物理选修3-1《静电场》专题讲座

2024年3月13日发(作者：)

物理选修3-1《静电场》专题讲座

谷城一中 高二物理组王明汉

一、电场基础知识学习的总思路

描述电场性质的物理量

电场强度：描述电场力学性质的物理量

电势（电势差）：描述电场能的性质的物理量

+q

电场

电场力：电场对放入其中的电荷的作用力

描述放入电场中的电荷的物理量

电势能：电场给予电荷的能量

试探电荷在电场中某点的电势能与电荷量的比值跟试探电荷无关

等势面

电场中两点电势之差叫电势差

电势

UAB=ФA-ФB

Ф=EP/q

电势能

和重力与重

力势能类比

电场力做功与电势差关系

电势差

E数值等于沿场强方向单位距离的电势差

E=U/d

WAB=qUAB

WAB=EPA-EpB

电场力的功 电场强度 电场线

电场力做功与路径无关

电场力

试探电荷在场中某点受的电场力与电荷量的比值跟试探电荷无关

E=F/q

二、电场——力的性质

1、点电荷：带点的质点，是一种理想化的物理模型。

2、库仑定律：①内容（略）；②表达式：Fkq1q2922k9.010Nm/C，其中静电力常量；③r2适用条件：真空中的点电荷。

3、电场：带电体周围客观存在的一种物质，它是电荷相互作用的媒体，具有力和能的性质。

4、电场强度：①物理意义：描述电场强弱和方向的物理量；②定义：放入电场中某点的点电荷所受电场力F跟它的电荷量q的比值；③定义式：E向，是矢量。

5、关于场强的三个公式：

1 / 12

F，单位N/C或V/m；④方向：正电荷在该点的受力方q

EF（定义式，适用于任何电场，场强E与检验电荷受力F、电量q无关）；

qEkQ（点电荷产生电场的决定式，E与Q成正比）；

2rU。

E（电场强度与电势差间的关系，适用于匀强电场，d是两点间距离在场强方向上的投影）d6、场强叠加原理：遵从矢量的平行四边形法则或三角形法则。

7、电场力：F=qE 正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反。

8、电场线：①判断场强方向；描述场强的大小；描述电势的变化（沿着电场线方向电势逐渐降低）；②电场线是为了形象的描述电场而假想的、实际并不存；③熟悉正、负点电荷、匀强电场、等量异种电荷、等量同种电荷的电场线分布图（略）。

【例题1】如图所示，两个完全相同的绝缘金属壳a、b的半径为R，质量为m，两球心之间的距离为l=3R。若使它们带上等量的异种电荷，电荷为q，那么两球之间的万有引力F引，库仑力F库分别为：A． B．

C． D．

解析：万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，而均匀的球体可将其质量集中在球心考虑；库

仑定律适用于点电荷，两球壳带等量异种电荷．但由于电荷间的相互作用力使其电荷集中在两球壳

的内侧，它们之间距离小于l，故此时的库仑力大于电荷集中在球心时的库仑力．

答案：D

【例题2】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电量为q，球2的带电量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．由此可知( )

A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6

2nq

解析：根据库仑定律，球3未与球1、球2接触前，球1、2间的库仑力为：F＝k2，

r

nq三个金属小球相同，接触后电量均分，球3与球2接触后，球2和球3的带电量q2＝q3＝，

2

nqq＋

2n＋2q球3再与球1接触后，球1的带电量q＝，

1＝

24

nqn＋2q·24

nn＋2q2此时1、2间的作用力F′＝k＝k，

2r28r

nn＋2

由题意知F′＝F， 即n＝， 解得n＝6. 故D正确．

8

2 / 12

【例题3】如图所示，位于正方形四个顶点处分别固定有点电荷A、B、C、D，四个点电荷的带电量均为q，其中点电荷A、C带正电，点电荷B、D带负电，试确定过正方形中心O并与正方形垂直的直线上到O点距离为x的P点处的电场强度的大小和方向。

