圆的方程
-留侯论原文及翻译
2023年2月14日发(作者：mpag)1
圆的方程
【知识要点】
一、圆的标准方程
1、圆的定义
圆是到定点的距离等于定长的点的集合.由此我们可知：以点
(,)Cab
为圆心，以r为半径的圆的标
准方程为222()()xaybr.
2、圆的标准方程的推导
设圆心为
(,)Cab
，半径为r，点M满足的条件为PMMCr
.由两点距离公式可知，点
(,)Mxy
满足的条件为22()()xaybr
.
把上式两边平方，得：222()()xaybr
即圆的彼岸准方程为222()()xaybr.
3、圆的标准方程的特点
圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小.确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定
了圆的位置，半径确定了圆的大小.在确定圆的过程中，如果由已知条件容易求出圆心坐标和半径
或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.
4、圆的几个特殊位置的标准方程
（1）圆心在原点
(0,0)O
，半径为r的圆的标准方程为222xyr；
（2）半径为r且与x轴相切于点
(,0)a
的圆的标准方程为222()()xayrr；
（3）半径为r且与y轴相切于点
(0,)b
的圆的标准方程为222()()xrybr；
（4）半径为r且与x轴、y轴都相切的圆的标准方程为222()()xryrr.
二、圆的一般方程
1、方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件
二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件为：
①0AC；
②0B；
2
③2240DEAF
.
其中，条件①与条件②皆为二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的必要条件.因为
若二元二次方程220AxBxyCyDxEyF仅满足条件①与条件②，那么二元二次方程
220AxBxyCyDxEyF可以转化为220
DEF
xyxy
AAA
.
对上式配方可得：
22
22
2
4
()()
224
DEDEAF
xy
AAA
（i）当2240DEAF时，原方程表示一个点
(,)
22
DE
AA
；
（ii）当2240DEAF时，原方程不表示任何图形；
（iii）当2240DEAF时，原方程表示一个圆，其圆心为
(,)
22
DE
C
AA
，半径为
224
2
DEAF
r
A
.
2、圆的一般方程
二元二次方程220xyDxEyF表示圆的充要条件为：2240DEF.
对二元二次方程220xyDxEyF，配方可得：
22
22
4
()()
224
DEDEF
xy
（i）当2240DEF时，原方程表示一个点
(,)
22
DE
；
（ii）当2240DEF时，原方程不表示任何图形；
（iii）当2240DEF时，原方程表示一个圆，其圆心为
(,)
22
DE
C
，半径为
224
2
DEF
r
.
因而，当2240DEF时，我们把方程220xyDxEyF叫作圆的一般方程.
3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化
（1）圆的一般方程化为圆的标准方程：
把圆的一般方程：220xyDxEyF（注意隐含条件：2240DEF）配方可得圆的标准
方程：
22
22
4
()()
224
DEDEF
xy
；
（2）圆的标准方程化为圆的一般方程：
3
把圆的标准方程：222()()xaybr展开可得圆的一般方程：22222220xyaxbyabr.
三、点与圆的位置关系
1、平面内一点与圆的位置关系的判定
已知圆的方程为222()()xaybr，显然圆心为
(,)Cab
，半径为r，那么平面内一点
00
(,)Pxy与
圆222()()xaybr的位置关系有：
（1）点P在圆上222
00
()()xaybrPCr；
（2）点P在圆内222
00
()()xaybrPCr；
（3）点P在圆外222
00
()()xaybrPCr.
2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离
平面内一点P到圆上的点的最大距离为PCr；点P到圆上的点的最小距离为
PCr
（其中，
C
为圆的圆心，r为圆的半径）.
四、确定圆的方程的方法
确定圆的方程的重要方法是待定系数法.
1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关
于a、b、r的方程组，求出a、b、r的值，或直接求出圆心
(,)ab
及半径r.
一般步骤如下：
Step1：根据题意，设所求圆的标准方程为222()()xaybr；
Step2：根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方
程.
