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鲁宾逊
王 世 强
(北京师范大学)
鲁宾逊，A．(Robinson，Abraham) 1918年10月6，日生于德国下百里酉亚州瓦尔登堡城(现属波兰，改名为瓦乌布日赫)；1974年4月11日卒于美国康涅狄格州纽黑文城。数学，数理逻辑
鲁宾逊是犹太人，父亲是一位哲学博士，母亲是教师。鲁滨逊有一个长他两岁的哥哥。父亲在他出生前不久去世。 ，
鲁宾逊跟着母亲在外祖父家里度过童年。 外祖父也是教师，是犹太人油会中的—位文化领袖，藏书很多。鲁宾逊有一个叔叔，是维也纳的著名医生，常把他和哥哥接去度夏，这使小鲁宾逊开始接触科学并受到叔叔在品德上的熏陶。
1933年希特勒上台，开始排犹，母亲带着两个儿子逃到巴勒斯坦。鲁宾逊和哥哥在那里上中学和大学。鲁宾逊在小学时就被老师看作天才，并对他对待问题的严肃认真感到惊异。到中学时，鲁宾逊已经对数学表现出特殊的爱好。他于1936年进入耶路撒冷的希伯来大学学习，他和哥哥都兼做教师以维持全家生活。鲁宾逊的文科课程也学得很好。但是数学却征服了他的心灵，他被同学们看作小先生。集合论学者A。弗伦克尔(Fraenkel)(他曾把E．F.策梅罗(Zermelo)的集合论公理改进为现今流行的ZF公理体系)的课程使他对逻辑和集合论产生了浓厚兴趣。到1938年，弗伦克尔已经说，他简直没有更多东西可以教给鲁宾逊了。
鲁宾逊不到20岁就开始写论文。他的第一篇论文由弗伦克尔介绍到《符号逻辑杂志》(The Journal of Symb01ic Logi)发表。
在他的老师中还有代数学者J．勒维茨基(Levitzki)，后者和Ch．霍普金斯(Hopkins)在1938年前后各自独立地证明了诣零阿廷环的幂零性。令人惊异的是，人们在鲁滨逊的遗稿中发现了一份从未发表过的1939年的校样，对这个重要定理给出了一个不到1页的证明．
1939年他去法国巴黎大学继续学习，但不久就爆发了第二次世界大战。德军很快侵入巴黎，鲁宾逊逃难到了英国。他在那里加入C．戴高乐(de GauIle)领导的自由法国运动的y一支空军连队，不久又转入英国空军，他被任命为科学官员到法恩伯勒的皇家空军基地服务。
在空军中，他勤奋学习航空工程，并结合实际任务进行朋数学和机翼理论的研究。他具有很强的物理洞察力，又能创造性地运用数学工具，很快施成为一位优秀的应用数学家。
他在休息日常去伦敦游览，结识了一位来自维也纳的姑娘叹R．科佩尔（Kopel），她是一位美术家。他们于1944年结婚。
战后，在英国克兰菲尔镕建立了航空学院，鲁宾逊独聘去作教师。不久，希伯来大学补授予他科学硕土学位。
他继续从事机翼理论的研究，此外还常去伦敦大学参加逻辑讨论斑。到1949年他写出了“代数系统的数学”（The metama—thematics of a1gebraic systems)一文，并以此而获得伦敦大学哲学博土学位。也是由于此文，1950年他被国际数学家大会邀请作报告。此后，他转向逻辑研究，但仍继续发表航空学的论文。1950年他在克兰菲尔德航空学院被任命为系主任，并开始与他以前的学生J．A.劳尔曼(Laurmann)合写一本机男理论的书。
1951年，鲁宾逊去加拿大多伦多大学任应用数学系副教授。他除了教学及应用数学研究外，更忙于逻辑方向的研究。他的博土论文于1951年出版(改名为0n the metamathematics
