2024年2月22日发(作者：)
第３１卷第１期２０１２年１月 数学教学研究 ３５ 漫谈数学中的整数、整点问题 高丰平 （湖北省孝昌县第二高级中学４３２９００） 数学中的整数问题往往与数的奇偶性或 整数集ｚ中，被５除所得余数为ｋ的所有整 余数相关，在比较抽象的集合问题中也经常 对整数问题进行讨论．在线性规划中，涉及到 的多是一些整点问题，这是因为条件所限定． 数学中的整数、整点问题要利用整数的特殊 性质，结合分类讨论及正确推理完成． 例１（２０１１高考广东卷・理科８）设Ｓ 是整数集ｚ的非空子集，如果Ｖ口，ｂ∈Ｓ，有 ａｂｅＳ，则称Ｓ关于数的乘法是封闭的，若Ｔ， 是ｚ的两个不相交的非空子集，ＴＵ ＝Ｚ， 且Ｖｎ，ｂ，ｃ∈丁，有ａｂｃ∈Ｔ；ＶＸ，Ｙ， ∈Ｖ，有 ｘｙｚＥＶ，则下列结论恒成立的是（ ）． （Ａ）Ｔ’Ｖ中至少有一个关于乘法是封闭的 （Ｂ）Ｔ，Ｖ中至多有一个关于乘法是封闭的 （Ｃ）Ｔ，Ｖ中有且只有一个关于乘法是封 ， 闭的 （Ｄ）Ｔ，Ｖ中每一个关于乘法是封闭的 解析 由于丁Ｕ ，故整数１一定在Ｔ， 两个集合中的一个中，不妨设１∈丁，则 ∈ Ｔ，由于口，ｂ，１ Ｅ Ｔ，则ａ・ｂ・１∈Ｔ，即ａｂｅ Ｔ， 从而Ｔ对乘法封闭； 另一方面，当Ｔ一｛非负整数），Ｖ＝｛负 整数）时，Ｔ关于乘法封闭， 于乘法不封闭， 故Ｄ错； 当Ｔ＝（奇数）Ｉ＇ 一｛偶数）时，Ｔ 关于 乘法都是封闭的，故Ｂ，Ｃ错误，故选Ａ，ｔ 评注 本题是一道新定义题，要求具有 创新意识，较为抽象，要判断Ｔ， 中关于乘 法是否封闭的情况，取一些特殊数、数集进行 校验判别． 例２（２０１１高考福建卷・ 文科１２）在 数组成一个“类”，记为［忌］，即［曼］＝｛５ ＋ｋ ｌ ｎＥＺ），ｋ一０，１，２，３，４．给出如下４个结论： ①２０１１∈［１］； ②－－３∈［３］； ③ｚ一［Ｏ］Ｕ［１］Ｕ［２］Ｕ［３］Ｕ［４］； ④“整数。，ｂ属于同一‘类＂’的充要条件 是“ｎ一６∈［０］”． 其中，正确结论的个数是（ ）． （Ａ）ｌ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ 解析…本例就是一个同余的问题，其中 ２０１１＝４０２×５＋１，一３—５×（一１）＋２…知① ③④正确，故选Ｃ． 评注被５除所得余数为ｋ的所有整数 组成一个“类”，就是整除中有关同余类的问 题，要求不高． 例３（２０１１高考福建卷・理科９）对于 函数厂（ ）＝ａｓｉｎ Ｘ＋ｂｘ＋ｃ（其中 ｂＥ Ｒ， ｆ∈ｚ），选取ａ，ｂ，ｃ的一组值计算，（１）和 ，（一１），所得出的正确结果一定不可能是 （ ）． （Ａ）４和６ （Ｂ）３和１ （Ｃ）２和４ （Ｄ）ｌ和２ 解析 由函数，（ｚ）一ａｓｉｎ ｚ＋６ ＋ｃ（其 中ａ，ｂＥＲ，ＣＥＺ），可以得到 Ｉｆ．厂（厂（１）一ａ一１）：ａｓｉｓｉｎ １ｎ（一１）－＋６＋ｃ－， ｂ＋ｃ ． 一 ＥＺ． 不难看出厂（１），厂（一１）的奇偶性应相同，而 Ｄ答案是一奇一偶，不符合题意．故选Ｄ． 评注 简单利用整数的奇偶盼性质即
