2024年2月11日发(作者：)
中学物理中的思想方法
比知识更重要的是方法，科学的思想方法是一把金钥匙
第一节 思维的困境与美丽的物理
-----我校学生物理学习中的思维症结与物理中的科学思维方法
一、我校学生物理学习中的思维症结， 如： (1)概念模糊 (2)机械推理 (3)思维定势 (4)观察不细 (5)硬套公式 (6)运用不活 (7)感性不足 (8)理解片面 (9)不善于发现隐含条件
(10)对实际问题缺少方法
二、解决我校学生物理学习思维症结的主要手段——质疑
１.质疑的一般方法：有的学生学习上虽然有很多困难，但是要他提问却提不出，这是因为没有掌握提问的方法。如：因果法，比较法，推广法，变化法，反问法。
２.质疑例析
三、学生科学思维目标
思维的深刻性，思维的灵活性，思维的批判性，思维的敏捷性，思维的独创性
四、物理中的科学美
当代物理学家杨振宁教授说过“科学中存在美，所有科学家都有这种感受。”科学美来源天地的自然美，但它不是指大自然美的景色，而是指潜藏在感性美之后的理性美，并为理智所能领悟的自然界内在结构所显示的和谐、秩序、简洁、对称、统一的美，是审美者通过理解、想象、逻辑思维所体验到的美。科学美是中学生审美观念和审美素质教育的重要组成部分之一。物理是研究自然界中物体运动变化规律的一门科学，是自然科学的一个重要组成部分，那么物理中蕴含着美也就是必然的。
1． 简洁美与深刻美
简洁美是以简单、洁净呈现其美感，简洁美是科学美的特征之一。著名物理学家爱因斯坦曾指出：“自然规律的简单性也是一种客观事实，而且正确的概念体系必须使这种简单性在主观方面和客观方面保持平衡。”所以，作为反映物体运动变化规律的物理来说，那种最简洁的物理理论最能给人以美的享受。物理美的简洁性并不是指物理内容本身简单，而是物理理论体系的结构和物理规律的数学表达形式简洁。物理概念和规律能客观的反映物质世界的属性及其运动变化规律，所以物
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理本身的内涵又具有深刻性。例如，爱因斯坦的质能联系方程E=mc2，其反映的质量与能量之间的联系及其数学表达形式简洁无比，但却成为指导了人们进一步对核反应规律的认识和从核反应中去获得巨大能量的基础理论，从这点讲又是深刻的。在教学中，通过从核反应中原子核质量的变化并伴随释放或吸收巨大的能量，而原子核质量的变化与释放或吸收能量之间的关系却由E=mc2这样简洁的关系式所描述，可使学生感悟到物理关系式的简洁美。再从正负电子相遇“湮灭”成光子，而光子即为能量，又能使学生体会到E=mc的深刻性和它描述的广泛性。同时还可以讲述由美籍华人科学家，诺贝尔奖获得者丁肇中参与研制的“阿尔法磁谱仪”搭乘美国“发现”号航天飞机进入了宇宙空间，进行探寻反物质的意义。按照相对论观点，科学家认为，在我们生活的物质世界中，可能还存在有物质世界的孪生兄弟——反物质，正电子就是负电子的反电子，同样也有负原子核为正原子核的反原子核，由负原子核和正电子就构成了反物质的原子，正反两种物质相遇“湮灭”能放出巨大的能量，湮灭的质量与产生的能量间关系也为E=mc。这样的介绍可以使学生很好的理解科学美在理性与实践上的含义，可以使学生从科学美中的简洁美和深刻美中进一步理解物理概念和规律，同时通过科学的审美观念也激发了学生学习物理的兴趣和极积性。
2． 统一美与奇异美
大自然中的物体运动变化和现象是千姿百态，千变万化的，每一物体都有区别于其它物体的特殊性，物理所研究的就是从这些不同事物运动变化的多样性中找出它们的内在联系和共性，通过这种联系和共性来构成一个统一的理论体系，这样就形成了既千变万化又和谐统一的结构美，这也就是科学美中的多样性统一美。统一美是物理结构美的重要标志，在物理中一些表面看来不相同的概念、定理、定律，在一定的条件下可以处于一个统一的系统中。中学物理中这种多样性统一美的例子是很多的，例如，描述宏观物体机械运动的概念、定理、定律是各种各样的，表面并不相关，牛顿力学却能把地上的和天上的所有物体的机械运动的规律都统一起来；麦克斯韦的电磁理论，又把表象完全不同的电、磁、光的运动统一了起来，所以牛顿力学理论和麦克斯韦的电磁理论都具有统一美。统一美是物理研究与发现过程中所追求的，也是中学物理教学与学习的科学方向，在组织教学和指导学生学习时，通过研究系统的共性，把共性归纳成为简洁而深刻的统一形式，并启发学生去品味其中的美感，以培养学生的科学的审美观念。自然界中的物体都有区别于其它物体的个性，这种个性往往闪烁着超群脱俗、不同凡响的奇异美，正如培根所说：“没有一个极美的东西不是在调和中有某种奇特！”科学的奇异美表现在两个方面，一是概念或结论的不同凡响、惊人骇世；二是其表达的神奇奥妙、令人折服。例如，E=mc告诉我们每单位物质都具有惊人的能量，而原子弹、氢弹则能释放出这种惊天地泣鬼神的能量，E=mc所表达的内涵就是如此的深刻，而形式又是这样的简洁，确给人以一种惊人骇世之感，这就是一种奇异美。统一美是共性之美，奇异美是个性之美，这两种美交相呼应，构成了整个物理体系的科学美。在物理教学中，抓住物体运动变化的某些个性，往往可以得到闪烁着奇异光彩的结论或方法。