2024年2月20日发(作者：)
第三讲 函数的方程迭代
大冶二中 纪德贵
1、函数迭代
定义和符号
设f(x)是定义在集合M上并在M上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下：
f(1)(x)=f(x) (x∈M)
f(n)(x)=f(f(n-1)(x)) (x∈M) (n≥2)
f(n)(x)称为函数f(x)的n次迭代。
有时还规定f(0)(x)=f(x) (x∈M)
2、不定方程
有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把分给小儿子，应该怎样分呢？
这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把111分给大儿子，分给二儿子，2461分给大儿子，211分给二儿子，分给小儿子，应该怎样分呢？
39111问题：一个老人有n头马，他打算把分给大儿子，分给二儿子，分给小儿子，并满abc足
111++)(n+1)=n
abc111n问老人的马的匹数n有多少种可能分法？显然就是求方程++=满足条件a 3、高斯函数[x] 定义：[x]－表示不超过x的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x的小数部分函数y={x}, {x}=x－[x]。 图象： y y 3 3 2 2 1 1 -1 o -1 o -2 1 -2 1 -3 -3 2 3 x 2 3 x -2 -2 -3 -3 y=[x] y={x} 性质： ① y=[x]的定义域为R，值域为Z，y={x}定义域为R，值域为[0,1)，是周期函数。 -1 -1 ② ③ ④ ⑤ ⑥ 对任意实数x，有x－1<[x]≤[x]+1； [x]是不减函数，即当x≤y时，有[x]≤[y]； [x+m]=[x]+mm∈Z； 对一切实数x,y有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； 若x≥0, y≥0，则[xy]≥[x]·[y]； [x] x为整数⑦ [－x]= [x]1 x不是整数⑧ 若n∈N*, x∈R，则[nx]≥n[x]； ⑨ =，其中x∈(0,+∞), n∈N*； nn⑩ 把n!中素数p的最高次记为p(n!)，则p(n!)=+x[x]nnn+„+，这里pk≤n≤pk+1； 2kppp取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。而在计算机的理论上，高斯函数具有特别重要的地位。由于它知识少，而技巧性强，所以经常出现在国际、国内的竞赛的试卷上。 一、填空题 1．已知f(x)+2f(解析：f(x)=1)=3x，则f(x)的解析式为 。 x2-x x121x+x 222．已知f(x)=ax2+bx+c，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= 。 解析：f(x)=二、解答题 3．设f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。 ①求证：AB；②如果A={－1,3}，求B。 解析：①设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A ∵A={x|x=f(x)} ∴x0=f(x0)f[f(x0)]=f(x0)=x0x0∈B ∴AB ②∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}={x|x2+(p-1)x+q=0} ∴13(p1)p1f(x)= x2-x-3 (1)3qq3∵f[f(x)]=xx4-2x3-6x2+6x+9=0(x2-2x-3)(x2-3)=0x=-1或3或3或-3 ∴B={-1,3,-3,3}。 4．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立： ①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。 若g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值。 解析：反复利用② ∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5 (*) ∴f(x+5)=f(x)+5 ∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1 ∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=1 5．已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。 ①求f(x)的解析式； ②是否存在实数m，n (m 解析：①∵方程f(x)=2x有等根⊿＝0b=2 ∵f(x－1)=f(3－x)f(x)=f(2-x)图象的对称轴为x=-∴f(x)=-x2+2x ②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n≤1n≤b=1a=-1 2a1 4∵抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤1时，f(x)在[m,n]上为增函数 4若满足题设条件的m,n存在，则 f(m)4mm0或m2 f(n)4nn0或n2∵m 4∴m=-2,n=0，这时定义域为[-2,0]，值域为[-8,0] ∴存在m=-2,n=0，满足条件。 6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x,y为任意实数；③任意正实数x,y满足x>y时，f(x)>f(y)。