx＋b(b≠0)经过的象限也可由直线y＝kx经过的象限和b的正负，将直线y＝kx向上或

向下平移得到．

第3课时一次函数(三)

教学目标

【知识与技能】

学会用待定系数法确定一次函数的解析式；用数形结合、看图找信息的方法求一次函数

的解析式．

【过程与方法】

经历用待定系数法求解问题的过程，提高解决问题的能力；体验数形结合的思想，运用

看图读信息的方法来解决问题．

【情感、态度与价值观】

通过让学生经历先设出未知数，根据题意列出方程再求解的过程，带领学生学习待定系

数法，激发学生探索、总结数学方法的兴趣．

重点难点

【重点】

用待定系数法求一次函数的解析式．

【难点】

结合图象求解析式．

教学过程

一、创设情境，导入新知

师：我们在前面学习了一次函数的解析式的形式，有了解析式我们可以画出一次函数的

图象，可以知道它的一些性质．如果已知函数的图象或者仅仅知道函数图象上的两点，怎么

求出这个函数的解析式呢？

二、共同探究，获取新知

教师多媒体出示：

【例1】已知一个一次函数，当自变量x＝4时，函数值y＝5；当x＝5时，y＝2.写出

这个函数的解析式．

学生讨论．

师：一次函数的形式是什么？

生：y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)．

师：现在我们先把这个函数的解析式设出来，再求出里面的k和b，怎么求k和b呢？

将直线上的两点，也就是题中给出的两个条件代入，看能得到什么？

生：









4k＋b＝5，

5k＋b＝2.

师：这是一个二元一次方程组．你们还记得怎么解吗？

生：记得．

教师找一名学生板演，其余同学在下面做，最后得到：k＝－3，b＝17.

师：把它们代入所设的式子就得到这个函数的解析式为y＝－3x＋17.像这样，先设出关

系式，根据条件列出方程，求解方程或方程组，解出关系式中的未知数的方法叫做待定系数

法．

【例2】已知有两个人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去，如图

反映的是这两个人行驶过程中的时间和路程的关系，请根据图象回答下列问题：

(1)甲地与乙地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达乙地？早

到多长时间？

(2)分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态．

(3)求摩托车行驶的平均速度．

师：请同学们思考这几个问题．

思路点拔：两人行驶的路程s是时间t的函数，从图象可以看出骑自行车的先出发而后

到达乙地，行驶的路程都是100千米．

教师找学生回答，并集体订正．

解：(1)甲地与乙地相距100千米，两个人分别用了2小时(骑摩托车)、6小时(骑自行车)

到达乙地，骑摩托车的先到乙地，早到了1小时．

(2)骑自行车的先匀速行驶了2小时，行驶40千米后休息了1小时，然后用3小时到达

乙地．骑摩托车的在自行车出发3小时后出发，行驶2小时后到达乙地．

(3)摩托车行驶的平均速度是50千米/时．

三、练习新知

教师多媒体出示：

请同学们根据这个图象写出这条直线所代表的一次函数的解析式．

学生讨论．

教师提示：由图象我们能看出图象经过了哪两个点？

生：(5，0)和(0，2)这两点．

教师找一名学生板演，其余学生在下面做，然后集体订正．

解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋2，因为函数图象经过(5，0)点，所以有5k＋2

＝0，k＝－

2

5

.

∴一次函数的解析式为y＝－

2

5

x＋2.