例如有这样一道高考题：一个质量为m，带有电荷－q的小物体，可在水平轨道Ox运动，O端有一与轨道垂直的固定墙，轨道处于匀强电场中，埸强大小为E，方向沿Ox是正方向，如图所示，小物体以初速度v0从x0点沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f作用，f 2 2222 与赞赏，学生很自然的就能从这个解答中领悟出奇异美，同时也体验到简洁美。学生通过这类问题的讨论，都能从愉悦中体会和鉴赏出科学中的奇异美，由此也就在深化审美观念的同时培养了学生研究物理问题的兴趣。 3． 模型美与和谐美 一般地说，美至少有两个各具特征的层次，一个是事物外在的感性形态美；另一个则是内在的和谐理性之美。物理源于客观实体，但又高于客观实体，物理是通过建立抽象的、理想的模型来做为构造理论体系的基础，这些模型和理论分别具有模型美与和谐美。例如物理中的电场线和磁感线是一类抽象模型，它们都是为形象描述客观实体电场和磁场性质所画出的具有一定规律并且颇具美感的线条，这些线条以美的形态把抽象的场变为能够为视觉感受到的模型，模型在体现模型美的同时也体现了电场和磁场的抽象美。物理中抽象模型是美的，光滑平面、理想气体等理想模型也是美的，实验中的仪器、一些实体模型也都以其优美的造型，庄重的色彩给人以美感。和谐美是理性地研究自然的基本思路，自然界存在的和谐性是很多科学家固定的思想方式和研究方法，并成为一种信念和追求。和谐美是指事物和现象的各种要素、各个部分、各个方面的协调有序、匀称流畅，是具有多样化的特殊统一美。例如，磁通量把本来并不存在的抽象物理模型——磁感线与描述客观存在的磁场强弱的物理量——磁感应强度有机的联系了起来，这就充分体现了和谐美的主要特征：协调有序和多样统一。再例如，中学物理中理想气体的状态方程 ，就把玻意耳定律、查理定律和盖×吕萨克定律在理想条件下统一了起来，这又是和谐美的匀称流畅、多样统一。大凡科学理论和科学规律，都具有和谐美，这是因为理论和规律都具有内在的结构和谐与外在的功能和谐的两个方面的统一，这种和谐与统一就是科学美的重要组成部分。教学中通过对类似上述模型与规律的分析，可以促使学生从理性上感悟出物理中的科学美，由此也就可以在学习物理的过程中发现更多的物理美，这对学习物理方法的优化无疑是十分重要的。 4． 状态美与过程美 这是从定态与动态的审美角度来理解科学规律所体现的美感，所谓定态是指物体运动变化过程中的固定或稳定状态。由于物体运动变化的某一瞬间也都具有确定的物理量值，所以这个瞬间状态也是一种定态，是一种瞬间定态，而过程则是这些瞬间定态的连续无缝集合。物体的运动变化往往是连续的，用牛顿运动律及运动学规律可以求出某一瞬间的有关物理量，这些瞬间的量就构成了问题过程的细节，所构造出的物理情景以其连续和谐呈现出过程美；状态美则体现对定态量的定义和数量上的把握，动能、势能、动量等都是定态量，无论动量守恒、还是机械能守恒都体现了状态量对定态变化前后的一致和谐性，使物理的状态情景具有美感。过程美与状态美同认识物体运动变化的动态与定态的方法相对应，二者是学习与研究物理科学的互补的认识途径。学习物理既要善于从状态、固定上去把握物体，又要善于从过程、运动上去掌握运动变化的规律，从定态和动态中去理解、去体验物理情景的状态美与过程美，通过美化物理情景来达到到活化物理情景，从而能使学生对物理的理解从科学美上得到形象化的拓宽和加深。 5． 结构美与对称美 物理概念和规律是从本质与现象、内容与形式的角度来揭示自然规律的。本质可以理性地说 3 明现象，形式的结构可以表达出本质内容的深刻内涵和广阔外延。例如，密度的定义式 、电阻的定义式 、电场强度的定义式 等，都以其简单相同的比的结构来定义具有深刻内涵和广阔外延的不同物理概念，这种比是本质属性与形式结构的和谐，这种和谐就显示出它们的结构美。结构美通常都具有简单和谐性、对称相似性和深刻普适性，由此再看上述几个定义式，其结构美的特征就一览无疑了。科学美中的对称美来源于自然界物质形态美及其运动图景所具有的广泛对称美，借助于建筑美学很容易理解对称美概念，一些建筑物外表的对称显示出一种空间方位上对称的美感，我国古建筑如天安门、天坛、故宫等就呈现出庄严稳重的对称美。物理学家劳厄曾把物理公式中极端精炼和庄严稳重的对称结构称之为“美学上真正完美的对称形式”。十分强调审美意识的物理学家狄拉克正是由对称美出发，依据我们所处的物质世界提出了反物质的概念，可见审美意识也是物理发现和创造的基础。同样在学习物理中的审美意识有助于强化对物理概念和规律的理解，如机械能守恒定律的表达式 、动量守恒定律的表达式 等，都具有平稳庄重的对称美；电场与磁场、波粒二象性、负电子与正电子也都具有内涵与外延的对称美。在教学中指导学生从规律结构的对称性来认识自然中的守恒规律，并启发学生感悟出对称是一种美的结构，从中进行审美意识的培养。从对称美的角度去理解物理和掌握这些规律，会使学生对貌似枯燥的理论产生愉悦感，由此即可提高对学习物理的兴趣。 物理学本身是一个美的世界，蕴含着丰富的科学美，不管是那一个概念、那一条规律，都同时具有多种形式的科学美，如牛顿第二定律F=ma，它就具有结构简洁美、内涵深刻美、描述运动状态美和过程美、宏观物体运动普适统一美等。