解析：四个点电荷各自在P点的电场强度EA、EB、EC、ED如图所示，根据对称性可知，EA、EC的合场

E1沿OP向外，EB、ED的合场强E2沿OP指向O，由对称性可知，E1、E2大小相等，所以P点的场强为强

零。

【例题4】一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的v－t图象如图所示，则两点A、B所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )

该电荷为负电荷，所受电场力方向与电场线方向相反，所以，将电荷由静止释放不可能顺着电解析：

场线移动，故A、D错误。由v－t图象可知，电荷由A到B运动过程中，加速度逐渐增大，即电场力

增大，即A处电场线比B处稀疏．故B项错误、C项正确．答案：C

【例题5】如图所示，A为带正电的金属板，沿金属板的垂直平分线距板r处有一质量为m、电荷量为q的小球(小球受水平向右的电场力偏转θ角而静止，小球用绝缘丝线悬挂于O点)，试求小球所在处的电场强度．

解析：分析小球受力如图所示．由平衡条件可知mg、F电的合力与FT是一对平衡力。

由图中几何关系有： F电＝mg tanθ

所以小球所在处的电场强度E＝F电＝mgtan θ 又小球带正电，因此电场强度方向水平向右．

qq

5

【例题6】如图所示，一根长L＝1.5 m的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为E＝1.0×10 N/C、与水平方向成θ＝30°角的倾斜向上的匀强电场中．杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×－6－6－210C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10C，质量m＝1.0×10kg.现将小球B9222从杆的上端N静止释放，小球B开始运动．(静电力常量k＝9.0×10 N·m/C，取g＝10 m/s)求：

3 / 12

(1)小球B开始运动时的加速度为多大？

(2)小球B的速度最大时，距M端的高度h1为多大？

(3)小球B从N端运动到距M端的高度h2＝0.61 m时，速度为v＝1.0 m/s，求此过程中小球B的电势能改变了多少？

解析：（1）开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运

动，由牛顿第二定律得：

2代入数据解得：a＝3.2 m/s

解得：

（2）小球B速度最大时合力为零，即

解得：代入数据解得：h1＝0.9 m

（3）小球B从开始运动到速度为v的过程中，设小球B的电势能改变了△Ep，由

代入数据解得：

能量守恒有：

三、电场——能的性质

1、电势：①定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势；②定义式：EP(Ф由电场中这点的性质决定，与试探电荷的q、EP无关)；③相对性：电势具有相对性，与q零势点的选取有关；④沿着电场线方向电势降低，或电势降低最快的方向就是电场强度的方向。

UAB2、电势差：①定义式：WABq（UAB由电场中A、B两点的性质决定，与试探电荷的q、WAB无关)；②电势差与电势的关系式为：UABAB；③匀强电场中电势差与电场强度的关系为：UEd；④电势差是绝对的，与零电势点的选取无关。

3、电势能、电势能变化与电场力做功关系：①试探电荷在电场中某点的电势能大小为：EPqp，电势能有正有负，但是标量；②电场力做功与电势能变化的关系式为：WABEp(EpBEpA)，即当电场力做多少正功，电势能就减小多少；当电场力做多少负功，电势能就增加多少。

4、静电力做功与电势差的关系式为：WABqUAB。说明：电荷在某点的电势能等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功（通常选大地或无限远处电势能为零）。

5、等势面：电场中电势相等的点构成的面。性质：①沿同一等势面移动电荷时静电力不做功；②电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面；③在相邻等势面间电势差相等的情况下，等势面的疏密表示电场的强弱（密强弱疏）。