试求下列问题： （1）求f(1), f(4)； （2）试判断函数f(x)的单调性； （3）如果f(x)+f(x－3)≤2，试求x的取值范围。 解析： ①f(1)=0, f(4)=2；②增函数；③(3,4]。 7．已知函数f(x)=6x－6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], „, gn(x)=f[gn-1(x)], „。 ①求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N*, gn(x0)=x0都成立； ②若实数x0，满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。 ③设区间A=(-∞,0)，对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0，且n≥2时，gn(x)<0。试问是否存在区间B (A∩B≠)，对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)<0？ 解析： ①数学归纳法：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；当n=k时，在gk(x0)=x0 (k∈N*)成立，则gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0，即当n=k+1时，命题成立。 ∴对一切n∈N*，若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0。 ②由①知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0， ∵f(x0)=x06x0－6x02=x0x0=0或x0=5。 6③∵f(x)<06x－2x2<0x<0或x>1 ∴gn(x)<0f[gn-1(x)]<0 gn-1(x)<0或gn-1(x)>1 要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)<0，必须有g1(x)<0或g1(x)>1 ∵g1(x)<06x－2x2<0x<0或x>1 g1(x)>16x－2x2>13333 66∴对于区间(-∞,0), (3333,)和(1,+∞)内的任意x，只要n≥2,n∈N*，都有gn(x)<0。 668．对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], „, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2)。 ①若f(x)存在不动点，试问F2(x), F3(x), „,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。 ②设f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)<0 （n∈N*,n≥2）成立的所有正实数x值的集合。 解析： ①y=f(x)存在不动点x0，则f(x0)=x0，下证x0是Fn(x)的不动点。 ∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0 ∴x0也是F2(x)的不动点。 若Fn-1(x)存在不动点x0，即Fn-1(x0)=x0 ∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0 Fn(x)存在不动点x0 综上所述：对于任意n∈N*,n≥2，Fn(x)都存在不动点，并且有相同的不动点。 ②方法一： ∵f(x)<02x－x2<0x<0或x>2 ∵要使Fn(x)<0 (n≥2)f[Fn-1(x)]<02Fn-1(x)－[Fn-1(x)]2<0Fn-1(x)<0或Fn-1(x)>2 依此类推，要使F2(x)<0f[F1(x)]<0f[f(x)]<02f(x)－[f(x)]2<0f(x)<0或f(x)>22x－x2<0或2x－x2>2x<0(舍去)或x>2或x∈x>2 ∴所求x的取值范围为(2,+∞)。 9．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0 ①求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1； ②判断f(x)在R上的单调性； ③设集合A={(x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)}，集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围。 解析： ①∵f(m+n)= f(m)·f(n) 且当x>0时，0 ∴f(1)=f(1)f(0)f(0)=1 设m=x<0,n= -x>0 ∴f(0)=f(x)f(-x)f(x)=1>1 f(x)②设x1 ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0 ∴f(x)在R上单调递减 ③∵f(x2)·f(y2)>f(1)f(x2+y2)>f(1) x2+y2<1 ∵f(ax-y+2)=1=f(0) ax-y+2=0 ∵A∩B= ∴2a21≥1a2+1≤4－3≤a≤3。 例10设p为奇素数，试求112+=的正整数解。 xyp解析：∵112+=p(x+y)=2xy4xy－2p(x+y)+p2=p2(2x－p)(2y－p)=p2 xyp∵p是素数，x>0, y>0 2xp12xpp2xpp2∴或或 22ypp2ypp2yp1p1p(p1)xxxp22或或 p1p(p1)ypyy22例11求方程组xz2yt3的整数解。 