马克思曾指出过：“人类是按美的规律去改造世界的。”这就是说，美不仅是人类所应追求的目标之一，而且还要按照美的规律去认识世界、改造世界。那么物理，做为自然科学的一门主科，在中学物理教学中，就应更多地追求在教学中的科学美，把指导学生从科学美的方面去认识物理、学习物理来作为物理教学中的一个重要内容。认识与发掘物理中的科学美，从科学美的角度去认识物理、研究物理，一定可以使学生对物理的理解在科学审美中得到飞跃和升华。 五、中学物理中蕴藏的思想方法 如：形象思维类有观察法、实验法、隔离法、整体法、相似形法、比喻法、展开法、作图法、图像法、估算法、叠加法等等, 抽象思维类有归纳法、推理法、理想化方法、穷举法、假说法、极端法、逆推法、排除法、解析法、微元法、类比法、等效法等等。 课后作业：选择一个物理方法撰写一篇小论文 4 第二节 理想化方法及运用 一、理想化模型 自然科学的发展史，也是不断地建立和运用物理模型的历史，它能使人们把握本质和主流。理想模型是在实验事实的基础上，通过科学推理想象得出的。伽利略的理想斜面，汤姆逊、玻尔、卢瑟福的原子模型，都是物理模型的典型范例。 1．什么是物理模型 自然界是纷繁复杂、千变万化的，人们要研究的实际问题往往有众多的因素，为了研究问题的方便，物理学上常常采用“简化”或“理想化”的方法，对实际问题进行抽象化处理，保留主要因素、略去次要因素，得到一种能反映原物质本质特性的理想的物质（过程）或假想结构，此即为物理模型。简单地说，物理模型就是人们为了研究物理问题的方便和探讨物理事物的本质而对研究对象所作的一种简化的描述或模拟。它是以物理现象和实验定律为基础，通过分析与综合、比较与分类、抽象与概括等思维方式，采用理想化方法所创造的，能再现研究对象本质和内在特性的一种简化模型。物理模型是在抓住主要因素、忽略次要因素的基础上建立起来的，它能具体、形象、生动、深刻地反映事物的本质和主流。物理模型是形象思维和抽象思维的统一，建立物理模型是物理学中很重要的一种研究方法。 2．物理模型的特点 物理模型的第一个特点是典型性，物理模型是从一类物理问题中，抓住主要的本质问题，删除干扰和次要因素，集基础知识与基本规律于一体，具有代表性的结晶。物理模型的第二个特点是方法性，物理模型不仅是知识的结晶，同时也是思维的结晶，掌握好物理模型，除了加深对物理概念的理解之外，还可以从物理模型的建立，理解物理知识深刻的内涵和外延，体会将物理知识应用于解决实际问题的思路。物理模型的第三个特点是美学性，物理模型能简明扼要地揭示物理问题，体现了它的形式美，物理模型是知识与思维的产物，是知识与能力的完美结合，体现了它的和谐美，随着学习的深入，对同一模型会有不同层次的体会和感悟，会为它丰富的内涵所折服，体现出它的内在美。 3．中学物理中常见的物理模型 物理模型是物理思想的产物，是科学地进行物理思维并从事物理研究的一种方法，中学物理中常见的物理模型，可以归纳如下： （1）、物理对象模型化。物理中的某些客观实体，如质点，舍去物体的形状、大小、转动等性能，突出它所处的位置和质量的特性，用一有质量的点来描绘，这是对实际物体的简化。还如杠杆、点光源、刚体、点电荷、薄透镜、连通器、单摆、理想气体等都是理想模型，这些理想模型都是以客观存在为原型，但在抽象思维的过程中运用了“忽略次要因素，抓住主要因素”这个基本方法， 5 从而使物理问题简化。再如，为了形象直观描述一个抽象的概念，还运用了一些如电场线、磁感线等理想模型，通过这些模型将电场、磁场的物理性质描述得形象直观，便于人们理解认识。 （2）、物体所处的条件模型化。当研究带电粒子在电场中运动时，因粒子所受的重力远小于电场力，可以舍去重力的作用，使问题得到简化。力学中的光滑水平面；热学中的绝热容器、电学中的匀强电场、匀强磁场等等，都是把物体所处的条件理想化了。 （3）、物理状态和物理过程的模型化。例如，电学中的稳恒电流、等幅振荡；热学中的等温变化、等容变化、等压变化；力学中的自由落体运动、匀速直线运动、简谐运动、弹性碰撞等等都是物理过程和物理状态的模型化。 （4）、理想化实验。在实验的基础上，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，根据逻辑推理法则，对过程进一步分析、推理，找出其规律。例如，物理教材中介绍了伽俐略斜面实验，这是一个理想实验，这个理想实验为牛顿第一定律的产生奠定了基础，可见，理想化实验并不是脱离实际的主观臆想，它是以实践为基础，运用逻辑法则进一步揭示出客观现象和过程之间内在逻辑联系，并由此得出结论。因此，理想化实验是一个思想模型，这个模型隐藏的方法启发人们认识了惯性定律，甚至相对论、量子理论的建立都离不开理想化实验。 （5）、物理中的数学模型。客观世界的一切规律原则上都可以在数学中找到它们的表现形式。在建造物理模型的同时，也在不断地建造表现物理状态及物理过程规律的数学模型。数学是学习物理的基础和工具，物理中有许多问题可以用数学模型去研究处理，这样，可以开阔视野，培养学生思维能力，同时，也可以解决一些单靠常规物理方法难以解决的问题。