of a1gebra)。他于1955年和1956年又相继出版了两本书。在应用数学方面也发表了一些文章。1956年，他成为应用数学系的正教授和系主任。同一年，分析数学家w．A．J.卢森堡(Luxemburg)教
授来到多伦多大学，他对鲁宾逊的广博数学知识感到掠讶此后就成了鲁宾逊的好友和崇拜者。在这几年中，鲁宾逊还到很多地方去作过学术讲演．
1957年，希伯来大学聘请他任讲座教授(接替他的老师弗伦克尔)。在去以色列途中，他在伦敦大学又被授予科学博出学位，以表彰他的突出成就。在希伯来大学，鲁宾逊不但投身于学校事务，并且关心全国教育的发展。他的办公室对每个人都开放，他的工作日几乎全部在那里度过。他对阿拉伯学生也一视同仁地关心和辅导，此外历尽力敦促政府发展阿拉伯区的教育。
在耶路撒冷期间，鲁宾逊发表了几篇关于微分优数的论文，他还写了关于中等数学教育的文章，关于数论及方程论的机深化证明的论文以及关于非阅基米德函数论的论文。后者是他对非标准分沂的前驱工作。他在这一时期最基本的研究是在1960—1961年到普林斯顿大学访问时所作关于非标准分析的工作。另外他还写了《模型沦与代数的元数学引论》(Introduction to model theory and the metamathematics of algebra，1963)一书。
1962年，鲁宾逊到美国加利福尼亚大学洛杉矾分校（UCLA)任教授。 这时他更集中力量研究非标准模型对算术及分析的应用。另外，他还被聘为国际商用机器公司(IBM)的顾问，写了一些有关计算机的文章。他在非标准分析方面做了大量研究工作，并且得到了用此方法解决标准分析(即通常的分析数学)中新问题的重要结果。 1965年，他写出了《非标准分析》(Non—standald analysis，1966)这一奠基性的专著，鲁宾逊对于非标准分析的发现和建立十分兴奋。他说，弗伦克尔认为人们到三十岁以后数学创造力就开始衰退了，而他却给这个命题提供了一个反例。
鲁宾逊被公认是加利福尼亚大学洛杉矾分校数学系的杰出教授。该校吸引了不少有才能的年轻数学家，其中有些逻辑数学家就是披他吸引来的。由于他宽广的视野和思维以及突出的学术造诣和品德，他被邀参加加州大学的全校教育政策委员会，并于1964于1965年担任该会的主席，参与了推动加州大学的发展及一些新分
校的建立等各项领导工作。
1967年秋，他接受了耶鲁大学的热情邀请，到该校住数学系教授。在那里，他很快就成为一群较年轻逻辑学者的良师益友。很多新毕业的博士来到耶鲁跟他作傅土后研究，其中有K.J.巴尔威斯(Barwise)，P.埃克洛夫(Eklof)，E．费希尔(Fisher)；P．凯勒曼(Kelemen)，M．莱尔曼(Lerman)，J·施默尔(Sclhmerl)，S．辛普森(Simpson)，D.萨泣西诺(Saracino)，V．维斯芬宁(Weispfenning)等(这些人都是现在国际逻辑界的知名学者)。一些成名的逻辑学者如A.莱维(1evy)，G.萨克斯(Sacks)，G．萨巴(Sabbagh)等也高兴地前来访问。很多研究生找他作导师。鲁宾逊来者不拒，热心地给每人以关照和帮助。 学校为了减轻他过重的负担，经过多方物色和鲁宾逊本人的控荐，又从阿伯丁谓来了模型论学者人麦克英泰尔(Macintyrc)作他的副手。鲁宾逊对麦克英泰尔的到来十分高兴，而麦克英泰尔也认为这对他自己后来的发展有决定性影响。麦克英泰尔和耶鲁的同事们都认为，正是鲁宾逊的影响使得当时年轻的逻辑学者和研究生们都把到耶兽数学系去看作宝贵的机会。