四、课堂小结

师：这节课我们学习了什么内容？

学生回答，教师补充完善．

教学反思

在看图读信息时，若截距b已知时，我们可以直接设成y＝kx＋b，其中的b就是截距，

然后求出k即可．这点提示让学生能对特殊情形找出简便方法，不拘泥于一种方法．本节课

用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识，培养学生的合作能力和自主学习能力．在例

题讲解中以问题串的形式让不同的学生都能有所收获，有所成功，这也充分体现了新课程教

学面向全体学生，让不同的学生在学习上都能得到发展的目的．

第4课时一次函数(四)

教学目标

【知识与技能】

学会用待定系数法求一次函数的解析式来解决实际问题，建立实际问题的函数模型．

【过程与方法】

经历对实际问题建立数学模型的过程，体验待定系数法的作用和一次函数模型的价值．

【情感、态度与价值观】

1．通过让学生经历用一次函数来解决实际问题、建立实际问题的函数模型的过程，使他

们感受到数学的用途和与生活的紧密联系．

2．让学生参与到教学活动中，提高学习数学及运用数学的积极性．

重点难点

【重点】

用一次函数知识来解决实际问题．

【难点】

建立实际问题的数学模型．

教学过程

一、创设情境，导入新知

师：我们在上节课学习了待定系数法，大家还记得是怎么用的吗？

生：设出解析式，然后把已知点的坐标代入，解方程或方程组，解得系数值，进而得到

解析式．

师：很好！我们这节课就用它来解决一些实际问题．

二、共同探究，获取新知

教师多媒体出示．

【例】为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m3时，每

立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8m3时，超过部分每立方米收取1.5元外加

1.2元的污水处理费．设一户每月用水量为xm3，应缴水费y元．

(1)给出y关于x的函数关系式．

(2)画出上述函数图象．

(3)该市一户某月若用水量为x＝5m3或x＝10m3时，求应缴水费．

(4)该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量．

师：你能写出y与x的函数关系式吗？

学生讨论后回答．

生：用水量超过8m3时与不超过8m3时计算方法是不同的，所以要分类讨论．当不超过

8m3时，每立方米收费为(1＋0.3)元；当超过8m3时，超过部分每立方米收费(1.5＋1.2)元．

教师提示：应分段表示，我们把这样的函数叫做分段函数，各个函数要注明取值范围．

师：应该怎样分情况讨论呢？

学生思考，讨论．

师：用水量不超过8m3和超过8m3时的收费方法是不同的，但是应怎样分段呢？

生：分为0≤x≤8和x＞8两段．

师：哪位同学能写出这两种情况下的函数解析式？

学生举手．

教师找一名学生板演，然后集体订正得到：

y＝









（1＋0.3）x＝1.3x（0≤x≤8），

（1.5＋1.2）（x－8）＋1.3×8＝2.7x－11.2（x＞8）.

师：很好！你们能画出它的图象吗？

生：能．

教师找一名学生板演，其余同学在下面画，最后讨论纠正得到：

师：若一户某月的用水量为5m3，你怎样求他应该缴多少水费？

生：因为5＜8，所以把x＝5代入第一个式子．

师：对，你们求一下是多少？

学生计算后回答．

师：若一用户缴了26.6元的水费，你能算出这户人家的用水量吗？

生：能．

师：你是怎样计算的？

生：因为26.6＞1.3×8，所以用水量超过了8m3，把y＝26.6代入第二个式子，求出x.

师：对，现在请大家具体算一下．

学生计算后回答．

生：2.7x－11.2＝26.6，解得x＝14，即这户本月用水14m3.

三、练习新知

教师多媒体出示：

小明步行离开家去上学，开始的速度是0.6m/s，10分钟后发现快迟到了，加快了速度，

以1.2m/s的速度用5分钟走完了剩余的路程到达学校．

(1)求小明家离学校的大致距离和小明走路的平均速度．

(2)请用函数图象描述小明走路的过程．

教师引导学生思考、交流，然后找一名学生板演，其余同学在下面做，订正得到：

距离应为0.6×10×60＋1.2×5×60＝360＋360＝720(m)，平均速度为720÷[(10＋5)×60]