例如，构造方程组，解决密度问题；构造一次函数，解决温度计刻度问题；构造比例，解决与电功率有关的问题；构造不等式，解决凸透镜焦距问题。 二．理想实验 所谓“理想实验”，又叫做“假想实验”、“抽象的实验”或“思想上的实验”，它是人们在思想中塑造的理想过程，是一种逻辑推理的思维过程和理论研究的重要方法． “理想实验”虽然也叫做“实验”，但它同前面所说的真实的科学实验是有原则区别的，真实的科学实验是一种实践的活动，而“理想实验”则是一种思维的活动；前者是可以将设计通过物化过程而实现的实验，后者则是由人们在抽象思维中设想出来而实际上无法做到的“实验”． 但是，“理想实验”并不是脱离实际的主观臆想，首先，“理想实验”是以实践为基础的．所谓的“理想实验”就是在真实的科学实验的基础上，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，对实际过程作出更深入一层的抽象分析．其次，“理想实验”的推理过程，是以一定的逻辑法则为根据的，而这些逻辑法则，都是从长期的社会实践中总结出来的，并为实践所证实了的． 在自然科学的理论研究中，“理想实验”具有重要的作用．作为一种抽象思维的方法，“理想实验”可以使人们对实际的科学实验有更深刻的理解，可以进一步揭示出客观现象和过程之间内在的逻辑联系，并由此得出重要的结论． 6 例如，作为经典力学基础的惯性定律，就是“理想实验”的一个重要结论．这个结论是不能直接从实验中得出的．伽俐略曾注意到，当一个球从一个斜面上滚下而又滚上第二个斜面时，球在第二个斜面上所达到的高度同它在第一个斜面上开始滚下时的高度几乎相等．伽俐略断定高度上的这一微小差别是由于摩擦而产生的，如能将摩擦完全消除的话，高度将恰好相等．然后，他推想说，在完全没有摩擦的情况下，不管第二个斜面的倾斜度多么小，球在第二个斜面上总要达到相同的高度．最后，如果第二个斜面的倾斜度完全消除了，那么球从第一个斜面上滚下来之后，将以恒定的速度在无限长的平面上永远不停地运动下去．这个实验是无法实现的，因为永远也无法将摩擦完全消除掉．所以，这只是一个“理想实验”．但是，伽俐略由此而得到的结论，却打破了自亚里士多德以来1000多年间关于受力运动的物体，当外力停止作用时便归于静止的陈旧观念，为近代力学的建立奠定了基础．后来，这个结论被牛顿总结为运动第一定律，即惯性定律． 爱因斯坦在建立狭义相对论时，曾经作了关于同时性的相对性的一个“理想实验”．即当两道闪电同时下击一条东西方向的铁路轨道时，对于站在两道闪电正中间的铁道旁边的一个观察者来说，这两道闪电是同时发生的．但是，对于乘坐一列由东向西以高速行进的火车正好经过第一个观察者对面的第二个观察者来说，这两道闪电并不是同时下击的．因为，第二个观察者是在行近西方的闪电而远离东方的闪电，西方的闪电到达他的眼里的时间要早一点．因此，在静止的观察者看来是同时发生的闪电，在运动中的观察者看来却是西方先亮，接着东方再亮．同时性的相对性这一概念的提出，是狭义相对论建立过程中的一个关键． 爱因斯坦在建立广义相对论时，作了自由下落的升降机的“理想实验”．他设想：在自由下落的升降机里，一个人从口袋中拿出一块手帕和一块表，让它们从手上掉下来，如果没有任何空气阻力或摩擦力，那么在他自己看来，这两个物体就停在他松开手的地方．因为，在他的坐标系中，引力场已经被屏蔽或排除了．但是，在升降机外面的观察者看来，则发现这两个物体以同样的加速度向地面落下．这个情况正揭露了引力质量和惯性质量的相等．爱因斯坦又设想了另一种情况的“理想实验”．即：升降机不是自由下落，而是在一个不变的力的作用下垂直向上运动(即强化了升降机内部的引力场)．同时设想，有一束光穿过升降机一个侧面的窗口水平地射进升降机内，并在极短的时间之后射到对面的墙上．爱因斯坦根据光具有质量以及惯性质量和引力质量等效的事实，预言一束光在引力场中会由于引力的作用而弯曲，就如同以光速水平抛出的物体的路线会由于引力的作用而弯曲一样．爱因斯坦预言的光线在引力场中会弯曲这一广义相对论效应，已为后来的观测结果所证实． 量子论的建立也同“理想实验”密切相关．在量子力学中，海森堡用来推导测不准关系的所谓电子束的单缝衍射实验，也是一种“理想实验”．因为，中等速度的电子的波长约为10-8厘米左右，这跟原子之间的距离属于同一个数量级．因而，只要让电子束穿过原子之间的空隙，就会发生衍射．但是，要想制成能够使电子发生衍射的单缝，首先就必须做到把单缝周围的所有原子之间的空隙都给堵死．实际上这是做不到的．在实验中，人们只能做到电子的原子晶格衍射实验，而无法实现电子的单缝衍射实验． “理想实验”在自然科学的理论研究中有着重要的作用．但是，“理想实验”的方法也有其一定的局限性．“理想实验”只是一种逻辑推理的思维过程，它的作用只限于逻辑上的证明与反驳， 7 而不能用来作为检验正确与否的标准．相反，由“理想实验”所得出的任何推论，都必须由观察或实验的结果来检验． 三、善于把生活中的原型分解、简化、抽象成物理模型 例 跳绳是一种健身运动，设某运动员的质量为50kg，他1min跳绳180次，假定在每次跳跃中，脚与地面接触时间占跳跃一次所需时间的2/5，则运动员跳绳时克服重力作功的平均功率（指对跳绳的整个过程取平均──笔者注）是────W．