在 耶鲁期间，他发表了近40篇论文和著作，其中有一些是与其他领域的学者们合写的，后者都把鲁宾逊看作能受教益的合作者，把他的非标准方法看作挑战性的新方法。这一期间，通过他的大量科研成果和在世界各地的讲演，以及年轻逻辑学者们的追随和非际准方法在各个数学领域中的运用，使鲁宾逊对逻辑界和数学界的影响达到了一生的顶峰。
他被选为符号逻辑学协会的主席。其他荣誉也纷纷到来。在1967年的第一届国际非标准分析会议上，他是中心人物。1970年他第二次应邀在国际数学家大会作报告。1971年他被耶鲁大学授予“斯特林(Sterling)教授”的荣誉称号。他被邀去各地作荣誉讲演。1972年，他被选为美国文理科学院院土。1973年春，他去普林斯顿高级研究院访问，在那里与他所最崇敬的逻辑学家K．哥德尔 (Godel)一起工作，哥德尔对他也极为敬重。不久，荷兰数学会
授予他布劳韦尔奖章。 1974年，他被选为美国国家科学院院土。这一年，他又第三次被邀在国际数学家大会作报告，但由于患病去世而未能实现。
1973年秋，他开始感到腹痛，但继续照常工作。后来不得不去检查，发现胰脏癌症已到晚期，他头脑清醒地对待这一剧变，坚持不要人们为他采取任何特殊的医疗措施。他靠烈性麻醉剂止痛而坚持讲课。病痛和药物迫使他要费很大力气才能集中精神，但他仍能讲得很生动，并能讲出他自己在数学发现中的创造性思维。直到病危时，他还努力集中精神听取他的最后一个研究生（P．M．温克勒(Winkler))的论文报告并进行指导和鼓励。
鲁宾逊于1974年4月11日下午与世长辞，这肘他还不到56周岁。
他一生写了10本书(其中有3本是与人合写，有1本是与卢森堡合编)，约140篇论文(其中约30篇是与人合写)。其中除了以上提到的各方向外，还有不少纯分析的及一些纯代数的论文。
他共培养了24位博士(有4位是与别人合作培养)，其中有不少人后来成为国际上知名的学者，如A．莱维（Levy)，A．R．伯恩斯坦(Bernstein)，G．L．契尔林(Cherlin)，J．希施费尔德(Hirschfeld)，W．H．惠勒(WheeIer)等。这不包括受到指导的博士后学者。其他学生和受到教益的学者不计其数。
他被埋葬在职路撒冷郊外的一座山边，坟墓面临一条翠绿的山谷，翠谷的对岸是他所最热爱的土地上起伏的山丘。
他在学术上的贡献有以下几方面。
应 用 数 学
鲁宾逊早年投身于应用数学及航空学的研究，是由于历史形势的影响。这对他个人说虽然是偶然的原因，但胡是—种很有益的偶然。鲁宾逊不仅有力地推动了航空学的发展，并且这种应用研究的实践对于他后来的纯数学研究也有很大的助益。不少人认
为，鲁宾逊作为应用数学家而发展了的观点、思维方式及洞察力，后来成为他在纯粹数学中所有主要研究工作的特征。 他继承了18，19世纪以来那些数学大家们的传统，对他们来说，纯粹数学与应用数学的区分几乎是不存在的。对鲁宾逊来说，现实世界中的问题不仅是数学家应该关心的对象，并且也是发展数学抽象的源泉和土壤。
由于战争任务的需要，鲁宾逊对应用数学的研究主要集中在机翼理论及应力波的传播方面。 他对机翼理论的研究，除了开始时—些工作外，后来主要集中在超音速机翼的特性方面。这是由于在战争后期喷气发动机的发明使超音速飞行的可能性及有关问题日益有了实践的意义。以下简述他的部分成果。
超音速流的空气动力理论，当线性化为一个均匀流的小扰动问题后，出现一种双曲型微分方程，它与流体动力学中常见的椭圆型拉普拉斯方程地俭相当。为了解这种双曲方程，鲁宾逊在一篇论文中提出一种伪正交坐标系”，并用它解决了其前线后掠角大于马赫角(亚音速前缘)的三角机翼问题。他并指出，这种坐标法也开辟了对一大类重要的三角钒翼求解析解的前景。后人在这一方向继续作了研究。
