椭圆的面积
-津滨轻轨
2023年2月15日发(作者：本命年的回想)高二（9）班培优：椭圆中面积问题
2019-11-4
1．（2013新课标2）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a
＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣＝0交M于A，B两点，P为AB的中
点，且OP的斜率为．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边
形ACBD面积的最大值．
2．（2014年新课标1）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+＝1（a＞
b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O
为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最
大时，求l的方程．
3．（2013年浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+＝1（a＞
b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2＝4的
直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，
其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一
点D．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．
4．（2016年新课标1）设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过
点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的
平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与
l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
5．（2018年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点
（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直
径为F1F2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l
的方程．
6．设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，
直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
7．（2016年新课标2）已知椭圆E：+＝1的焦点在x轴上，A是
E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，
MA⊥NA．
（Ⅰ）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
8．设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，
直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
答案
1.解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣＝0得c+0﹣＝0，
解得c＝．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则，，相减得，
∴，
∴，又＝，
∴，即a2＝2b2．
联立得，解得，∴M的方程为．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y＝x+t，
联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6＝0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△＝16t2﹣12（2t2﹣6）＝72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3，
由C，D在椭圆上，可得﹣＜t＜．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．
∴|CD|＝＝＝
．
联立得到3x2﹣4x＝0，解得x＝0或
，
∴交点为A（0，），B，
∴|AB|＝＝．
∴S四边形ACBD
＝＝＝，
∴当且仅当t＝0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为．
2.解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，
所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（5分）
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P
（x1，y1），Q（x2，y2）
将y＝kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，
当△＝16（4k2﹣3）＞0，即时，
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积
＝，
设，则t＞0，，
当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y＝x﹣2或y＝﹣
x﹣2．…（12分）
3.解：（1）由题意可得b＝1，2a＝4，即a＝2．∴椭圆C1的方
程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．
由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y＝
kx﹣1．
又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d＝．
∴|AB|＝＝．
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k＝0，联立，消去y
得到（4+k2）x2+8kx＝0，解得，∴|PD|＝．
∴三角形ABD的面积S△＝＝，
令4+k2＝t＞4，则k2＝t﹣4，
f（t）＝＝＝，
∴S△＝，当且仅，即，当时取等号，
故所求直线l1的方程为．
4.解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15＝0即为（x+1）2+y2＝16，可
得圆心A（﹣1，0），半径r＝4，由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由
AC＝AD，可得∠D＝∠C，
即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，
则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4，
故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b＝
＝，
则点E的轨迹方程为+＝1（y≠0）；
（Ⅱ）椭圆C1：+＝1，设直线l：x＝my+1，由PQ⊥l，设PQ：
y＝﹣m（x﹣1），
由可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
则|MN|＝•|y1﹣y2|＝•
＝•＝12•，
A到PQ的距离为d＝＝，
|PQ|＝2＝2＝，
则四边形MPNQ面积为S＝|PQ|•|MN|＝••12•
＝24•＝24，
当m＝0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•＝8，
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．
5.解：（1）由题意可设椭圆方程为，
∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．
∵∴，又a2﹣b2＝c2＝3，
解得a＝2，b＝1．
∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2＝3．
（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，
因此k一定小于0，
∴可设直线l的方程为y＝kx+m，（k＜0，m＞0）．
由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得
．
由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
△＝（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＝0，
可得m2＝4k2+1，∴3k2+3＝4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k＝﹣，
m＝3．
将k＝﹣，m＝3代入可得，
解得x＝，y＝1，故点P的坐标为（．
②设A（x1，y1），B（x2，y2），
由⇒k＜﹣．
联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
|x2﹣x1|＝＝，
O到直线l的距离d＝，
|AB|＝|x2﹣x1|＝，
△OAB的面积为S＝＝
＝，
解得k＝﹣，（正值舍去），m＝3．
∴y＝﹣为所求．
6.解：（Ⅰ）依题设得a＝2，b＝1，
∴椭圆的方程为，
直线AB，EF的方程分别为x+2y＝2，y＝kx（k＞0）．
如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），
其中x1＜x2，且x1，x2满足方程（1+4k2）x2＝4，
故．①
由，知x0﹣x1＝6（x2﹣x0），得；
由D在AB上知x0+2kx0＝2，得．
∴，化简得24k2﹣25k+6＝0，
解得或；
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，
点E，F到AB的距离分别为，
．
又，
∴四边形AEBF的面积为＝＝
＝＝，
当2k＝1，即当时，上式取等号．
∴S的最大值为．
解法二：由题设，|BO|＝1，|AO|＝2．
设y1＝kx1，y2＝kx2，由①得x2＞0，y2＝﹣y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S＝S△BEF
+S△AEF
＝
x2+2y2
＝＝
＝，
当x2＝2y2时，上式取等号．
∴S的最大值为．
7.解：（Ⅰ）方法一、t＝4时，椭圆E的方程为+＝1，A（﹣2，
0），
直线AM的方程为y＝k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）
x2+16k2x+16k2﹣12＝0，
解得x＝﹣2或x＝﹣，则|AM|＝•|2﹣|＝
•，
由AN⊥AM，可得|AN|＝•＝•，
由|AM|＝|AN|，k＞0，可得•＝•，
整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）＝0，由4k2+k+4＝0无实根，可得k＝
1，
即有△AMN的面积为|AM|2＝（•）2＝；
方法二、由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x轴对称，
由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y＝x+2，
代入椭圆方程+＝1，可得7x2+16x+4＝0，
解得x＝﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），
则△AMN的面积为××（﹣+2）＝；
（Ⅱ）直线AM的方程为y＝k（x+），代入椭圆方程，
可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2﹣3t＝0，解得x＝﹣或x＝﹣
，
即有|AM|＝•|﹣|＝•，
|AN|═•＝•，
由2|AM|＝|AN|，可得2•＝•，整理得t＝
，
由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有
＜0，
可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．
8.解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线AB，EF的方程分别为x+2y＝2，y＝kx（k＞0）．
如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，
且x1，x2满足方程（1+4k2）x2＝4，故．①
由知x0﹣x1＝6（x2﹣x0），得；
由D在AB上知x0+2kx0＝2，得．
所以，化简得24k2﹣25k+6＝0，解得或．
（Ⅱ）由题设，|BO|＝1，|AO|＝2．由（Ⅰ）知，E（x1，kx1），F（x2，
kx2），
不妨设y1＝kx1，y2＝kx2，由①得x2＞0，根据E与F关于原点对称
可知y2＝﹣y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S＝S△OBE
+S△OBF
+S△OAE
+S△OAF
＝•（﹣y1）
＝＝x2+2y2
＝＝＝，
当x2＝2y2时，上式取等号．所以S的最大值为．