注：WAB、q、UAB、EP、等都是标量，但都有正有负，计算时将正负号代入。

4 / 12

【例题7】如图所示，一电荷仅在电场力作用下，从A点运动到B点。运动电荷所带电荷的电性是。比较A、B两点的：速度vA

vB；动能EkAEkB；电势能EpAEpB。

解析：曲线运动物体，合力应指向轨迹凹侧。

答案：正电荷；小于；小于；大于。

变形：不给起点和终点，只给出虚线是轨迹，如何分析？

vBBFQA

常见的电场线与轨迹相关问题的判断步骤

再利用功能关系或能量守恒判定粒子动能

变化、电势能变化、电

势高低等有关问题

1、比较电势高低的方法：（1）沿电场线的方向，电势降低；（2）当电场中两点间的

电势差大于零时，电势降低。反之升高；（3）根据电势能的变化看来判断电势变化。

2、比较电荷电势能的大小：方法一: 根据电场力做功的正负判断，若电场力对移动

电荷做正（负）功，则电势能减少（增加）；方法二: 根据公式 Ep=qφ ；WAB＝qUAB计算。

【例题8】图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子( )

A．带负电

B．在c点受力最大

C．在b点的电势能大于在c点的电势能

D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化

解析：物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明粒子带正电，A错；由库仑定律F

＝kq1q2知离圆心越远， 粒子所受的力越小，B错误；

2r

粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，C正确；

点电荷的等势面与虚线重合，依题意得Uab>Ubc，又电场力做功W＝qU，则Wab>Wbc，由动能定

理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确．答案：CD

【例题9】如图所示，甲图是某电场中的一条电场线，a、b是这条线上的两点，一负电荷只受电场力作用，沿电场线从a运动到b，在这个过程中，电荷的速度时间图象如乙图所示，比较a、b两点电势的高v低和场强的大小

A、Φa＞Φb Ea＜Eb

B、Φa＞Φb Ea = Eb

abC、Φa＜Φb Ea＞Eb

o乙D、Φa＜Φb Ea = Eb

甲

解析：分析速度图像可知电荷的加速度是恒定的，说明电场应该是匀强电场。

速度逐渐减小说明动能在逐渐减小电场力是由b指向a的。场强方向由 a到b。答案：B

【例题10】如图所示，圆O在匀强电场中，场强方向与圆O所在平面平行，带正电的微粒以相同的初动能沿着各个方向从A点进入圆形区域中，只在电场力5 / 12

AtBO C

作用下运动，从圆周上不同点离开圆形区域，其中从C点离开圆形区域的带正电微粒的动能最大，图中O是圆心，AB是圆的直径，AC是与AB成锐角的弦，则匀强电场的方向为（ ）

A．沿AB方向 B．沿AC方向

C．沿OC方向 D．沿BC方向

B

解析：从C点离开圆形区域的带正电微粒的动能最大，说明微粒从圆上OC点离开时电势能最小，由此可知，圆上C点电势最低，过C点做圆的

。又由电场线与等势面（线）的

切线，此切线一定是一条等势线（如图） A C

关系可知场强方向沿OC方向。答案选C。

反思：本题考查考生对场的空间分布和等势面的认识。

【例题11】如图所示，实线是两个等量点电荷P、Q形成电场的等势面，虚线是一带电粒子仅在电场力作用下运动的轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，b位于P、Q连线的中点．则( )

A. 两点电荷P、Q电性相反

B. a点的电场强度大于b点的电场强度

C. 带电粒子在a点的电势能大于在c点的电势能

D. 带电粒子在a点的动能小于在b点的动能

解析:靠近P、Q两电荷时均受到斥力，所以P、Q电性相同，A错；

由于a点等势面比b点等势面密，故a点场强大，选项B正确；

由于两点电荷带等量同种电荷，从对称性可知c点与a点电势相等，经判断可知带电粒子在a点的电势能等于在c点的电势能，选项C错误；

若带电粒子从b点向a点运动，电场力做负功，其电势能增加，动能减小，选项D正确．答案选BD

【例题12】如图所示，在O点放置一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h。若小球通过B点的速度为v，试求：