（g取10 m/s）（1994年上海高考题） 解析 本题直接取材于人们都很熟悉的生活现象，许多学生感到无从下手难度很大．这里的关键有两点，第一是经分解、简化、抽象建立正确的物理模型．第二是用功能关系理顺解题的思路． 首先，把跳绳的运动分解成脚脱离地面和脚接触地面两段过程．在人脚跳离地面到落回到地面这段时间，由于运动速度比较小，空气阻力可以忽略，而且主要是身体（或质心）上下的平动，故可以建立竖直上抛运动的简化模型． 然后再考虑到，运动员跳绳时人体消耗生物能转化为跳起时的动能，而且正因为具有该动能才能克服重力作功，二者的数值应当相等．这样，只要根据题中给出的条件和竖直上抛公式，求出跳起时的动能和平均跳一次的时间，就可以求出题中所要求的平均功率． 运动员平均每跳一次的时间为T= t/N = 60/180s = 1/3s，则每次在空中停留时间为T′=（1－2/5）T =1/5s．由竖直上抛公式，上升到最高点的时间t1= v0/g = T′/2．可得v0 = T′g/2 =1/2×1/5×10m/s= 1m/s． 故运动员跳绳时克服重力作功的平均功率为 2 课后作业： 1．额定功率为80kW、质量为2.0t的汽车，在平直公路上行驶。设汽车所受阻力为4.0×10N，且保持不变。如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小为2.0 m/s。那么，汽车做匀加速直线运动的时间为多长？ （提示：汽车运动模型应分为“匀加速、变加速、匀速”三阶段。） 23 8 2．质量为m的斜面B，静止在光滑的水平地面上，与地面弧形连接，斜面光滑，另一质量也为m的滑块A，以v0的速度滑上斜面，若滑块不能越过斜面，那么它滑回地面后斜面B及滑块的速度各为多少？ （提示：建立碰撞模型，考虑钢球碰撞的演示实验。） 3．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间的距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球间的距离等于或小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。设A球从远离B处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图21所示。欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件？ （提示：建立“子弹穿木块”的物理模型。） 4．如图22所示，质量m的木块放在光滑斜面上，初始时距斜面底端L，斜面倾角为37°，斜面上有一轻挡板，斜面体放在光滑水平面上，原处于静止状态。撤去挡板的同时，在斜面体上加一水平恒力，使木块与斜面体之间恰无相互作用，问当木块落地时，斜面体的速度多大？ 9 第三节 等效法及运用 等效法亦称“等效替代法”，是科学研究中常用的思维方法之一。等效方法是在保证某种效果（特性和关系）相同的前提下，将实际的、复杂的物理问题和物理过程转化为等效的、简单的、易于研究的物理问题和物理过程来研究和处理的方法. 一．运用等效方法处理问题的一般步骤 1．分析原事物（需研究求解的物理问题）的本质特性和非本质特性. 2．寻找适当的替代物（熟悉的事物），以保留原事物的本质特性，抛弃非本质特性. 3．研究替代物的特性及规律. 4．将替代物的规律迁移到原事物中去. 5．利用替代物遵循的规律、方法求解，得出结论. 二．几种等效方法 1、等效类比 等效类比是将新问题与熟知物理模型进行类比简化，从而找到解决问题的方法。 例1 验电器通过一导线与一带正电绝缘空腔导体A的内壁连通，问验电器的金箔是否会张开？（图1） 解析 首先，以上物理过程不可能与我们通常在课堂上看到的，老师将带绝缘柄的小球接触A的内壁的情况相类比。这两者不等效。这也正是考生习惯性思维出错之处。实际上这个物理过程与图2中的B等效。这时导线与A成为一个整体，在A空腔外的导线不再是孤立的，而是导体A的“外表部分”，所以也应带正电，当然验电器金箔应张开。 例2 金属杆从四分之一的光滑圆弧导轨顶端自由滑下，进入水平导轨（电阻不计），水平导轨位于磁感强度为B的匀强磁场中，金属杆b与a的电阻及质量均为r和m，弧导轨半径为R（图3），求b杆的最大速度及两杆消耗的电能。 解析 a杆进入磁场时的速度为 a进入磁场后，回路产生感应电流，同时b受到10 推力F1=BIL而加速运动，a受到阻力F2=BIL而减速运动，注意F1=F2。当vb= va= v时，a、b包围的面积的磁通不再变化，即 所以I=0，b不再加速，a不再减速，即b达最大速度。根据以上分析，学生立即可将这个物理过程类比于一个“非弹性碰撞”模型，因此有 系统损失的机械能全部转化成电能，所以两杆消耗的电能 2、等效变换 等效变换可以将一个物理问题变为较简单直观的常见问题处理，例如力学中的参照系等效变换。 例3 火车以速度v1行驶，司机发现前方s处有另一辆火车正沿同一方向以较小速度v2匀速行驶，问为使两车不相撞，后车作匀减速运动的加速度a应满足什么条件？ 