2024年3月7日发(作者：)
中职中专数学教学设计教案
课题 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 课型 新授
第几
课时
1
1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，课
时
教
学
目
标
（三维）
证明．
2. 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力．
3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想．
教学重点：
教学重点与
难点
同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）．
教学难点：
同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用
教学
方法
讲练结合的方法
与
手段
使
用
教
材
的
构
想
教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用．课堂中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主探究问题并解决问题，使学生熟练用方程（组）解决问题的方法．
中职中专数学教学设计教案
教师行为 学生行为
教师提出问题，学生回答．
设计意图
推出
sin2＋cos2＝1
sin
＝tan
cos
这两个基本关系式．
☆补充设计☆
复习三角函数定义、单位圆和三角函数y
线、勾股定理．
P(cos
，sin
)
1
sin
O cos
x
师讲解：
1．sin2，cos2 的读法、写法．
在单位圆中，由三角函数的定义和勾股2．让学生验证30°，45°，60°的初步认识和定理，可得同角三角函数的基本关系式： 正弦，余弦，正切值满足两个关记忆两个关系sin2
＋cos2＝1； 系式． 式，理解“同角”3．“同角”的概念与角的表达形式的含义．
sin
＝tan
．
cos
无关，如：sin2
β＋cos2
β＝1．
4．同角的意义：一是“角相同”；
二是“任意一个角”．
当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数定义，就可求出这个角的另外几个三角函数值．此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．
同角三角函数的基本关系式应用之一：
求值．
例1鼓励学生自己解决，教师只在开方时点拨符号问题．
4例1 已知sin
＝ ，且
是第二象限的
5练习：教材 P141，练习A组第角，求
的余弦和正切值． 1（2）（3）题．
解 由 sin2＋cos2＝1，得 小结步骤：已知正弦（或余弦）
多练几个类似例题的题目，使学生熟练两个cos
＝±1－sin2 ．
根据平方关系求余弦（或正弦）因为 是第二象限角，cos
＜0, 基本关系式的应用和用方程求值43根据商数关系所以 cos
＝－1－()2 ＝－ ，
求正切．
55的方法．
4
5sin
4tan
＝ ＝ ＝－ ．
33cos
－
5
例2 已知 tan
＝－5 ，且
是第二象
例2可在教师的引导下解决，带
限角，求 的正弦和余弦值． 领学生详细解方程组．
解 由题意得 练习：教材P141，练习A组第1
sin2
＋cos2
＝1， ① （4）题．
sin
解方程组 ＝－5 ． ②
求小结步骤：知正切cos
中职中专数学教学设计教案
由②，得sin
＝－5 cos
，代入①式得
6 cos2＝1，
1cos2＝ ．
6因为 是第二象限角，
所以 cos
＝－6
，代入③式得
66
)
6余弦（或正弦）．
师：求值题目总结
1．注意同角三角函数的基本关系式的变形应用．
sin α＝－5 cos α
＝－5 ×(－＝30
．
6
同角三角函数的基本关系式应用之二：
化简．
sin θ－cos θ例3 化简： ．
tan θ－1sinθ－cos θsinθ－cos θ解 原式＝ ＝
sin θsin θ－cos θ －1
cos θcos θ＝cosθ．
同角三角函数的基本关系式应用之三：
证明．
例4 求证：
（1） sin4
－cos4
＝2 sin2－1；
（2） tan2
－sin2＝tan2 sin2；
1＋sin xcos x（3） ＝ ．
cos x 1－sin x证明：
（1）原式左边＝(sin2＋cos2)(sin2－cos2)
＝sin2－cos2
＝sin2－(1－sin2)
＝2 sin2－1
＝右边．
因此sin4
－cos4
＝2 sin2
－1．
（2）原式右边＝tan2
(1－cos2
)
＝tan2
－tan2
α cos2
＝tan2
－sin2
cos2
cos2
＝tan2
－sin2
＝左边．
灵活应用公式，加快运算速度．为下面运用公式化简和证明做好知识铺垫．
2．已知sin
，cos
，tan
中的任意一个，可以用方程（组）
求出其余的两个．
通过讨论探
究，使学生进一
步熟练公式的各教师小结化简方法：
种变形.培养学把切函数化为弦函数．
生的发散思维，练习：教材P142，练习A组第 2提高综合运用知题，练习B组第1题．
识分析问题、解
决问题的能力．
教师提示：证明恒等式一般从繁到简，从高次到低次．从左向右，或从右向左，或从两头向中间来证明．
可让学生自己先独立探索证明思路，再小组讨论．教师在证明思路和解题格式上给予指导．
由学生完成证明，展示不同证法，分析优劣．
对（3）作分析：
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因此 tan2
－sin2
＝tan2
sin2
． 思路1：用作差法，不管分母，（3）证法1：
只需将分子转化为零．
1＋sin xcos x因为 －
cos x1－sin x
cos2 x－(1－sin x)2＝
(1－sin x)cos x
22 cos x－cos x
＝
(1－sin x)cos x
＝0．
1＋sin xcos x所以 ＝ ．
思路2：利用公分母将原式的左 cos x 1－sin x边和右边转化为同一种形式的cos xcos x证法2：因为 左边＝ ·
结果．
1－sin xcos x
2
cosx练习：教材P 142，练习A组第＝ ；
(1－sin x)cos x3题，练习B组第2题．
1＋sin x1－sin x 右边＝ ·
cos x1－sin xcos2
x ＝ ．
(1－sin x) cos x所以 左边＝右边．
即原等式成立．
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☆补充设计☆
板书设计
1. 同角三角函数的基本关系式 例题;
sin2＋cos2＝1，
sin
＝tan
．
cos
2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事项．
练习：
作业设计
必做题：
写出同角三角函数的基本关系式，并写出其变形公式．
选做题：
教材P 142，练习B组第3题
教学后记