(1)小球通过C点的速度大小。

(2)小球由A到C的过程中电势能的增加量。

解析： (1)因B、C两点电势相等，小球由B到C只有重力做功，由动能定理得：

112mgR·sin 30°＝mv2C－mv ①

22

2解得：vC＝v＋gR ②

12

(2)由A到C应用动能定理得：WAC＋mgh＝mvC－0 ③

2

由电势能变化与电场力做功的关系得：ΔEP＝－WAC ④

121解②③④得：ΔE＝mgh－mv－mgR ⑤

P

22

【例题13】假设空间某一静电场的电势φ随x变化情况如图所示，根据图中信息可以确定下列说法中正确的是( )

A．空间各点场强的方向均与x轴垂直

6 / 12

第（2）问或由能量守恒定律列出方程：

12mgh＝mvC+ΔEP

2也可求出ΔEP

解析：①电场线与等势面垂直，而x轴上各点电势并不完全相等，所以空间各点场强的方向并不都

B．电荷沿x轴从O移到x1的过程中，一定不受电场力的作用

C．正电荷沿x轴从x2移到x3的过程中，电场力做负功，电势能增大

D．负电荷沿x轴从x4移到x5的过程中，电场力做负功，电势能增大

【例题14】如图所示，虚线表示等势面，相邻两等势面间的电势差相等，有一带正电的小球在电场中运动，实线表示该小球的运动轨迹．小球在a点的动能等于20eV，运动到b点时的动能等于2eV.若取c点为零势点，则当这个带电小球的电势能等于－6eV时(不计重力和空气阻力)，它的动能等于( )

A. 16eV B．14eV C. 6eV D．4eV

解析：从a到b由动能定理可知，电场力做功Wab＝－18eV，则从a到b电势能增加量ΔEpab

＝18eV，由等势面特点及c点为零势点可知：a点电势能Epa＝－12eV，又由动能和电势能之和不变，可判断B正确。

四、电容器和电容

1、电容器：任何两个彼此绝缘又相距很近的导体就组成一个电容器（容纳电荷）。电容器带电荷量为一个极板所带电荷量的绝对值。2、电容：①定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，叫做电容器的电容；②表示电容器容纳电荷本领的物理量；③定义式：CQ，④国际单位制中单位为U法拉（F），1F10F10612pF。

3、平行板电容器的电容：Cs。熟记两点：①保持两极板与电源相连，则电压U不变，4kddCQE；SCQE不变。②充电后断开电源，则电荷量Q不变，dCUE不变；SCUE。（会熟练推导）

【例题15】两个较大的平行金属板A、B相距为d，分别接在电压为U的电源正、负极上，这时质量为m，带电荷量为－q的油滴恰好静止在两极板之间，如图所示，在其他条件不变的情况下，如果将两极板非常缓慢地错开一些，那么在错开的过程中( D )

A．油滴将向上加速运动，电流表中的电流从b流向a

B．油滴将向下加速运动，电流表中的电流从a流向b

C．油滴静止不动，电流表中的电流从b流向a

D．油滴静止不动，电流表中的电流从a流向b

QsU不变

CC场强E不变 受力不变 静止

放电

U4kdd不变

五、带电粒子在电场中的运动

1、带电粒子是否考虑重力：微观粒子（如质子、电子、粒子等）不计重力；宏观微粒（如带电小球、质点、油滴等）考虑重力。

7 / 12

２、解决问题的思路和方法：带电粒子在电场中的运动问题涉及电场中的规律和力学方法，本质上是一个力学问题，应顺应力学问题的研究思路和运用力学的基本规律。要注意的是：

①对于具体问题要分清：场的条件和运动电荷的条件；

②做好受力分析；

③加速度：如带电粒子在匀强电场，只受电场力，则加速度aqEqU；

mmd④由研究问题的本质上来分析：如电荷在匀强电场中的偏转问题，关键在于研究的方法---分解。

3、带电粒子在电场中的加速：一平行金属板两板间电压为U，一带电粒子（q、m)仅受静电力作用从静止开始，从一板运动到另一板的速度大小？（qU1（此式对非匀强电场也适用）