【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心(,)ab及半径
r，这样的话，将会大大减少计算量.一般可以利用圆心的三个几何性质：
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
②圆心在某一条弦的垂直平分线上；
③圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.
2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数.
4
在圆的一般方程220xyDxEyF中，含有三个相互独立的参数D、E、F，因此，必须具
备三个独立的条件才能通过列出关于D、E、F的方程组，求出D、E、F的值，最终确定出圆
的一般方程.
一般步骤如下：
Step1：根据题意，设所求圆的一般方程为220xyDxEyF；
Step2：根据已知条件，建立关于D、E、F的方程组；
Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方
程.
五、圆的直径式方程的求法
设
11
(,)Axy、
22
(,)Bxy是圆的某条直径的两个端点，
(,)Pxy
为圆上任意异于点A、B的一点，则
90APB，即PAPB，于是有1
PAPB
kk，而1
1
PA
yy
k
xx
，2
2
PB
yy
k
xx
，12
12
1
yyyy
xxxx
，
故有
1222
()()()()0xxxxyyyy，此即圆的直径式方程.
六、常见的圆系方程
1、过定直线与定圆的交点的圆系方程
过定直线l：
0AxByC
和定圆220xyDxEyF的交点的圆系方程为
22()0xyDxEyFaAxByC.
2、过两圆的交点的圆系方程
过两圆22
111
0xyDxEyF和22
222
0xyDxEyF的交点的圆系方程为
2222
111222
()0xyDxEyFxyDxEyF，特别地，当
1
时，该方程表示两圆公共
弦所在直线的方程.
【例题解析】
题型1圆的定义
1、若方程
222(2)20axayaxa
表示圆，则
a
_______.
解：
方程
222(2)20axayaxa
表示圆
（ⅰ）若
1a
，则原方程即为
01222xyx
，亦即
2)122yx（
，表示圆；
5
（ⅱ）若
2a
，则原方程即为
0244422xyx
，亦即
0
2
1
22xyx
)(
这里，
2
1
,0,1FED
.
由于
01201422FED
因此，方程
)(
不表示任何图形。
故
1a
题型2圆心到直线的距离
2、圆
2228130xyxy
的圆心到直线
10axy
的距离为1，则
a
_______.
解：圆
3
4
-
2228130xyxy
的标准方程为
3)4()1(22yx
，圆心为（1，4）
圆心（1，4）到直线
10axy
的距离为1
题型3圆的标准方程和一般方程
3、经过坐标
原点
和点
)1,1(P
，且圆心在直线
0132yx
上的圆的方程为_______.
解：
1
01
01
op
k
，OP中点为
)
2
1
,
2
1
(
OP的中垂线方程为
2
1
)
2
1
(1
2
1
xxy
，即
01yx
所求圆的圆心在直线
0132yx
上，而弦OP的中垂线也过圆心
联立
01
0132
yx
yx
可得
3
4
y
x
，此即所求圆的圆心为（4，-3）
又圆的半径
5)03()04(22r
故圆的方程为
25)3()4(22yx
4、经过
点
)2,3(A
，
(5,2)B
且圆心在直线
230xy
上的圆的方程为_______.
解：
2
)3(5
22
AB
k
，AB中点为
)0,4(
AB的中垂线方程为
)4(
2
1
0xy
，即
042yx
6
所求圆的圆心在直线
230xy
上，而弦AB的中垂线也过圆心
联立
042
032
yx
yx
可得
1
2
y
x
，此即所求圆的圆心为（-2，-1）
又圆的半径
10)21()3(22
2r
故圆的方程为
10)1()2(22yx
5、若圆心在
x
轴上、半径为
5
的
O
位于
y
轴左侧，且与直线
20xy
相切。则
O
的方程为
_______.
解：设圆心为
)0,(a
，由题意知，
0a
O
与直线
20xy
相切
圆心
)0,(a
到直线
20xy
的距离等于半径
于是有
55
21
02
22
a
a
，舍去
5a
故
O
的方程为
5)5(22yx
6、已知圆的半径为
10
，圆心在直
线
2yx
上，且圆被直线
yx
所截得的弦长为
42
。则圆的标
准方程为_______.