在另一篇论文中，鲁宾逊采用J．阿达码(Hadamard)关于无限积分的有限部分的思想，解决了当利用点源与旋涡分布方法来解线性化超音速气流问题时由于奇点的特性所带来的困难。在这一方法的发展中，他起了先躯者的作用。
1953年，鲁宾逊与劳尔曼合写出内容丰富的专著《机翼理论》(wing theory，1956)。其中反映了鲁宾逊在这一领域的多方面贡献。
鲁宾逊对于结构中波的传播的研究，也与他当时的任务有关。例如，为了深入了解一次飞船事故，他在一篇论文中研究了梁中的激波传输，阐明了能导致高的局部应力因而使结构破坏的物理因素。还有的论文研究了当特性可变的粱受到脉冲式的或集中的负荷时的传输应力。 有的研穷具有可变性质的弹性介质内激波的传
掘， 有的研究薄片的弹性参数与厚度的变化对于被传播虽的影响，等等。
虽然由于航空学的进步使得鲁宾逊的这些早期工作(正象银多其他应用数学家的早期工作一样)已经被汇集到专家们的“不自觉”意识之中，因而在当前航空学的发展中其影响已不明显。“特别是由于计算机的发展使入们已能处理更复杂得多的数学模型并使许多计算有更高的精度。但是，在鲁宾逊的研究工作中所显示的物理洞家力及分析技巧却是永远值得科学家们仿效的，这不是任何计算机所能取代的。在这一意义上，他在应用数学方面的不少先驱性论文永远是值得人们借鉴的。
模型论及其代数应用
鲁宾逊是模型论的主要奠基人之一。
模型论是数理逻辑的一个分支，是研究形式理论（指形式语言中的语句集，也即形式化了的公理体系)与其模型(指适合这些语句集的数学结构)之间的关系的理论。在数学中，自从19世纪发现非欧几何之后，人们开始认识到一种公理体系可以有多种模型。后来在数理逻辑中提出了形式化方法(数理逻辑的研究对象
是推理规律。由于将推理规律作为数学研究的对象，所以需要将逻辑推理及有关概念精确化。形式化方法就是通过把研究对象反映为形式系统来实现上述的精确化。这样也有助于避免把研究对象(待研究的内容)与研究方法(通常的非形式化数学推理中已承认的内容)相混淆。 这是数理逻辑不同于其他数学分支的一个必要的特点)，就有条件对公理体系与其模型的关系进行含义更精确、内容更深广的研究。本世纪的年代前后，在数理逻辑中出现了模型论性质的勒文海姆(L6wenheim)—斯克朗(Skolem)定理。到30年代，出现了哥德尔关于一阶谓词演算的推演完备性定理及A.H．马尔采夫(Ma肋3e8)的推广，A．塔斯基(Tarski)关于形式语言的模型的一般性性研究。及Th.斯克朗引入的算数模型的超幂构
作(这是最早的非标准模型)。到1950年前后，随着塔斯压与兽宾逊在国际数学家大会的报告，L. A．亨金(Henkin)对于完备性定理新证法的发表和鲁宾逊博士论文的出版，模型论的研究更受到很大推动并被公认为形成了独立的分支。后来，鲁宾逊又对模型论作出了一系列重要员献，因而他被公认是模型论中比塔斯基开始时间较晚而各自独立作出重要贡献的两个主要奠基人之一。
在鲁宾逊的博土论文中，讨论了形式理论与其模型之间的关系，也包括了对代数的应用。例如其中有这样的(模型沦性质的)“转移”定理：“如果一个能用个体变元及十、·、＝等持号及‘与’、‘或’、‘非’、‘存在一个体’、‘对一切个体’等概念表示的语句x对一切特征数为o的域都成立，则x对一切特征数P＞Po的域也成立，其中Po是一个与x有关的正整数。”(象这样的定理，是对于代数学者根据经验所常遇到的一种现象给出确切的陈述及严格的证明。代数学者注往是根据在特征数O时对x的证法来联想特征数P时的情况，而这里，则是从另一不同的途径来得到证明的。)叉如，在这篇论文中，作为基本工具之一，他提出