＝720÷900＝0.8(m/s)．

教师多媒体出示图象：

其中，x表示小明离开家的时间，y表示小明离家的距离．

四、课堂小结

师：本节课我们学习了什么内容？

学生回答，教师总结：

1．知道分段函数的概念与特征．

2．会作分段函数的图象．

3．对于实际问题，初步了解如何根据函数解析式和图象描出它的现实意义．

教学反思

本节课介绍了分段函数，分段函数在实际生活中经常用到，因为一个函数不是在所有的

自变量可以取到的范围内可以通用，所以经常需要对自变量的范围分段讨论对应的函数．分

段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段．通过本节课的学习让学生进一步理解自变

量的取值范围的意义，在做题特别是解应用题时养成分情况讨论的习惯和意识．

第5课时一次函数(五)

教学目标

【知识与技能】

1．认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系．

2．会用图象法解一元一次不等式和一元一次方程，会用数形结合的思想方法解决问题．

【过程与方法】

1．经历探索、思考等教学活动和思维过程，发展学生的合情推理能力，能有条理地、清

晰地阐述观点．

2．让学生体验并掌握数形结合的思想和解决问题的方法，提高解决问题的能力．

3．体会解决问题的多种途径，发散学生的思维．

【情感、态度与价值观】

在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神，增强学生对数学思维、数学方

法的好奇心和兴趣．

重点难点

【重点】

理解一次函数的图象与一元一次不等式、一元一次方程的关系，运用此关系求解问题．

【难点】

理解一元一次不等式、一元一次方程的图象解法．

教学过程

一、创设情境，导入新知

师：你会解一元一次方程－2x＋8＝0吗？

生：会，x＝4.

师：我们现在看一次函数y＝－2x＋8.当x取什么值时，y为0?

生：当x＝4时，y＝0.

师：这个函数当x＝4时，y＝0，也就是这个函数的图象与x轴的交点坐标为(4，0)，与

x轴交点的横坐标为4.这个4一方面是方程的解，另一方面又是一次函数与x轴交点的横坐

标，它们的数值是相同的，会不会是巧合，还是确实有联系？我们这节课就来研究这个问题．

二、共同探究，获取新知

教师多媒体出示：

1．解方程：2x＋6＝0.

2．已知一次函数y＝2x＋6，问x取什么值时，y＝0?

师：这两个问题有什么关系呢？

学生讨论后回答：第二个问题中，y＝0，也就是2x＋6＝0时，就成了第一个问题，所以

它们的实质是一样的．

师：大家回答得非常好！请大家画出y＝2x＋6的图象，看方程2x＋6＝0的解与这个图

象又有什么关系．

学生作图，教师巡视指导．

教师多媒体出示：

生：方程的解等于图象与x轴交点的横坐标．

师：对．因为任何一个一元一次方程都可以写成y＝kx＋b的形式，所以解一元一次方程

kx＋b＝0都可以转化成求函数y＝kx＋b中y＝0时x的值，从图象上看，就是一次函数y＝

kx＋b的图象与x轴交点的横坐标．

三、层层推进，深入探究

师：根据上面你们画出的y＝2x＋6的图象，你能说出一元一次不等式2x＋6＞0与2x＋

6＜0的解集吗？

学生合作交流

生：当2x＋6＞0时就是一次函数y＝2x＋6中y的值大于0，而y＞0在坐标平面上表现

的就是图象在x轴上方．

师：同学们回答得很好！那么x在什么范围时，图象在x轴的上方呢？

生：因为图象与x轴的交点坐标是(－3，0)，由图象知，当x＞－3时，y＞0，即2x＋6

＞0的解集是x＞－3.

师：2x＋6＜0的解集呢？

生：它对应的是图象在x轴下方的部分，当x＜－3时，图象在x轴下方，所以2x＋6＜

0.

师：谁能总结一下呢？

生：一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集，就是使一次函数y＝kx＋b取正值(或

负值)时x的取值范围．

师：很好！从图象上看，kx＋b＞0的解集就是使直线y＝kx＋b位于x轴上方的部分相

应的x的取值范围；kx＋b＜0的解集就是使直线y＝kx＋b位于x轴下方的部分相应的x的

取值范围．