解：由于半径、半弦、弦心距构成一个直角三角形
因此弦心距
2)
2
24
()10(22d
又所求圆的圆心在直线
2yx
上
所以可设所求圆的圆心为
)2,(aa
于是有
22
11
2
22
a
aa
故所求圆的标准方程为
10)4()2(10)4()2(2222yxyx或
7、经过
(2,4)P
，
(3,1)Q
两点，且在
x
轴上所截得的弦长为6的圆的方程为_______.
解：设所求圆的方程为
022FEyDxyx
由于圆过
(2,4)P
，
(3,1)Q
两点
7
因此
02042FED
①，
0103FED
②
又圆被
x
轴所截得的弦长为6，设该弦左端点为
)0,(
1
xA
,右端点为
)0,(
2
xB
则
6
21
xx
由
0
022
y
FEyDxyx
得，
02FDxx
于是由
6
21
xx
，有
3642FD
③
由①②③得，
8,4,2FED
或
0,8,6FED
故所求圆的方程为
084222yxyx
或
08622yxyx
8、经过
)2,4(P
，
)3,1(Q
两点，且在
y
轴上所截得的弦长为
34
的圆的方程为_______.
解：设所求圆的方程为
022FEyDxyx
由于圆过
)2,4(P
，
)3,1(Q
两点
因此
02024FED
①，
0103FED
②
又圆被
y
轴所截得的弦长为
34
，设该弦上顶点为
),0(
1
yA
，下顶点为
),0(
2
yB
则
34
21
yy
由
0
022
x
FEyDxyx
得，
02FEyy
Eyy
21，
Fyy
21
于是由
34
21
yy
，有
4842FE
③
由①②③得，
12,0,2FED
或
4,8,10FED
故所求圆的方程为
012222xyx
或
0481022yxyx
题型4与圆的有关的最值问题
9、在圆
22260xyxy
内，过点
(0,1)E
的最长弦和最短弦分别为AC和BD。则四边形ABCD的
面积为_______.
解：圆
22260xyxy
，即
10)3()1(22yx
，圆心为
)3,1(F
，半径
10r
8
圆
22260xyxy
内过点
(0,1)E
的最长弦为
1022rAC
，
最短弦为
525102222
2EFrBEBD
.
故
21052102
2
1
2
1
2
1
22
BDACBEACSS
ABC
ABCD四边形
【方法总结】（ⅰ）直径是圆内最长弦；在所有过圆内某点的弦当中，垂直于过该点的直径的弦最
短。
下证：
BDAC
证明：
BE
BE
BE
BE
EFBE
BFEFBE
BEF
52
5
52
105
2
cos
22222
而
20)52()2()(222
2DEBEDEBEBD
，当且仅当“
DEBE
”时，“”成立。
这表明，当
BD
取得最小值
52
时，
DEBE
.
又
AC
是圆内过点
E
的直径
故
BDAC
（2）对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半。
10、已知实数
,xy
满足方程
22410xyx
.
（1）求
y
x
的最大值和最小值；
（2）求
xy
的最大值和最小值；
（3）求
22yx
最大值和最小值.
解：方程
22410xyx
，即
3)2(22yx
表示圆，该圆圆心为
)0,2(
，半径
3r
（1）令
k
x
y
，则
0ykx
k
x
y
当直线
0ykx
与圆
3)2(22yx
相切时，其斜率
k
取得最大值和最小值
于是有
33
)1(
02
22
k
k
k
故
3
max
x
y
，
3
min
x
y
9
（2）令
bxy
，则
0byx
当直线
0byx
与圆
3)2(22yx
相切时，其斜率
k
取得最大值和最小值
于是有
623
)1(1
02
22
b
b
故
62
max
xy
，
62
min
xy
（3）
22yx
表示圆上的点与坐标原点之间的距离的平方
由平面几何知识知，
22yx
在坐标原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值
由于坐标原点到圆心的距离为2
因此
347)32()2(22
max
22ryx
；
347)32()2(22
min
22ryx
.