解析 以地面为参照系，设后车经历s1后速度为v2，可列出以下方程求解： 以后车为参照系，则前车相对后车作初速度为（v1-v2）的匀减速运动，当两车接近时v1→0则两车不撞，所以0－（v1-v2）2 =－2as. ∴a＞（v1-v2）2／2s。这种等效变换是参照系的变换，或坐标系的变换，显然运用得当，解题更简便。 例4 如图4所示，用长为L的细线悬挂质量为m，电量为q的带正电的小球于匀强电场中，场强为E，方向水平向右，从悬线的竖直位置由静止开始释放小球，求悬线对小球的最大拉力。（设电场力小于重力） 解析 将重力场和电场叠加，建立一个新的匀强场，场力为F。小球在新场中受恒定的场力F和悬线的拉力T作用，比较图5中（a）、（b）两模型，可以看出在新场中小球从A摆到C，与小球在图（b）所示的重力场中由A′摆到C′的运动情况相类似，因此，此题用等效法解比较容易。 B点为带电小球摆动的“最低点”，小球通过B点时，线速度v最大，悬线拉力T也最大。A、C为“最高点”，设AC离B点的高度为h，如图（a）所示。 11 根据动能定理和牛顿第二定律有 又因为 解出结果 3、等效替换 在解决一些物理问题时，我们常利用“等效替换”以简化问题。 例5 图7所示，用两根等长轻质细线悬挂一个小球，设L和α已知，当小球垂直于纸面做简谐振动时，其周期为多大？ 解析 本题所述为双线摆，而我们熟悉的单摆的周期为 若将双线摆摆长等效为单摆的摆长L′=Lsinα，则此双线摆的周期为 例6 顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速ω转动，在图8所示的瞬时，OA= r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为α，求：此瞬时顶杆AB的速度。 解析 这个题目比较新颖，但它与下面陈题基本相同：“顶杆l可以在竖直滑槽内滑动，其下端顶在斜面上，当斜面以v0匀速运动时顶杆的速度是多大？”。在审题时，只要能分析出此瞬时 12 凸轮的作用相当于倾角为α的斜面，如图9，这个“斜面”的水平速度为ωr，问题就迎刃而解了。但同学们思考时，此题往往被卡在分速度的大小或方向上，部分同学在审题时，无法将凸轮等效成斜面，以至不会求解。 解析 由m1＜m2，m1射向m2后，将沿ABC运动，并从C点飞出，最后落到地面，其间的运动过程相当复杂。由于m1与m2在水平方向动量守恒，系统机械能守恒，m1飞出C点后，相对于地面作斜上抛运动，相对于m2作竖直上抛运动，此时m1与m2在水平方向具有相同的速度，因此m1又将从C点落入m2，最后从A端飞出落到地面。如按照这种过程解题，运算十分复杂。 细心分析这一过程，两滑块水平方向动量守恒和系统机械能守恒，等效于如图11所示的模型。m1以水平速度v0与m2发生弹性正碰。这样分析解题就很简单了。 设碰后m1与m2的速度分别为 由动量守恒和机械能守恒有 和，取向右为正方向。 联立式（1）、（2）解出 碰后m1从A点以 m1落地时间 的速度向左作平抛运动，m2以向右作匀速运动。 m1落地时与Ao间的距离S 13 用以上方法解题，其关键在于模型所反应的物理现象本质上要等效，而不是生搬硬套。恰当应用模型的等效性解题，可迅速找到解题的正确途径，简化解题过程，促进知识和经验的正向迁移。 应特别注意 有些物理模型表面上很相似，但其解法上却要注意区别。 例10 一条轻弹簧（或一根轻绳）和一根细线共同拉住一质量为m的小球，平衡时细线是水平的，弹簧（或轻绳）与竖直方向的夹角是θ，如图12所示。若突然剪断细线，则在刚剪断细线的瞬时，求（a）、（b）两种情况中小球的加速度大小及方向。 解析 模型（a）中oC是弹簧，发生形变需要时间，在剪断o′C的瞬时，弹簧的形变还未来得及改变，弹簧施于小球的作用力的大小和方向与小球平衡时相同。 剪断之前，小球受三力作用而平衡，如图12中（a）。根据平衡条件有 T1cosθ=mg T1sinθ=T2 剪断瞬时，T2=0，T1没有变。 有 T1cosθ=mg T1sinθ=ma 加速度的方向水平向右。 模型（b）中，oC是轻绳，形变极微小，其作用力可随外力变化而瞬时改变，在剪断o′C的瞬时，轻绳施于小球的作用力立即改变。 剪断之前，小球受三力作用而平衡，与模型（a）完全相同。 剪断瞬时，小球受二力作用，T2= 0，T1变为此时，小球相当于在单摆的最高处。 其加速度的方向垂直于轻绳斜向下。 例11 质量为m的球用细绳挂靠在竖直墙面上处于平衡。绳与墙的夹角为θ，如图13所示。求图中（a）、（b）两种情况中线对球的拉力。 14 解析 模型（a）中，绳穿过球心，球受共点力作用而平衡。受力分析如图（a）所示。以球心0为转轴合力矩应等于零，可以判断出球与墙面之间无摩擦力。 由平衡条件有 T甲·cosθ=mg 得 T甲=mg／cosθ 模型（b）中绳系在球边缘，球所受各力不是共点力。以球心0为轴，合力矩为零时，可以判断出球受墙面施于的摩擦力方向竖直向上。 受力分析如图（b）所示。 由平衡条件有 f+T乙cosθ=mg f·r = T乙r 得 T乙=mg /（1+cosθ） 如果在解题中，经常将这些外观上相似而本质上有差异的物理模型进行联想与比较，作到具体问题具体分析，则会避免混淆，从而有效地提高解题的途径与技巧。 