mV02）2L

4、带电粒子在电场中的偏转：

水平放置的平行金属板，板长为l，板间电压为U（上正下负），板间距离为d，一电荷量为q的带正电粒子（不计重v0

力）以初速度V0垂直电场方向从左侧射入板间，且能从右侧θ

y

v

θ

0飞出。求偏移量y和偏向角？

v

vy

图1

解析：带电粒子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，轨迹如

图1。其加速度为：aqU……①

解①至⑥得：

md

水平方向：vv……②

Lvt……③

qUL2x00……⑦y

22mdv012vat

竖直方向：y……④

yat ……⑤

2

qULtan……⑧

2

yvymdv0tan又有图中几何关系有：……⑥（或）

tan

Lvx2

【问题延伸】若带正电粒子由静止释放，先经过加速电L/L

场加速，后进入偏转电场（如图2），求粒子打在荧光屏上P点距屏中心点O的距离y。

v0θ

U1

vyO

y

v0v解析：粒子先在加速电场中加速，则有：

y12

qU1mv02粒子以速度v0进入偏转电场，偏移量y和偏向角图2

P

ULUL2tan求解同上。可得：y（由此可得出结论：电性相同的不同粒子经加速电场和偏转电2U1d4U1d场后射出时轨迹相同）

粒子离开偏转电场后以速度v做匀速直线运动，打在荧光屏上P点，由图中几何关系有：

8 / 12

yyLtan 或

yyLL2 或

y(LL)tan

L22最终可求出粒子打在荧光屏上P点距屏中心点O的距离y。

【例题16】反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。如图1－9所示，在虚线MN两侧分别存在着方向相反的两个匀强电场，一带电微粒从A点由静止开始，在电场力作用下沿直线在A、B两点间往返运动。已知电场强度的大小分别是E1＝33－202.0×10 N/C和E2＝4.0×10 N/C，方向如图所示，带电微粒质量m＝1.0×10 kg，带电量q＝－1.0×10－9 C，A点距虚线MN的距离d1＝1.0 cm.不计带电微粒的重力。求：

(1)

B点到虚线MN的距离d2；

(2) 带电微粒从A点运动到B点所经历的时间t.

解析： (1)带电微粒由A运动到B的过程中，由动能定理有：

E1|q|E1d1－|q|E2d2＝0① 由①式解得：d2＝d1＝0.50 cm②

E2

(2)设微粒在虚线MN两侧的加速度大小分别为a1、a2，由牛顿第二定律有：

|q|E1＝ma1③ |q|E2＝ma2④

设微粒在虚线MN两侧运动的时间分别为t1、t2，由运动学公式有

1212d1＝a1t1⑤

d2＝a2t2⑥ 又t＝t1＋t2⑦

22

由②③④⑤⑥⑦式解得：t＝1.5×10－8 s

【例题17】如图所示，直流电源的路端电压U＝182 V．金属板AB、CD、EF、GH相互平行、彼此靠近．它们分别和变阻器上的触点a、b、c、d连接．变阻器上ab、bc、cd段电阻之比为1∶2∶3.孔O1正对B和E，6

孔O2正对D和G.边缘F、H正对．一个电子以初速度v0＝4×10m/s沿AB方向从A点进入电场，恰好穿过孔O1和O2后，从H点离开电场．金－属板间的距离L1＝2 cm，L2＝4 cm，L3＝6 cm.电子质量m＝9.1×1031－19 kg，电荷量q＝1.6×10 C．正对两平行板间可视为匀强电场，不计电子重力，求：

(1)各相对两板间的电场强度；

(2)电子离开H点时的动能；

(3)四块金属板的总长度(AB＋CD＋EF＋GH)．

解析： (1)三对正对极板间电压之比为：U1∶U2∶U3＝Rab∶Rbc∶Rcd＝1∶2∶3

板间距离之比L1∶L2∶L3＝1∶2∶3

UU根据E＝知，三个电场场强相等，其值为：E＝＝1 516.67 N/C

dL1＋L2＋L3

12－17

(2)根据动能定理:qU＝Ek－mv0 电子离开H点时动能:Ek＝3.64×10 J

2

(3)电子在竖直方向受电场力不变，加速度恒定，可知电子做类平抛运动.