【方法总结】与圆有关的最值问题，可借助图形，利用数形结合求解。一般地：
（ⅰ）形如
ax
by
的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（ⅱ）形如
byax
的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
（ⅲ）形如
22)()(byax
的最值问题，可转化为两点之间的距离的平方的最值问题。
题型5圆的参数方程的应用
11、（1）把圆的参数方程
sin53
cos54
y
x
（
为参数）化为标准方程；
（2）若实数
x
，
y
满足
04222yxyx
，求
yx
的最大值.
解：（1）由
sin53
cos54
y
x
得，
sin53
cos54
y
x
于是有
25)sin(cos25sin25cos25)3()4(222222yx
故所求圆的标准方程为
25)3()4(22yx
（2）将圆
04222yxyx
的一般方程变形为标准方程
5)2()1(22yx
于是该圆的参数方程为
sin52
cos51
y
x
（
为参数）
sin52
cos51
y
x
10
于是
sin5cos53)sin52()cos51(yx
故
yx
的最大值为
103
题型6与圆的有关的综合问题
12、曲线
C
：
1
11
22
yx
，下列说法中不正确的是（）
A.曲线
C
关于原点对称
B.曲线
C
关于直线
0yx
对称
C.曲线
C
是封闭的，且封闭图形的面积大于
2
D.曲线
C
与曲线
D
：
22yx
有四个交点，这四个交点构成的图形是正方形
解：对于A：设
),(
00
yxP
是曲线
C
：
1
11
22
yx
上任意一点
则
1
11
2
0
2
0
yx
设点
Q
为点
),(
00
yxP
关于坐标原点的对称点
则
),(
00
yxQ
点
),(
00
yxQ
也在曲线
C
：
1
11
22
yx
上
故曲线
C
关于原点对称
对于B：设
),(
00
yxP
是曲线
C
：
1
11
22
yx
上任意一点
则
1
11
2
0
2
0
yx
设点
Q
为点
),(
00
yxP
关于直线
0yx
，即
xy
的对称点
则
),(
00
xyQ
点
),(
00
xyQ
也在曲线
C
：
1
11
22
yx
上
故曲线
C
关于直线
0yx
对称
11
对于C：设
),(
00
yxP
是曲线
C
：
1
11
22
yx
上任意一点
则
1
11
2
0
2
0
yx
于是有
12
0
x
，
12
0
y
)1,(),1(
0
x
，
)1,(),1(
0
y
故曲线
C
：
1
11
22
yx
不是封闭图形（是封闭图形的话，
x
、
y
的取值范围是有限区间）
对于D：显然，曲线
C
：
1
11
22
yx
与曲线
D
：
22yx
都关于坐标原点、
x
轴、
y
轴对称，并
且它们有四个交点，分别为
)2,2(),2,2(),2,2(),2,2(
，而这四个交点恰好是一个正
方形的四个顶点
故这四个顶点构成的图形是正方形
注：证明：点
),(
00
yx
关于直线
xy
的对称点为
),(
00
xy
证：设
),(
00
yxP
，
),(nmQ
为点
),(
00
yxP
关于直线
xy
的对称点
于是0
0000
2
)()(
y
xyxy
m
，0
0000
2
)()(
x
xyxy
n
故
),(),(
00
xyQnmQ
，即点
),(
00
yxP
关于直线
xy
的对称点为
),(
00
xyQ
13、已知两点
)1,0(A
，
),2(mB
，若经过点A和点B，且与
x
轴相切的圆有且只有一个，求
m
的值及
圆的方程.
