2024年2月14日发(作者：)
初中数学竞赛中的高斯函数问题
2中等数学●数学活动课程讲座●
初中数学竞赛中的高斯函数问题
姜照华
(山东省枣庄市第二十九中学，277000)
中图分类号：0174文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)11—0002—04
(本讲适合初中)
在初中数学竞赛中，经常出现含有取整符号【石】的问题．所谓的【茗】，就是表示不超过实数髫的最大整数，例如，【3．4】=3，【一2．7】=一3．这一规定最早为大数学家高斯所使用，故【菇】被称为高斯函数．
很明显，由规定直接可得：
(1)当石是整数时，【茗】=茗；
’(2)当石不是整数时，茗一l<【石】<戈．
将两种情况合在一起，即是对任一实数z有茗一1<【戈】≤戈．
运用这一基本性质和高斯函数的意义，可轻松地解决相关的赛题．
1求单个高斯函数值
例1设a：堑羔；丛．贝0【d16】=一
(2008，“五羊杯”数学竞赛(初三))
【分析】注意到a：巫#-q卢：亟≠(0<芦<1)能使a+卢=届与qB=1．因此，可以通过计算a16+口16的值进行判断．
解设卢：笪≯．则
a+卢=石，邮=1．
于是，a2+矿=(a+卢)2—20口=3，
a4+∥=(a2+矿)2—2(af t)2=7，
a8+矿=(∥+矿)2—2(af t)4=47，
a16+矿=(a8+矿)2—2(q8)8=2207．
由0<卢<1，知0<／316<1．
所以，2206<2207．<="" p="" t="">
收稿日期：2010一∞一2l
因此，【a16】=2206．
例2计算【V(五i-乃赢i三丽】
的值(2008共出现了2008次)．
(2008，青少年数学国际城市邀请赛)
【分析】尽管有2008次开平方运算，只要从里往外耐心地进行估算，规律自然会显现出来．
解记d。=√2008+42008+…+以008 (共7／,个2008，乃=l，2，…)．
由44<√2008<45，知
452<2008+44<2008h俪
<2008+45<462．
则45<42008+~／2008<46，即
45<Ⅱ2<46．
故452<2008+45<2008+a2
<2008+46<462．
于是，45<以008+02<46，即
45
同理，45 p="">
所以，【a2瞄】=45．
例3设
一
11 52—[(10—+——+…+_xll-1)2][(1l x12]'1)2]
L10×l l J L11×12J
r(49xS0—1)‘1
【49x50J
则[30S】=()．
(A)l(B)2(C)3(D)0
(2002，“五羊杯”学竞赛(初二))
【分析】此题需要化简s，以便判断30S