３６ 教学教学研究 第３ｌ卷第１期２０１２年１月 可，转化要根据条件来进行．要有函数与方程 思想，化归与转化思想，以及代人法的正确应 用． 整点，通过上下平移 一忌 得对于Ｙ＝ｋｘＷｂ 也成立，所以③正确； 蠢与６都是有理数，直线 一是 ＋ｂ不一 例４（２０１１高考陕西卷・文科１２）设，ｚ 定经过整点，④错误； ∈Ｎ ，一元二次方程Ｘ 一４ｘ＋ 一０有整数 直线 一√２Ｘ恰过一个整点，⑤正确． 根的充要条件是，ｚ＝＝： ． 解析由求根公式得， ｚ： 一２± ， 因为ｚ是整数，即２±￣／４一 为整数，所以 ，／４－－以为整数，且 ≤４，又因为，ｚ∈Ｎ ，取 一１，２，３，４，验证可知 一３，４符合题意；反之 一３，４时，可推出一元二次方程 一４ｘ＋７ｚ ＝０有整数根．故填：３或４． 评注直接利用求根公式进行计算，然 后用完全平方数、整除等进行判断计算． 例５（２０１１高考安徽卷・理科１５）在 平面直角坐标系中，如果Ｘ与Ｙ都是整数， 就称点（ｚ， ）为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行 又不经过任何整点 ②如果ｋ与ｂ都是无理数，则直线Ｙ＝ ｋｘ＋ｂ不经过任何整点 ③直线ｚ经过无穷多个整点，当且仅当ｌ 经过两个不同的整点 ④直线 一忌ｚ＋ｂ经过无穷多个整点的 充分必要条件是：ｋ与ｂ都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 １ 解析令 —ｚ＋÷满足①，故①正确； 厶 若ｋ一√２，ｂ一√２，Ｙ一√２ Ｘ＋√２过整点 （一１，Ｏ），所以②错误； ‘ 设 一是ｚ是过原点的直线，若此直线过 两个整点（ １，Ｙ１），（ ２，Ｙ２），则有Ｙｌ＝ｋｘ１， Ｙ２＝ｋｘ２，两式相减得Ｙ１一Ｙ２＝ｋ（ｚ１一Ｘ２）， 则点（Ｘｉ— ２，Ｙｌ—Ｙ２）也在直线Ｙ＝ｋｘ上， 通过这种方法可以得到直线Ｚ经过无穷多个 放填①③⑤。 评注“整点”这个概念大多数同学都很 熟悉，这里作为一种自定义，要求同学能够正 确理解并结合直线方程、逻辑推理方能完成． 例６ （２０ １１高考北京卷・ 理科８）设 Ａ（０，Ｏ），Ｂ（４，０），Ｃ（ｔ＋４，４），Ｄ（ｔ，４）（ｔ∈ Ｒ）．记Ｎ（ｔ）为平行四边形ＡＢＣＤ内部（不含 边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐 标都是整数的点，则函数Ｎ（￡）的值域为 （ ）． （Ａ）｛９，１０，１１） （Ｂ）｛９，１０，１２） （Ｃ）｛９，１１，１２） （Ｄ）｛１０，１１，１２） 解析由图（图略）可知，整点的纵坐标 有３种可能，即１，２，３，每行的整点可能是３ 个或４个，如果每行都是３个整点，如ｔ一０ 时，那么共有９个整点；如果每行都是４个整 点，如￡＝０．５时，那么共有１２个整点；如果 有的行是３个整点，有的行是４个整点，如ｔ —１．