解：由题意可设所求圆的方程为
222)()(bbyax
（
)0(b
）
则由该圆过
)1,0(A
，
),2(mB
两点，有
（ⅰ）当
1m
时，方程
)(
即为
1)11(
2
1
,10442baa
此时所求圆的方程为
1)1()1(22yx
（ⅱ）当
1m
时，由方程
)(
有唯一解，有
0)4)(1(4)4(22mmm
即
0)52(2mmm
而
0522mm
，所以
0m
12
代入方程
)(
中，得
2
5
)12(
2
1
,204422baaa
此时所求圆的方程为
4
25
)
2
5
()2(22yx
故当
1m
时，所求圆的方程为
1)1()1(22yx
；当
0m
时，所求圆的方程为
4
25
)
2
5
()2(22yx
.
14、设
0,1),(2yxyyxA
，
0),(myxyxC
，若
CA
，则
m
的取值范围为
_________.
解：（法一）曲线
21xy
，
0y
，即
122yx
，
0y
表示圆心为
)0,0(
，半径
1r
的下半圆
周（不包含两个端点
)0,1(
，
)0,1(
）
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,1(
时，有
1001mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
，
0y
，即下半圆周
122yx
，
0y
相切时，
圆心
)0,0(
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
11
00
22
r
mm
d
又曲线
C
：
21xy
，
0y
与直线
l
：
0myx
有公共点
故
12m
，即
m
的取值范围为
)1,2[
（法二）对于曲线
C
：
21xy
，即下半圆周
122yx
，
0y
，
令
sin
cos
y
x
，
2
则点
)sin,(cosM
，
)2,(
是曲线
C
上的点
曲线
C
：
21xy
，
0y
与直线
l
：
0myx
有公共点
13
方程
0sincosm
在
)2,(
上有解
于是有
)
4
sin(2cossinsincos
m
又
2
于是
2
2
)
4
sin(1
故
12m
，即
m
的取值范围为
)1,2[
注：（1）当曲线
C
：
21xy
与直线
l
：
0myx
有且仅有一个公共点时，可求得
m
的取值
范围为
2)1,1[
。解法如下：
曲线
21xy
，
0y
，即
122yx
，
0y
表示圆心为
)0,0(
，半径
1r
的下半圆周（不包含两
个端点
)0,1(
，
)0,1(
）
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,1(
时，有
1001mm
当直线
l
：
0myx
过点
)0,1(
时，有
1001mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
，即下半圆周
122yx
，
0y
相切时，圆心
)0,0(
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
11
00
22
r
mm
d
又曲线
C
：
21xy
与直线
l
：
0myx
有且仅有一个公共点
故
11m
或
2m
，即
m
的取值范围为
2)1,1[
（2）当曲线
C
：
21xy
与直线
l
：
0myx
有两个公共点时，可求得
m
的取值范围为
)1,2(
。解法如下：
曲线
21xy
，
0y
，即
122yx
，
0y
表示圆心为
)0,0(
，半径
1r
的下半圆周（不包含两
个端点
)0,1(
，
)0,1(
）
14
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,1(
时，有
1001mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
，即下半圆周
122yx
，
0y
相切时，圆心
)0,0(
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
11
00
22
r
mm
d
又曲线
C
：
21xy
与直线
l
：
0myx
有两个公共点
故
12m
，即
m
的取值范围为
)1,2(
15、若直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
有公共点，则
m
的取值范围为_________.