三．几种典型问题 1、力的等效 例7中的等效问题就是力的等效如图14所示，用两根轻绳1、2可挂一重物，用一根轻绳3也可挂同一重物，那么轻绳3的作用效果与轻绳1、2共同作用的效果相同.实际上这是合力与分力的等效。 应用力的“等效”可简化力学问题的解答。 例12 如图15所示，一条长为L的绝缘细线，一端固定于O点，另一端系一质量为m的带电小球，将它们置于一个足够大的匀强电场球恰能在竖直面内做圆周运动，求小球的最小速度和最大速度。 解析 带电小球做圆周运动的过程中受两个恒力（重力、电场力）和一个变力（拉力）的作用，两个恒力可等效为小球受到的“重力” 方向由tgα=qE/mg决定（如图16所示，其中g′=g/cosα）. 小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件可转化为小球恰能过B点，即在B点，G′提供向心力 15 由B到A，G′做正功，有 例13 一单摆做简谐运动.现使它带正电，放到一匀强电场中，如图17所示，问周期如何变化？ 题，既不超纲又简便可行，在电场中单摆做简谐运动时，受到的两个恒力—重力（mg）和电场力（qE）可等效为一个力 则周期 因为g′＞g，所以T′＜T，即周期变小. 2、运动的等效 一个实际的复杂运动往往是许多简单的运动组成，因此我们可以把一个复杂运动等效成几个简单运动。 例14 如图18所示，在真空中有一带电粒子，质量力m，带电量为q，以初速v0从A点竖直向上射入水平向左的匀强电场中，此带电粒子在电场中运动到B点时，速度大小为2v0，方向水平向左，求该电场的场强和A、B间的电势差。 16 分析 带电粒子受力如图5所示，经分析带电粒子做类斜抛运动（斜抛运动已超纲），学生很难解答，但是如果能把这个复杂的运动等效成竖直向上的匀减速运动和水平向左的匀加速运动，学生便容易解答（具体解答略）。 有时，我们还可以把一种未知的运动有条件地等效为一种典型物理模型的运动。 例15 如图19所示，一段光滑圆弧槽，其弧长ACB远小于半径R，圆弧中心C在其圆心O的正下方，在圆弧轨道A点释放一小物体，同时在BC中点释放另一小物体，比较它们到达C点的时间。 解析 两小球运动轨迹都是圆弧，而加速度的大小和方向时刻变化。有些同学对求时间无从下手，但若把小球的受力与单摆模型中摆球的受力类比，再注意单摆做简谐运动的条件就会发现两个小物体都做简谐运动，则 3、气体质量的等效 在用气态方程求解变质量问题时，许多同学感到困难很大，但是如果把气体质量改变的物理过程，设计为一个与之等效的气体质量不变的物理过程，这样就可以将变质量问题转化为定质量的问题，再由气态方程求解。 例16 一容积为10L的球内原来盛有1atm的空气，现要使球内气体压强变为5atm，应向球内充入多少1atm的空气？（设充气过程中气体温度不变） 解析 该题描述的是一个不断充气的过程，气体质量不断增加。要用玻意耳定律求解，应设计一个与之等效的质量不变的过程，将多次充气看成一次充气。 以充气后容器内所有气体为研究对象，设充入容器的气体原来体积为V 初状态： p1=1atm，V1=（V+10）L. 末状态： p2=5atm，V2=10L. 由玻意耳定律得V= 40L。 例17 将0℃、1atm、100cm3的气体A与10℃、5atm、200cm3的同种气体B混合在150cm3的容器中，求混合气体C在30℃时的压强。 分析 两部分同种气体混合后，容器中气体的质量增加了，但若以合并前两部分气体的总体为研究对象，则两部分气体总质量可视为不变，可应用理想气体状态方程分态式 17 4、电路的等效 对一未知结构的纯电阻电路，如图20所示，两端加上电压U，通过的电流强度为I，那么这个电路的等效电阻就为 例18 由电阻器组成的不可见的电路（黑盒）有四根引出线，如图21所示，如果电压加在接线柱1和2上，那么在断开接线柱3和4情况下，电路内消耗功率P1= 40W；而在闭合接线柱3和4情况下，P2= 80W；如果接线柱3和4接在同一个电源上，那么当断开接线柱1和2时，电路释放功率P3=20W。求当同样电压加在接线柱3和4上，在闭合接线柱1和2的情况下，电路消耗的功率P4。 解析 黑盒内可能有很多电阻，这些电阻可能有很多种连接方法，但只要能找出一种简单的等效电路即可。 由题意分析，各种情况下输入电压相等， R1、R2分别表示电压加在接线柱1、2上，3、4接线柱断开和闭合两种情况下，黑盒内的等效电阻。由此可作出黑盒内一种简单的等效电路，如图22所示。而 又P3= 20W，则P4= 40W. 5、电源的等效 所谓等效电源，就是把电路中包含电源的部分电路视为一个“电源”，如果是电池和电阻的连接，则是把它们全体视为一个电源，这时等效电源的电动势E等与内电阻r等就是这个“电源”开路时的路端电压和电路的总电阻. 例19 图23是用来测量电源电动势和内电阻的电路图，试分析存在的系统误差. 18 分析 产生误差的原因在于电压表的分流，但若从电压表的分流入手分析实验电路的系统误差，既麻烦又不易看清其物理意义，若运用等效电源的概念进行分析，那就相当简便. 