５。时，那么共有１１个整点，故选Ｃ． 评注整点这个概念并不难理解，但对 分类讨论、应用知识解决问题的能力要求较 高，要考虑各种可能的情况，利用数形结合直 观解题是关键． 例７ （２０１１高考四川卷・理科１０）某 运输公司有１２名驾驶员和１９名工人，有８ 辆载重量为１０吨的甲型卡车和７辆载重量 为６吨的乙型卡车．某天需运往Ａ地至少７２ 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一 次．派用的每辆甲型卡车需配２名工人，运送 一次可得利润４驹元；派用的每辆乙型卡车 需配１名工人，运送一次可得利润３５０元，该 公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数， 可得最大利润为（ ）．
第３１卷第１期２０１２年１月 散学教拳研究 ３７ （Ａ）４６５０元 （Ｂ）４７００元 ｆ ＞０，ｋ＞０， （Ｃ）４９００元 （Ｄ）５Ｏ００元’ ｔｍ＋２＞ｋ＞２√２ ． 解析设派用甲型卡车ｚ（辆），乙型卡 又 ，ｋ均为整数，故可进一步化为 车 （辆），获得的利润为 （元），则 ｆ ＞０， ＞０， ｕ＝４５０ｘ＋３５０ｙ＝５０（９ｘ＋７ｙ）． ＿｛ｌ ｍ＋１≥志＞２√２ 一 ｍ． （２） 由题意， ，Ｙ满足关系式 ｆｘ￣ｙ￣１２， 要使（２）成立 ，必有 ＋１＞２ ，又 ｌ２ｘ－｝－ｙ￣１９， ＞２，因此有ｍ＞３＋２√２，显然５＜３十２√２＜ １０ｘ－＋－６ｙ≥７２， ６，于是有 ≥６． ｌ０≤ ≤８， 当ｍ＝６时，由（２）式得志一７，此时方程 【Ｏ≤ ≤７， ｍｘ２－－ｋｘｂ２＝６ｘ。一７ｘ￣２＝０的根是÷，告 作出相应的平面区 在由｛ 满足题意．又当 进一步增大时，满足（２）式 定的交点（７，５）处取得最大值４９００元，选Ｃ． 的ｋ不会减小，所以 ＋ｋ取最小值时ｍ也 评注 线性规划的应用题约束条件较 取最小值，也就是说，当 一６，ｋ＝７时， ＋七 多，列式及作图都有些复杂，整点问题更加增 取最小值１３，故选Ｄ． 加了讨论的成分，难度增大，要提高数学的思 评注本题涉及到一元二次方程根的问 维与动手能力． 题，用到根的分布理论，转化用线性规划讨论 解决，其中又与整点问题相关，非仔细比较不 例８（２０１１高考重庆卷・理科１０）设 ｋ为整数，方程ｍｘ。一ｋｘ＋２—０在区间 能完成，综合性强，很好地考查了学生数学思 ，（Ｏ，１）内有两个不同的根，则 ＋ｋ的最小值 维能力． 为（ ）． 例９ （２０１１高考江苏卷・理科２３）设 （Ａ）一８ （Ｂ）８ （Ｃ）ｌ２ （Ｄ）１３ 整数 ≥４，Ｐ（口，６）是平面直角坐标系ｘＯｙ 解析 由题意，（ ）＝ｍ 一志 ＋２过定 中的点，其中口，ｂＥ｛１，２，３，…， ），ａ＞ｂ． 点（Ｏ，２），又方程伪 －－ｋｘ＋２—０在区间（Ｏ， （Ｉ）记Ａ 为满足 一６—３的点Ｐ的个 １）内有两个不同的根，故ｍ＞Ｏ，于是 数，求Ａ ； ｆ△＝（－－ｋ）０—８ｍ＞Ｏ， （Ⅱ）记Ｂ 为满足÷（口一６）是整数的点 ｌ，（Ｏ）一２＞０， Ｐ的个数，求Ｂ ． 