解：（法一）曲线
C
：
21xy
，即
122yx
，
0y
表示圆心为
)0,0(C
，半径
1r
的上半圆周（包
含两个端点
)0,1(
，
)0,1(
）
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,1(
时，有
1001mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
，即上半圆周
122yx
，
0y
相切时，
圆心
)0,0(C
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
11
00
22
r
mm
d
又直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
有公共点
故
21m
，即
m
的取值范围为
]2,1[
（法二）对于曲线
C
：
21xy
，即上半圆周
122yx
，
0y
，
令
sin
cos
y
x
，
0
则点
)sin,(cosM
，
],0[
是曲线
C
上的点
15
直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
，即上半圆周
122yx
，
0y
有公共点
方程
0sincosm
在
],0[
上有解
于是有
)
4
sin(2cossinsincos
m
又
0
于是
1)
4
sin(
2
2
故
21m
，即
m
的取值范围为
]2,1[
注：（1）当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
有且仅有一个公共点时，可求得
m
的取值范
围为
2)1,1[
。解法如下：
曲线
C
：
21xy
，即
122yx
，
0y
表示圆心为
)0,0(C
，半径
1r
的上半圆周（包含两个端
点
)0,1(
，
)0,1(
）
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,1(
时，有
1001mm
当直线
l
：
0myx
过点
)0,1(
时，有
1001mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
，即上半圆周
122yx
，
0y
相切时，
圆心
)0,0(C
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
11
00
22
r
mm
d
又直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
有且仅有一个公共点
故
11m
或
2m
，即
m
的取值范围为
2)1,1[
（2）当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
有两个公共点时，可求得
m
的取值范围为
)2,1[
。
解法如下：
曲线
C
：
21xy
，即
122yx
，
0y
表示圆心为
)0,0(C
，半径
1r
的上半圆周（包含两个端
16
点
)0,1(
，
)0,1(
）
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,1(
时，有
1001mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
，即上半圆周
122yx
，
0y
相切时，
圆心
)0,0(C
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
11
00
22
r
mm
d
又直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
21xy
有两个公共点
故
21m
，即
m
的取值范围为
)2,1[
16、已知曲线
C
：
xxy22
与直线
l
：
0myx
有两个交点，则
m
的取值范围为_________.
解：曲线
C
：
xxy22
，即
1)1(22yx
，
0y
表示圆心为
)0,1(C
，半径
1r
的上半圆周
（包含两个端点
)0,2(
，
)0,0(
）
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,0(
时，有
0000mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
xxy22
，即上半圆周
1)1(22yx
，
0y
相切时，圆心
)0,1(C
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
1
11
01
22
r
mm
d
又曲线
C
：
xxy22
与直线
l
：
0myx
有两个交点
故
120m
，即
m
的取值范围为
)12,0[
注：（1）当曲线
C
：
xxy22
与直线
l
：
0myx
有交点时，可求得
m
的取值范围为
]12,2[
。
解法如下：
（法一）曲线
C
：
xxy22
，即
1)1(22yx
，
0y
表示圆心为
)0,1(C
，半径
1r
的上半
17
圆周（包含两个端点
)0,2(
，
)0,0(
）
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,2(
时，有
2002mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
xxy22
，即上半圆周
1)1(22yx
，
0y
相切时，圆心
)0,1(C
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
1
11
01
22
r
mm
d
又曲线
C
：
xxy22
与直线
l
：
0myx
有交点
故
122m
，即
m
的取值范围为
]12,2[
（法二）对于曲线
C
：
xxy22
，即上半圆周
1)1(22yx
，
0y
，
令
sin
cos1
y
x
，即
sin
1cos
y
x
，
0
则点
)sin,1(cosM
，
],0[
是曲线
C
上的点
直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
xxy22
，即上半圆周
1)1(22yx
，
0y
有公共点
方程
0sin1cosm
在
],0[
上有解
于是有
1)
4
sin(21cossinsin1cos
m
又
0
于是
1)
4
sin(
2
2
故
122m
，即
m
的取值范围为
]12,2[
（2）当曲线
C
：
xxy22
与直线
l
：
0myx
有且仅有一个交点时，可求得
m
的取值范围为
12)0,1[
。解法如下：
曲线
C
：
xxy22
，即
1)1(22yx
，
0y
表示圆心为
)0,1(C
，半径
1r
的上半圆周（包
18
含两个端点
)0,2(
，
)0,0(
）
直线
l
：
0myx
，即
mxy
，可以看作是由直线
xy
上下平移
m
个单位得到的（具体而
言，当
0m
时，由直线
xy
向上平移
m
个单位得到；当
0m
时，由直线
xy
向下平移
m
个
单位得到）
当直线
l
：
0myx
过点
)0,2(
时，有
2002mm
当直线
l
：
0myx
过点
)0,0(
时，有
0000mm
当直线
l
：
0myx
与曲线
C
：
xxy22
，即上半圆周
1)1(22yx
，
0y
相切时，圆心
)0,1(C
到直线
l
：
0myx
的距离
1
2
1
11
01
22
r
mm
d
又曲线
C
：
xxy22
与直线
l
：
0myx
有且仅有一个交点
故
02m
并且
12m
，即
m
的取值范围为
12)0,2[
17、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点
)0,2(M
，AB边所在的直线方程为
063yx
，点
)1,1(T
在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD的外接圆的方程.