了模型的“图象”这一概念并讨论了它的作用。图象是代数中运算表概念朗推广和精确化，利用它可以方便池讨论模型间有关嵌入的问题。图象方法后来被模型论学者们广泛使用。
鲁宾逊在1955年引入了形式理论的“模型完备性”这一重要械念。在他的专著《完备理论》(C。mplete
theories，1956)中，鲁宾逊对模型完备性从理论到实例部作了不少研究。首先，他对模型完备性给出一些等价的条件，从中可以看出，模型完备性既可看是数理逻辑中重要的“量词可消去性”概念的一种抽象形式，又可看作是代数中关于代数闭域的希尔伯特零点定理的一种推广。(“量词消去”是数理逻辑中解决某些判定问题的有用方法，可以作为机械化证明的根据。)而模型完备性的重要性在于：它不但有很强的一般理论，又有不少常见确实例。鲁宾逊在上书中证明了，代数闭域理论、实闭域理论以及某些可换群、赋值域、算子群的理论都是模型完备的。另外，作为这一概念应用的例，他对希尔伯特零
点定理给出一个模型论的新证法。在1955年的另一论文中，他又利用这一概念给出了希尔伯特第17问题的另一解法，它推广和改进了阿廷在1927年对此间题的解答。
上段所说的结果并不是凭空得来的。鲁宾逊的很多论证表明，他正是通过从模型论观点深入分析代数实例特别是代数闭域的性质而提炼出模型完备性这一概念的。这正如前面所说的，是他作为应用数学家所发展了的观点、思维方式及洞察力的继续和发扬。这是理论和实际的一种很好的结合。这一特点在他的其他研究工作中也表现得很明显。
作为模型完备性研究的一种发展，鲁宾逊在1958年提出了形式理论的“模型完备化”概念。一个理论T的模型完备化了T’，是一个与T有特定联系的模型完备理论。它也是由鲁宾逊通过考察域的理论与代数闭域理论的关系等数学现象而抽象出来的。鲁宾逊对此概念作了研究并应用于特征数0的微分域理论，从而发现了前所未知的特征数0的微分闭域概念。后来别人又在此基础上对微分域的研究取得不少进展。 又如， J.阿克斯(Ax)，S.科琴(Kochen)和IO．H.叶尔绍夫(EpIHOB)在解诀阿廷猜想创过程中证明了，对于非阿基米德离散赋值域的理论而言，亨泽尔域的理论是它的模型完备化。近年来，在代数方面又发现了一些模型完备化的新例子。
1970年，鲁宾逊参照公理集合论中P．J．科恩(Cohen)在1963年证明连续统假设的独立性时所发明的力迫方法，提出了“模型论力迫法”(又分有限力迫法和无限力迫法两种)，这是两种构作模型的新方法。他讨论了这些力迫法的基本性质，并建立了由这些力迫法所得助模型与模型完备化概念的联系。他的这一工作引起模型论学者们很大兴趣并导致了很多后继的研究相对代数的应用。例如麦克英泰尔(Macintyrc)，S．台拉赫(Shelah)等人在群论、除环理论方面得到不少结果，包括作出很多互不初等等价的代数封闭群，得出有限生成的群能够递归结出定义使其字问题递归给出定义使其字问题递归可解的充分必要条件，以及关于万有局部有限群的结果，关于代数
封闭除环的结果，等等。
鲁宾逊在1973年的一篇介绍性文章“为代数作柜架的模型论”(Mode theory as a framework for a1gebra)中，又谈到了上述的基本内容，他以大半篇幅在四个醒目的小节标题“什么是代数‘闭域？”，“平方和”，