厂（１）一ｍ－－ｋ＋２＞０， ｌＪ ０＜丧＜１， ｏ＜忌＜２ 解析 （Ｉ）点Ｐ的坐标满足条件；１≤６ ， ＝ｎ一３≤ｎ一３，所以Ａ ＝ 一３． ｆ ＞Ｏ，是＞０， （Ⅱ）设ｋ为正整数，记 （忌）为满足题 ｆｋ＜ｒｎ＋２， 设条件以及ｎ—ｂ＝３ｋ的点Ｐ的个数，只要 即＿｛ｌｋ＜２ｍ， （１） 讨论厂”（五）≥１的情形，由 １≤ ６＝ｎ——３尼≤ 扎——３愚， ｋ＞２Ｊ￣巩 通过验证发现当 一１，２均不存在满足不等 知厂月（忌）＝ 一３ｋ，且 ≤ ． 式组（１）的整数矗．当ｒｎ＞２时，显然有ｍ＋２ 设礼一１—３ｍ＋ｒ，其中ｍＥＮ。，ｒＥ｛０，１， ＜２ｍ，此时不等式可化为 ２），则 ≤ ．所以
３８ 数学教拳研究 第３１卷第１期２０１２年ｉ月 与三角函数图像有关的试题命题视角赏析 周 涛ｈ。 （１．江苏省江浦高级中学文昌校区 ２１１８００；２．南京师范大学２００９级教育硕士２１００９７） 本文所提到的三角函数主要指函数 — 函数的图像、函数的性质等知识点都是重点 Ａｓｉｎ（ｗｘ＋ ）（ —Ａｃｏｓ（ｃｏｘ－－４ ），３， Ａｔａｎ 考查的内容．综观上述试题，笔者认为虽然不 （ ｚ＋ ））．笔者对２０１１年全国各地高考试 乏亮点，但是绝大多数题还是沿用了“先求解 题中与上述三角函数有关的试题所考查的内 析式，再研究函数性质”的老模式，多少还是 容做了简要的统计，见表１． 给人以“保守有余，创新不足”之感． 表１ 《普通高中数学课程标准》内容与要求中 指出：结合具体实例 ，了解Ｙ：：＝Ａｓｉｎ（ｃｏｘ－－４ ） 的实际意义；能借助计算器或计算机画出ｙ ＝Ａ ｓｉｎ（ｃｏｘ￣ ）的图像，观察参数Ａ， ， 对 函数图像变化的影Ｈ向．很显然上述内容与要 求中的关键词是“图像”，因此“图像”应当是 与３，一Ａｓｉｎ（ｏｊｘ－４－ ）相关试题命制最重要的 着力点．下面笔者通过对近年高考三角函数 试题的探析，从图像的角度给出几个命题视 角，以期对您的高考复习有所帮助． 视角１：三角 函数图像与其它知识点的 交汇 例１ （２０１ｌ浙江 ＇ ．卷文１８）已知函数 可以看出，一方面考查的知识点分布相 ）＝Ａｓｉｎ（号ｚ＋ ）， 对均匀；另一方面重点突出，重 点内容重点考 Ｑ／ ｘＥ Ｒ，Ａ＞Ｏ，０＜９＜２， 查，譬如求函数 —Ａｓｉｎ（ ｚ＋ ）的解析式、 图１ Ｂ ＝∑ （愚）＝∑（ 一３ｋ） ｆｌ 丛 ６ ’， 詈是整数，３。止拦姒’ 量一１ ＾高１ ３ｍ（ｍ＋１） 一踟一——＿ 一 Ｉ 二 ６ ’３，詈不是整数． 。 ”。 （２ 一３ｍ一３） 评注本题给出的整点问题所用式子较 ２ ’ 为复杂，理解起来有一定的难度，要结合数列 将 一牢代入上式，化简得 的求和及计数原理 须具备一定的探究能力 才ｌｌｌｔＪｌｌｉ利完成． 一 ． （收稿日期：２０１１．０７—１２） Ｏ Ｏ