（3）若动圆
P
过点
)0,2(N
，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆
P
的圆心的轨迹方程.
解：（1）由AB边所在的直线方程为
063yx
，且
ABAD
，有
31
3
1
ADAD
kk
由点
)1,1(T
在AD边所在的直线上，可得AD边所在直线的方程为
33)]1([31xxy
，此即
023yx
（2）
矩形ABCD的两条对角线相交于点
)0,2(M
点
)0,2(M
为矩形ABCD的外接圆的圆心
联立
023
063
yx
yx
，得
2
0
y
x
，即点A的坐标为
)2,0(
于是所求圆的半径
22)]2(0[)02(22AMr
19
故矩形ABCD的外接圆的方程为
8)2(22yx
（3）
动圆
P
过点
)0,2(N
，且与矩形ABCD的外接圆外切
动圆
P
的半径等于
PN
，且
22PNPM
（注：点
P
必在
x
轴左侧）
由此有
22PNPM
，而
224MN
所以点
P
的轨迹是以
)0,2(N
、
)0,2(M
为左、右焦点的双曲线的左支，其中
222a
，
42c2a
，
2c
于是
2222acb
故动圆
P
的圆心的轨迹方程为
1
22
22
yx
（
2x
）
18、设圆C与两圆
4)5(22yx
，
4)5(22yx
中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹
L
的方程；
（2）已知点
)5
5
4
,5
5
3
(M
，
)0,5(F
，且
P
为圆心轨迹L上一个动点，求
FPMP
的最大值及此
时点
P
的坐标.
解：（1）设圆C的圆心坐标为
),(yxC
，半径为
r
圆
4)5(22yx
的圆心为
)0,5(
1
F
，半径为2；
圆
4)5(22yx
的圆心为
)0,5(
2
F
，半径为2
由圆C与两圆
4)5(22yx
，
4)5(22yx
中的一个内切，另一个外切，
有
2
2
2
1
rCF
rCF
或
2
2
2
1
rCF
rCF
于是有
4
21
CFCF
，而
452
21
FF
所以圆C的圆心轨迹
L
是以
)0,5(
1
F
，
)0,5(
2
F
为焦点的双曲线，其中
42a
，
522c
，即
2a
，
5c
145222acb
故圆C的圆心轨迹
L
的方程为
1
4
2
2
y
x
（2）在
MPF
中，
MFFPMP
；
20
当
PFM、、
三点共线，且点
P
在
MF
的延长线上时，
FPMP
取得最大值
MF
，
且
2
5
16
5
4
)5
5
4
()5
5
2
()05
5
4
()55
5
3
(2222MF
，
即
2
max
FPMP
，此时直线
MF
的方程为
522)5(
55
5
3
05
5
4
xxy
联立
522
1
4
2
2
xy
y
x
得
084532152xx
解得：
5
5
6
P
x
或
5
15
14
P
x
（舍去）
代入
522xy
中得，
5
5
2
525
5
12
P
y
于是点
P
的坐标为
)5
5
2
,5
5
6
(P
故当
FPMP
取得最大值2时，点
P
的坐标为
)5
5
2
,5
5
6
(P
.