地球为什么有引力
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2023年2月15日发(作者：不浪漫罪名吉他谱)万有引力定律的来源
1．托勒密（y）的宇宙地心体系
公元前150年前后托勒密（y）根据当时的天文学知识提出于宇宙的地心体系，
按照这一理论，其它行星，当时只知道五大行星（水、金、火、木、土星）绕地球动转，从
这一角度来看，行星的运动是相当复杂的，行星有时要逆行，为解释这一现象，托勒密提出
了均轮—本轮体系，即每个行星沿着一个称为本轮的圆回转，而本轮的中心又沿着以地球为
中心的称为均轮的大圆运行，如图所示。
为了使理论与观测的数据符合，托勒密在本轮上又再
加上一层又一层的本轮，使该体系变得非常复杂，但
它确实能很好地预言行星未来的位置。
波兰科学家哥白尼（NicolausCopernicus，1473—）觉
得托勒密的理论太复杂，如果把太阳放在宇宙的中心，
行星的运动将会大大简化，于是提出了日心体系。
为宣传和捍卫哥白尼的日心说，布鲁诺被宗教裁判活活烧死，伽利略受到迫害，后来人
们称“哥白尼挡住了太阳，推动了地球”。
2．开普勒（JohannesKeplkev）迈向椭圆体系
丹麦的科学家弟谷（TychoBrahe）测量和记录下来20年来的行星位置。误差不超过1/15
度。由于弟谷数据的精确度比验证哥白尼学说所需要的高得多，人们发现哥白尼的行星圆轨
道上是粗略的近似。
开普勒是弟谷的助手和事业继承人，他与弟谷不同，倾向于从理论上思考问题。他投入
自己的全部精力来整理弟谷的观测数据。他相信哥白尼基本上是对的，他也用本轮的办法来
修正哥白尼的轨道，经过七十余次圆上加圆的尝试，他终于找到一条与观测数值相合的相当
好的火星轨道，但如果继续外推，则出现8的角度偏差。于是他决定放弃匀速圆周运动这一
古老信念，从头做起。
设想从太阳向行星引一径矢，他发现这条辐线在相等的时间间隔内扫过相等的面积，这
便是开普勒第二定律的发现。
之后，开普勒又发现了第一定律和第三定律（
2
3
T
a
常量）
第二定律意味着角动量守恒，因为角动
量正比于矢径的掠面速度，而第三定律则意
味着平方反比律。
地球
行星
本轮
均轮
近日点
远日点
太阳
3．开普勒三定律
人类通过对星体运行规律的研究，奠定了经典力学的基础，促进了实验物理学和理论物
理学的发展，在17世纪初期，德国天文学家开普勒分析前人观测到的行体数据，提出了描
述行星运动的三条定律，称为开普勒定律，具体内容如下：
（1）每一行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。
（2）行星运动时，太阳到行星的矢径r
在相等的时间间隔内扫过的面积相等，这也叫
面积定律。
（3）行星绕太阳公转周期T的二次方正比于行星椭圆轨道半长轴a的三次方，且比值
为一恒量，即：
C
T
a
2
3
第一定律给出了行星运行轨道的形状，是一条几何定律，第二定律说明行星在太阳系中
的运动遵守角动量守恒定律，这可以从等面积定律中导出角动量守恒，第三定律则是对前两
个定律的补充。
有关开普勒定律的内个行星的数据如下：
行星轨道周期T（s）轨道半长轴a（m）
a3/T2
水星7.513×1065.795×10103.448×1018
金星1.941×1071.081×10113.545×1018
地球3.154×1071.496×10113.366×1018
火星5.977×1072.278×10113.355×1018
木星3.735×1087.781×10113.377×1018
土星9.297×1081.427×10123.362×1018
开普勒关于行星运动的三条定律，给哥白尼的日心说以有力的支持；也为牛顿发现引力
定律提供了基础。
4．万有引力定律的来源
由开普勒第三定律和牛顿第二定律导出万有引力定律的平方反比关系：
作圆周运动的物体所受的向心力为：
r
v
mf
2
对于圆周轨道
Trv/2
（T为周期）；则有
2
24
T
mr
f
由开普勒第三定律3223//rKTKTr；于是有
2
24
r
mK
f
2
24
r
mK
f
行星的椭圆轨道和面积定律的验证
1．椭圆轨道的论证：
开普勒第一定律是根据大量的观察数据总结得出来的，既然天体之间的相互作用力为万
有引力，那么从引力定律出发就应当得到开普勒第一定律，1684年，牛顿就作了此计算，
结论是正确的。
下面我们在相坐标中来进行验证。
设太阳的质量为m，行星的质量为m，如图所示，则有：
oorr
evevv
222
or
vvv
而
dt
dr
v
r
；
dt
d
rv
；
2
2
2
2
dt
d
r
dt
dr
v
行星的角动量是守恒的：即
dt
d
mrL
2恒量（1）
能量为：
r
mm
GmvE
2
2
1
=恒量，代入v2表达式得
r
mm
G
dt
d
mr
dt
dr
mE
2
2
2
2
1
2
1
恒量（2）
由（1）式和（2）式可得：
ddr
r
L
r
mGmEm
rL
2
2
2
1
2
/
积分后可得：
)cos1(
1
eA
r
（3）
其中
2
2
L
mmG
A
；
2/1
322
22
1
mmG
EL
e
（3）式是典型的圆锥曲线方程，因为E<0，故偏心率e<1；因此进一步得知方程（3）
是椭圆方程，这样，由万有引力定律也就验证了开普勒第一定律。
e
O
m
r
mP
v
r
参考轴
P
v
v
e
r
2．面积定律的论证：
我们知道，开普勒的等面积定律隐含着角动量守恒定律，下面我们从角动量守恒定律来
给出等面积定律。
如图，在dt时间内，径矢r
扫过的面积为drds2
2
1
则
m
L
mr
m
r
dt
d
r
dt
ds
22
1
2
1
2
1
222
恒量
即在相等时间内，径矢扫过的面积相等。
万有引力的应用—海王星的发现
预见和发现未曾想到过的行星，是引力理论威力最生动的例证，海王星和冥王星就是这
样被发现的。
1878年赫歇耳（el）偶然发现了天王星，并测得天王星运行周期为84年，
此后的研究数据表明天王星的运动反常，可能天王星外还有一颗未知的行星，当时英国科学
家亚当斯（）和法国的勒弗里埃（r）各自独立地计算出此星的运行轨
道和周期，1845年10月，亚当斯把自己的研究成果报给了英国皇家天监，可惜未引起重视
而错过了天机，183、46年，德国科学家个戈勒()在他的第一夜观察中就发现了海
王星,其位置与理论计算只差1,就这样,海王星在笔尖下被发现了。
1930年，科学家汤姆波尖（gh）又根据海王星运动的不规则性，发现了冥
王星。
r
d