1qE2

水平方向:

x＝v0t

竖直方向:

L1＋L2＋L3＝

t解得x＝0.12 m.

2m

即金属板总长AB＋CD＋EF＋GH＝2x＝0.24 m.

【点拨提升】

1

．要注意分析三个电场的场强是否相等，只有相等时整个过程才是类平抛运动．

2

．求解粒子的动能和速度一般利用动能定理列式求解，尽可能不用牛顿运动定律和运动学公式．

9 / 12

【例题18】(2011·北京)静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线，图中φ0和d为已知量．一个带负电的粒子在电场中以x＝0为中心、沿x轴方向做周期性运动．已知该粒子质量为m、电量为－q，其动能与电势能之和为－A (0

(1)粒子所受电场力的大小；

(2)粒子的运动区间。

解析：(1)由图可知，x=0与x=d(或-d)两点间的电势差为φ0

电场力的大小

电场强度的大小

(2)设粒子在[- x0，x0]区间内运动，速率为v，由题意得：

② 由①②得：

由图可知

，得

因动能非负，有：

粒子的运动区间为：

总结提高：

1.善于读图、数形结合：本题φ随x变化规律为直线，

可知电势沿x均匀变化为匀强电；

2．善于构建情景：本题电场应为如图所示情景；

3．对于φ随x的变化结合图线能做数学表达。

【例题19】(2013·福建)如图所示，在竖直平面内，AB为水平放置的绝缘粗糙轨道，CD为竖直放置的足够长绝缘粗糙轨道，AB与CD通过四分之一绝缘光滑圆弧形轨道平滑连接，圆弧的圆心为O，半4径R＝0.50 m，轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度的大小E＝1.0×10 N/C，现有质量－4m＝0.20 kg，电荷量q＝8.0×10 C的带电体(可视为质点)，从A点由静止开始运动，已知xAB＝1.0

m，带电体与轨道AB、CD的动摩擦因数均为0.5.假定带电体与轨道之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力2相等．求：(取g＝10 m/s)

(1)带电体运动到圆弧形轨道C点时的速度；

(2)带电体最终停在何处．

解析：(1)设带电体到达C点时的速度为v，

12

从A到C由动能定理得：qE(sAB＋R)－μmg sAB－mgR＝mv

2

解得v＝10 m/s

(2)

设带电体沿竖直轨道CD上升的最大高度为h，从C到D由动能定理得：

－mgh－μqEh＝0－1mv2

解得h＝5m

23

在最高点，带电体受到的最大静摩擦力Ffmax＝μqE＝4 N，重力G＝mg＝2 N 因为G

所以带电体最终静止在与C点的竖直距离为m处．

10 / 12

①

③

即 ④

53

【例题20】质量为m、电荷量为＋q的小球以水平初速度v0进入竖直向上的匀强电场中，如图甲所示．今测得小球进入电场后在竖直方向下降的高度y与水平方向的位移x之间的关系如图乙所示．根据图乙给出的信息，(重力加速度为g)求：(1)匀强电场场强的大小；(2)小球从进入匀强电场到下降h高度的过程中，电场力做的功；(3)小球在h高度处的动能．

：解析（１）小球进入电场后，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速为零的匀加

动，设经过时间t． 速运

水平方向：Lv0t……①

12竖直方向：……③

hat……② 由牛顿第二定律有：

mgqEma2

22hmvmg0

解①②③得：E……④

2qqL

22h2mv0

（2）电场力做功为mgh……⑥ ……⑤ ④代入⑤得：w2wqEhL

2

（3）根据动能定理有：mghqEhE1mv2……⑦解得：E1mv22hmv2……⑧

k00k022L2

【例题21】如图，匀强电场的方向水平向右．一个质量为m，电荷量为+q的小球，以初速度v0从a点竖直向上射入电场中，小球通过电场中的b点时速度为2v0，方向恰好水平向右，（已知重力加速度为g）求：