xtyz1解析：∵xz2yt3(xz－2yt)2+(xt+yz)2=11(x2+2y2)(z2+2t2)=11 xtyz1∴x2+2y2=1或z2+2t2=1 ①x2+2y2=1x=±1, y=0 ∵xt+yz=1t=±1 ∴z=±3 2②z+2t2=1t=0, z=±1 ∴y=±1, x=±3 ∴所求方程组有4组解：(1,0,3,1)、(－1,0,―3,―1)、(3,1,1,0)、(―3,―1,―1,0)。 例12求方程2x2y2+y2=26x2+1201的正整数解(x,y)。 解析：∵2x2y2+y2=26x2+1201(2x2+1)(y2－13)=1188=22·33·11 ∴2x2+1与y2－13均为22·33·11的因数 ∵2x2+1为奇数2x2+1为33·11的因数 由下表可知，所求的正整数为(4,7)和(7,5)。 2x2+1 3 9 11 27 33 99 297 x 1 2 / / 4 7 / 132 36 12 y2－13 396 y / / 7 5 例13求x2+y2=328的正整数解。 解析：显然x≠y，不妨设x>y>0 ∵328是偶数x、y的奇偶性相同x±y是偶数 令x+y=2u1, x－y=2v1 (u1、v1∈Z, u1>v1>0)x=u1+v1, y=u1－v1 ∴u12+v12=164 同理，令u1+v1=2u2, u1－v1=2v2 (u2、v2∈Z, u2>v2>0)u1=u2+v2, u1=u2－v2 ∴u22+v22=82 同理，令u2+v2=2u3, u2－v2=2v3 (u3、v3∈Z, u3>v3>0)u2=u3+v3, u2=u3－v3 ∴u32+v32=41u3、v3必为一奇一偶，且0 依次取v3=1,2,3,„,5代入u32+v32=41得u3=5, v3=4x=18, y=2 ∴所求的解为x=18,y=2或x=2, y=18。 学生注意：合理分层换元是解决本题的关键。 例14解方程4x2－20[x]+23=0。（1993年河北省数学竞赛试题） 分析：这个方程不是二次方程，但可利用不等式x－1<[x]≤x把方程化为不等式，先求出x的范围，再在给定的范围内把方程转化为二次方程求解。 解析：∵x－1<[x]≤x－20x≤－20[x]<－20(x－1) ∴4x2－20x+23≤4x2－20[x]+23<4x2－20(x－1)+23 ∵4x2－20x+23≤05252≤x≤ 224x2－20(x－1)+23>04x2－20x+43>0x∈R ∴5252≤x≤ 2252≤x<2时，[x]=1，4x2－20[x]+23=04x2+3=0x∈； 217； 2①当②当2≤x<3时，[x]=2，4x2－20[x]+23=04x2－17=0x=③当3≤x<5237时，[x]=3，4x2－20[x]+23=04x2－37=0x=； 221737和x=。 22∴原方程的解为x= 1(4x2+23)的图象，找交点所在的范围求解。 205例15求函数f(x)=[x]+[2x]+[x]+[3x]+[4x]在0≤x≤100上所取的不同的整数值的个数。3学生思考：画出y=[x]及y=（1993年亚太地区数学竞赛试题） 分析：[x]是一种跳跃取值的函数，由于[x]、[2x]、[3x]、[4x]在0≤x<1时可分别取到0、1、5x]则在0≤x<3上可取到5个值。但在0≤x<3上，当x=0时，这5个3135取整函数同时“跳跃”，在x=1、2时，[x]、[2x]、[3x]、[4x]同时“跳跃”，在x=、、2222、3、4个值，而[时，[2x]、[4x]同时“跳跃”，故在在0≤x<3上f(x)可以取到22个不同的值。 解析：在0≤x<3时，当x递增依次0,经过7997125811,,,,,,1,,,,,,,,2,,,,,,时，f(x)的值发生跳跃变4325345432345435234化，在x∈[0,3)时，f(x)取得22个不同的值； 同样在x∈[3,6)时，f(x)取得22个不同的值； ∴在x∈[0,99)时，f(x)取得22×33=726个不同的值； 在x∈[99,100]时，f(x)取得8个不同的值； ∴在x∈[0,100]时，f(x)取得726+8=734个不同的值； 10n例16当n是怎样的最小自然数时，方程=1989有整数解？（1989年全苏数学竞赛试x题） 分析：利用[x]≤x<[x]+1。 10n1110nn解析：∵＝19891989≤<1990×10 19901989xx∵11=0.00050251„, =0.00050276„ 19901989∴当n=7时，5025.1„ ∴n的最小值为7。 例17设S=1+12+13+„+1980100，求[S]。（1978年武汉市数学） 分析：如能把S限制在两个相邻整数之间，则S的值可以确定，因此应对S的值适当放缩以使其较易确定其取值范围。 解析：∵1n12<22n13<2n1n1=2(n－n1) ∴S=1+++„+980100<1+2(2－1)+2(3－2)+„+2(980100－980099)=1+2(990－1)=1997 ∵1n<22n>2n1n13+„+=2(n1－n) ∴S=1+12+1980100>1+2(3－2)+2(4－3)+„+2(980101－980100)=1+2(980100－2)=1981－22>1978 ∴1978 ∴[S]=1978 例18已知S=1323332006，求[S]。 分析：估算出所求数的大致范围，只要能说明该数介于两个相邻整数之间即可。 解析：∵123=1278<2006<2197=13312<32006<132017<2005+32006<2018 12<3200532006<132016<2004+3200532006<2017 12<20043200532006<13„ 11<17153171632006<12„ 1<123332006<2 ∴[S]=1。 33333