“再谈，什么是代数闭域?”，“再谈平方和”之下从具体到抽象地介绍模型完备性、模型完备化等概念和理论以及从抽象又回到更多新实例的应用。这又一次突出地表现了他的理论结合实际的数学观点。
非标准分析
鲁宾逊的最广为人知的贡献是发明了非标准分析。
I.牛顿(Newton)和G．w．莱布尼茨(Leibniz)在发明微积分时使用了直观的无限小概念，后因其不严格而逐渐被A．L．柯西(Cauchy)及K．T．W．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的g—6方法所取代。直到本世纪50年代，由于模型论的发展，才为无限小概念的严格处理准备了客观条件。 1960年，鲁宾逊提出了非标准分析的思想和方法。
鲁宾逊用模型论方法给出了一类“非标准实数系”。每个非标准实数系R*都是实数有序域R的扩域，在其中合有很多无限大元(指绝对值大于一切实数的元)和无限小元(指绝对值大于0而小于一切正实数的元).并且，R*与R有十分密切的联系，因而它的作用优越于R的通常的非阿基米德扩域(后者也合有无限大元和无刚、元入这主要表现在：一方面，R上每一函数都在R*中有很自然的(唯一的)延伸，对于R的子集及R上的关系也是如此；另一方面，对于一类很广泛的语句而言，R*与R适合其中完全相同的语句，因而在此范围内R*与R的性质可以互推。这样，人们就地借助于R*及其中的无限小元和无限大元来方便地讨论R上的各种分析数学问题。这就是非标准分析最基本的根据和思想。鲁宾逊提出这种思想并按此思想以一种全新的方式重建了微积分，在
其中系统地运用无限小元和无限大元，既严格又直观。
鲁宾逊随后又把这种方法运用到实函数论、复函数论、没函分济、拓扑群和李群以及数学物理等很多领域，他通过大量示范性的工作来说明用非标准分析方法能够重建各支分析数学的内容。
不但如此，用非标准分济方法还能得到标准分析中的新结果，这方面最早的例子(现在这样的例子已经很多)是由鲁宾逊和他的学生A．R．伯思斯坦（Bernstein)给出的。 他们在1966年的一篇论文中证明了K．T．史密斯(Smith)和P．R．哈尔莫斯(Halmos)关于希尔伯特空间上“每个平方紧致算于都具有非平凡的闭不变子空间”的猜想。虽然哈尔莫斯随后也在他们证法的启发下给出了一个标准分沂的证明，但这个例子却明*显地说明了非标准分沂方法的有效性：它的功能不只是对已有结果的重进和证法的化简，它也是导致新发现的工具。
鲁宾逊还把非标准分析的思想应用于优数数论方面，写了几篇有关的文章。他于1973年在西德海德堡大学讲到下述思想：代数函数域可以保人基域的非标准扩域或后者的有限扩域中，从而可以利用非标准代数数论来研究代数函数论。海德堡的开P.洛克特(Roquette)教授对此十分重视，认为对不定方程问题的理解提供了新观点。他们随即开始了为期数周的合作研究。后来鲁宾逊写出一篇论文的初稿，但因他已病重并于不久后逝世，此文就由贸、克特继续完成，于1975年发表。在此文中，作为实践上述思想的一个例子，他们给出了不定方程理论中西格尔(Siegel)—马勒(Mahler)定理的一个新的证明。
此外，鲁宾潜在生前最后几年里还常和耶鲁大学的D ．J ．布朗(8r。wn)讨论数理经济学问题。他们把非标准整数引进经济模型中，得到—些新结果。
1973年，鲁宾逊在作为符号逻辑学协会退职主席的讲演中，对于如何用非标准分析方法得到标准分析的新成果提出了指导性的建议：在非标准模型中，不能只考虑“内”概念(粗略地说“就是其性质可以与标准模型互相转移的概念)，而要把内概念和“外”概
念结合起来考虑。后来非标准分析的发展明显地证实了他的这一深刻见解的正确性。
