东华高级中学等一次月考高三数学试题

2024年3月6日发(作者：)

东华高级中学2006届高三第一次月考

数学测试卷（第Ⅰ卷）

命题：陈千明

审题：

岳永巍

一、选择题：注意事项：本卷共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

1．设集合P{1,2,3,4},Q{x||x|2,xR},则PQ等于

B．{3，4} C．{1}

12． 设，a40.9,b80.48,c()1.5则

2 A．cab B．bac C．abc

A．{1，2}

D．{－2，－1，0，1，2}

D．acb

3．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为

A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20

2f(x)(x2)(x2)的图象关于直线yx对称，则g(x)

g(x)4．若的图象与

A．2x(x0)

C．2x(x2)

B．2x(x0)

D．2x(x2)

22f(x)lgx,g(x)2lgxf(x)x2,g(x)x4x4 5．已知下列四组函数：① ②

1x33f(x)loga(a0,a1),g(x)xf(x),g(x)f1(x)表示相同

a ③ ④，x 函数的序号是

A．③④

B．①②

C．①③

D．②④

6.已知集合A={x|a1xa2}，B={x|3

A.{a|3

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7．当a0时，函数yaxb和yb的图象只可能是

8．设p、q为简单命题，则“p且q”为假是“p或q”为假的

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

f(x1)的图象如图yax

9．定义在R上的函数y1所示，它在定义域上是

1减函数，给出如下命题：①f(0)=1；②f(1)1；③若x0，则

xf(x)0；④若x0，则f(x)0，其中正确的是

1O （A）②③ （B）①④ （C）②④ （D）①③

10. 已知yf(2x1)的图象关于y轴对称，则函数yf(2x)的图象的对称轴是

11A．x1 B．x2 C．x D．x

22

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把每题的答案填在答题卷上。

11.已知指数函数f（x）=ax的图像经过点（3，8），则f(-1)的值为____________

12．对于实数a、b、c、d，定义运算“⊙”：(a，b)⊙(c，d)＝(ac－bd，ad＋bc)，

那么，(0，1)⊙(0，1)＝___________.

113．已知

f(x1)f(x)且f(x)0(1x0),则f(3)__________(0x1)

14．设随机变量ξ～B(18,p)，若Dξ＝4，则P＝_______________。

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东华高级中学2006届高三第一次月考

数学测试卷（第II卷）

命题：陈千明 审题：岳永巍

二、填空题（5分×4=20分）

11、 ；12、 ____;13、 ;14、 ____.

三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. (本小题满分12分)

已知集合A={x|2x27x150}，B={x|x2axb0}，满足A∩B=φ，

A∪B={x|5x2}. 求实数a、b的值

16、(本小题满分13分)

记函数f(x)2x3的定义域为A,g(x)lg(xa1)(2ax)(a1)的定义域为B；x1（1）求A；（2）若BA，求实数a的取值范围；

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17. (本小题满分13分)

从4名男生和两名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。

（1） 求ξ的分布列；

（2） 求ξ的数学期望；

（3） 求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率。

18．(本小题满分14分)

已知函数

f(x)2x,g(x)x2.x1 （1）证明：函数g(x)在(1,)上为增函数；

（2）用反证法证明：方程f(x)g(x)0没有负数根.

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19. (本小题满分14分)

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：

0.1x22.6x43,(0x10)f(x)59,(10x16)3x107,(16x30).

（1） 开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？

（2） 开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生接受能力何时强一些？

（3） 一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

（4） 如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值Mf(5)f(10)f(30)6，它能高于45吗？

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20．(本小题满分14分)

设定义在R上的函数f(x)，满足当x0时，f(x)1,且对任意x,yR,有f(xy)f(x)f(y),f(1)2.

（1）求f(0)；

（2）求证：对任意xR,都有f(x)0;

（3）解不等式f(3xx2)4；

（4）解方程[f(x)]2

1f(x3)f(2)1.

2

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参考答案

一、 ADDAA BABBD

二、 11.

121 12. (-1,0) 13. 0 14.

或

233三、解答题：

3} ……………………3分

23由题意 x2+ax+b=0的两根为,2 ……………………6分

2322a则

32b2 ……………………9分

7a =

 ， b=3 ……………………12分

2x3x10得016. 解：（1）

由2x1x1

x1或x1即A（，1）[1，） …………3分

（2）由（x-a-1）(2a-x)>0 得： (x-a-1)(x-2a)<0

(2

1

) ………… 6分



a



1



a



1



2

a



B



a

,

a

1又BA2a1或a11即a或a2

2 ………… 9分

1a1a1或a2

2 ………… 11分

1故BA时a的范围是(,2][,1)

2

………… 13分

15.解：A={x|-5

17.解：(1)ξ可能取的值为0，1，2 …………1分

k3kC2C4，k=0,1,2 …………4分

P(k)3C6所以，ξ的分布列为

ξ 0

p

1 2

1/5 3/5 1/5

…………6分

(2)由（1），ξ的数学期望为

Eξ=0×1/5+1×3/5+2×1/5=1 …………9分

(3)由（1）知“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为

P(ξ≤1)=P(ξ=0)＋P(ξ=1)=4/5 …………13分

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18. （1）设1x1x2g(x2)g(x1)x22x123(x2x1)

x21x11(x11)(x21)x2x10,x110,x210

g(x2)g(x1)g(x)在(1,)上为增函数 …………6分

x020

x01（2）假设f(x)0有负根x0，则有2x0即2x02x031 显然

x01 …………7分

x01x01当0x01时,1x010,而333,12 …………9分

1x01x012x01，这是不可能的，即不存在0x01的解. ………11分

231,而2x00矛盾，即不存在x01的解. ……13分

1x0当x01时,1综上，假设不成立，即不存在负根. …………14分

19. 解：（1）0

故当0

显然，当16

因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），

并维持6分钟； …………4分

(2)f(5)=0.1×(5-13)2+59.9=53.5

f(20)=-3×20+107=47<53.5

因此，开讲后5分钟，学生的接受能力比开讲后20分钟强一些； ……6分

(3) 当0

∴6≤x≤10;

当10

1当16

311因此，学生达到（或超过）55的接受能力的时间为17－6＝11<13(分钟),老师来不33及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题；……10分

(4)f(5)=53.5,f(10)=59,f(15)=59,f(20)=47，f(25)=32,f(30)=17

53.55959473217所以M=≈44.6<45.

6故知平均值不能高于45. ………14分

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20.（1）f(x)f(x0)f(x)f(0),x0时,f(x)1,f(0)1 ……2分

xxx （2）f(x)f()[f()]20.

222假设存在某个x0R,使f(x0)0，

则对任何x0,有f(x)f[(xx0)x0]f(xx0)f(x0)0与已知矛盾，

xR均为满足f(x)0 …………5分

（3）任取x1,x2R且x1x2,则x2x10,f(x2x1)1

f(x2)f(x1)f[(x2x1)x1]f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)

f(x1)[f(x2x1)1]0

xR时，f(x)为单调递增函数 ………8分

f(1)2,则f(2)f(1)f(1)4

f(3xx2)4f(2),3xx221x2

∴不等式的解集为{x|1x2} …………10分

（4）f(3)f(12)f(1)f(2)8

方程

[f(x)]211f(x3)f(2)1可化为[f(x)]2f(3)f(x)5,…12分

22即[f(x)]24f(x)50,解得f(x)1或f(x)5（舍），由（1）得x=0.

故原方程的解为x=0. …………14分

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