（1）a、b两点间的距离sab．

（2）a、b两点间的电势差Uab．

解析：（1）设小球从a运动到b点的时间为t，

12水平方向(初速为零匀加速运动)：……① ……② ……③

xatx

qEmax2v0axt2

12竖直方向（竖直上抛运动）： ……④ ……⑤ ……⑥

yaty

mgmay-v00ayt2

2v0

5又a、b两点间的距离 ……⑧

22 ……⑦ 解以上各式得：sabsxy2gab

2v0

（2）由①②④⑤可得：Eq=2mg……⑨ 由②③⑤⑥可得：x……⑩

g

22mv0

a、b两点间的电势差

……⑾ 解⑨⑩⑾得：Uab……⑿

UxEqab

【例题22】如图所示，质量为m、半径为R的圆形光滑绝缘轨道放在水平地面上固定的M、N两竖直墙壁间，圆形轨道与墙壁间摩擦忽略不计，在轨道所在平面加一竖直向上的场强为E的匀强电场。P、Q两点分别为轨道的最低点和最高点，在P点有一质量为m，电荷量为q的带正电的小球，现给小球一初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )

11 / 12

A．小球通过P点时对轨道一定有压力

B．小球通过P点时的速率一定大于通过Q点时的速率

C．从P到Q点的过程中，小球的机械能一定增加

D．若mg>qE，要使小球能通过Q点且保证圆形轨道不脱离地面，速度v0应满足的关系是：

5qER5qER5gR－≤v0<6gR－

mm

解析：若电场力大于重力的情况下，小球通过P点时轨道可能没有压力，小球通过P点时的速率小

于通过Q点时的速率，A、B错；

从P到Q点的过程中，电场力做功，小球机械能一定增加，C对；

若mg>qE，要使小球能通过Q点且保证圆形轨道不脱离地面，小球运动到Q点的最小速度满足mg－222

mv1mg－qERmv1mv01 , 从P到Q，由动能定理，(qE－mg)2R＝－ ，

qE＝R，解得v1＝m22

5qER

解得v01＝5gR－

m

要使圆形轨道不脱离地面，小球运动到Q点对圆形轨道的压力小于mg，小球运动到Q点的最大速度

222mv2mg－qERmvmv2202

满足2mg－qE>，解得

v2<，从P到Q，由动能定理，(qE－mg)2R＝－，解得Rm22

5qER

v02<6gR－，

m

要使小球能通过Q点且保证圆形轨道不脱离地面，速度v0应满足的关系是：

5qER5qER5gR－≤v0<6gR－，选项D正确。

mm

【例题23】如图所示，水平放置的平行板电容器与一恒定的直流电压相连，两极板间距离d =10 cm．距下板h1=4 cm处有一质量m = 0.01g的不带电小球由静止落下．小球和下极板碰撞间带上了q

=-1.0×10-8

C的电荷，反跳的高度为h2=8cm，这时下板所带电量为Q=-1.0×10-6

C．如果小球和下板碰撞时没有机械能损失（即速度的2大小不变），（取g=10m/s）试求：

(1)该电容器极板间的电场强度多大？

(2)该电容器的电容多大？

8cm

4cm

10cm

解析：（1）不带电小球下落过程，设落地速度为v，有：v22gh1

……①

……② 小球带电后反跳减速上升过程，设加速度大小为a，有：0-v2-2ah2解①②得：a=5m/s……③

3又根据牛顿第二定律得：mg-qE=ma……④ 解得：E=5×10V/m……⑤

3（2）电容器两板间电压：U=Ed=5×10×0.1V=500V……⑥

-9电容：C=Q/U= 2×10F=2000pF……⑦

12 / 12