非标准分析的出现，引起很多数学家的注意和重视。不少人追随鲁宾逊之后，在非标准分析方法的广泛应用以及非标准概念的通俗化方面作了很多工作，出版了不少论文、文集和教科书．这方面的研究现在正被越来越多的人们继续着，得到很多新的发展和应用，例如在测度论、巴拿赫空间理论、渐近分析、随机微分方程理论等方面。在我国，也有人在广义函数理论方面作了很好的工作．
对于非标准分析的未来展望，哥德尔曾说过下面的话：“非标准分析不仅常常可以把初等定理的证明，而且也能够将一些深刻结果的证明大大地加以简化。”“我们有充分的理由相信，以这种或那种形式表示的非标准分析，格成为未来的分析学。一个理由是刚才提到的简化证明的问题，因为简化将有助于新的发现。另一个甚至更加令人信服的理由是： 算术从整数开始进而通过有理数点数、无理数摄等报数系扩大。但是，在实数之后，下一个十分自然的步骤，即引入无限小，竟被完全忽略了。我认为，在未来的世纪里，人们将会把这看作是数学发展史上的一件大怪事，就是在发明了微积分300年之后，第一个精确的无限小理论才发展起来。”
结 束 语
鲁宾逊不幸早逝，对于世界数学界是一重大损失，很多人感到震惊和惋惜。人们一方面坏念他，一方面学习他相继承他，把他所开创的研究继续推向前进。 1975年，在西德出版了纪念他的论文集（模型论与代数》(Model theory and a1gebfra)。 同年在耶鲁大学举行了纪念他的学术会议，会议论文在1976年的《以色列数学杂志》、(1srael Journal of Mathematics)专刊发表。1976年的（伦敦数学会公报》(Bu11etin of
London Mathematics Society)
也发表了纪念他的文章。 1979年，耶鲁大学出版了三卷《人鲁宾逊论文选集》(Selected papers of Abraham
Robinson)，其中收进了他的论文90余篇，共1500多页，另外还有他的传记和介绍他各方面贡献的文章。近年来，在模型论和非标准分析方面，后人沿着他所开创的方向继续研究和发展的论文、文集和专著更是层出不穷。
纵观鲁宾逊一生的研究工作，他从应用数学研究开始，后来则是把主要精力转向逻辑研究及其对数学的应用。无论是前者还是后者，都始终贯串着他的治学特点，那就是：为解决实际问题而抽象到理论并发展新的理论，而通过正确抽象所发展的理论又能回到并解决更多的实际问题。
他在1973年的符号逻辑学协会讲演中，列举了很多数学课题建议逻辑学者们去研究，在这一讲演的开始，他又一次明确地谈到他的治学思想。他说，作为一个逻辑学者，他多年来主要致力于沿着这样的路线去对待数学，就是： “用(逻辑学者)自己的特征工具——形式语言，符号和实体之间的明确关系及严格地被表达和被使用的控演规则一来寻求对于数学中多种多样的结构、方法、理论和定理的更好的理解。”为此，就应该“采取象那样的物理学家或心理学家的态度，就是，他(不论其哲学观点如何)意识到是在历究外部世界的现象，其中的规律不能由他任意地赋予”。
正是由于他的这一高度自觉的正确治学思想，使他经过披荆斩棘的努力，在得到对于数学更好的理解的基础上也为逻辑对数学的应用开辟了意义深远的新途径，并导致了众多的具体成果。而后人沿着这样的思想和途径走下去，还将继续导致更多的成果。
让我们再次引用哥德尔的话来作为本文的结束：鲁宾逊是“唯一的这样一位数理逻辑学家，他在使逻辑科学对数学奏效方面作出了远比别人多的成就。我确信，他的名字将逐世纪地被数学家们记亿着”。