把电压表和电池看作一个等效电源，设电压表的内阻为RV，则等效电源的电动势和内阻分别为 6、长度的等效 螺旋测微器是测量微小长度的仪器，通过机械的连接，利用旋钮的转动把微小的直线位移转化为角位移并在较大的圆周上对其进行显示. 当螺杆移动一个螺距（0.5mm），旋钮转过的角度为2π，扫过的弧长为2πr.若r = 5cm，旋钮扫过2π×5=31.4cm，相当于螺杆移动0.5mm；若r =10cm，旋钮扫过2π×10=62.8cm，相当于螺杆移动0.5 mm（实际上是用一个周长替代一个0.5mm螺距），只要旋钮半径r较大一些，就能提高对直线位移测量的精密度. “等效”思想在物理教学中有着广泛的应用，交流电的有效值，导体切割磁感线中有关“L”的涵义等也都包含了“等效”思想.“等效”思想的应用不仅在于方便解题，更重要的是有助于对物理概念、规律的深入理解. 课后作业： 1.两个半球壳折成的球形容器内部已抽成真空，球形容器的半径为R，大气压强为p.为使两个半球壳沿图26-5中箭头方向互相分离，应施加的力F至少为 A.4πRp ２B.2πRp ２C.πRp ２D.1２πRp 2图26-5 2.在场强为E、方向竖直向下的匀强电场中，有两个质量均为m的带电小球，电量分别为+2q和-q。两小球用长为L的绝缘线相连，另用绝缘细线系住带正电的小球悬挂O点而处于平衡状态，如图24所示，重力加速度为g，则细线对悬点O的作用力等于______。 3.密闭容器中装满水，用绳子系着一只乒乓球，而绳子的另一端固定在容器底部，乒乓球悬于 19 水中。当整个容器向右作加速运动时，乒乓球将向哪个方向偏？（提示：用“水球”替代乒乓球进行受力分析。） 4.长为L的金属棒原来不带电，现将一带电量为q的点电荷放在距棒左端R处，当达到静电平衡时，棒上感应电荷在棒内中点O处产生的电场强度大小为______，方向是______。 5.用长为L的绝缘细线悬挂一个电量为+q，质量为m的小球，把这装置置于场强为E的竖直向下的匀强电场中，问小球摆动的周期是多少？（偏角小于5°） 20 第四节、图像法及运用 物理图象以其简洁、直观的优越性能表达许多的物理过程和规律。所以用图象法研究物理问题成为一种重要的研究方法，同时利用图象分析、解决问题可以培养学生的空间想象能力和形象思维能力。 一．中学物理课本中常见图象归类 高中物理课本中，有十几种不同类型和特征的图象，按图形可分如下几类。 1．直线型。在数学中归纳为一次函数，它反映变量函数成线性的变化关系。主要有：匀变速直线运动位移与时间关系S—t图象，速度与时间关系v—t图象，一定质量的理想气体状态变化关系P—t图象，P—T图象，V—T图象，稳恒电路中的电压与电流关系U—I图象。如图1所示。 21 2．正（余）弦曲线型。如振动图线y—t图象，波形图线y—x图象，交流电的e—t图象，以及振荡电流i—t图象和电量q—t图象。如图2。 3．双曲线型。如一定质量的理想气体在等温变化下的P—V图象。如图3所示。 4．其他型。如共振曲线A—f图象，如图4。分子之间的作用力F—x图象，如图5。 二．识别图象的物理意义 1．弄清物理图象中各坐标轴的物理意义 物理图象一般建立在一维或二维坐标系中，这时各坐标轴都代表一定的物理量，图象就表示这两个量之间的变化关系（数理结合）。许多物理图象如图6中（a）、（b）形状虽然相似，但由于各坐标轴的物理意义不同而具有不同的含义。所以，分析图象首先应弄清各坐标轴的物理意义、单位、刻度等。 22 例1甲、乙、丙三物体同时同地出发做直线运动，它们的位移—时间图象如图7所示．在时间t0内它们的平均速率大小关系如何？ 解析 分析这道题时，切不可将三条图线看成是物体的运动轨迹，从图中可见，乙、丙均做单向直线运动，它们的路程是相同的，数值等于s0（两者的区别在于乙做匀速运动，丙做变速直线运动），故乙、丙的平均速率相等．甲做的是往返直线运动，它先沿直线运动到距离原点位移为sm（sm＞s0），然后又返回至乙、丙运动的终点．可见，甲运动的路程大于乙、丙所通过的路程（三者的位移是相同的），甲通过的路程为s0+2（sm=s0），故v甲＞v乙= v丙。 2．分析图象的形状 图象形状是表示物理过程及规律的。图象形状不同（如直线型的，曲线型的），起点、终点不同则表明两坐标轴所表示的物理量之间遵从不同的规律，具有不同的起始条件。直线型表示两个物理量呈线性变化，曲线型的要弄清临界点及变化趋势。 23 3．分析物理图象的斜率、截距、交点及“面积” 物理图象的斜率一方面表示两物理量之间的变化关系，另一方面往往是表示第三个物理量及其变化。这第三个物理量至少在单位上是前两个物理量的单位之比，或者是直接由前两个（指坐标轴表示的两个量）物理量的比值进行定义。通过分析斜率的变化可以分析讨论第三个量的变化及其原因。 例2 一个标有“220V 60W”的白炽灯泡，加上电压U由零逐渐增大到220V。在此过程中，电压（U）和电流（I）的关系可用图象表示。题中给出图8四个图线中，肯定不符合实际的是哪个图。 解析 因为图线的斜率（某点切线的斜率）表示此时灯丝的电阻灯丝的电阻是随温度的升高（电压升高）而增大的，所以图线的特征应是其斜率随U值升高而变大。故图（a）、（c）、（d）不符合实际。 物理图象在横纵坐标轴上的截距往往表示初始状态或极值。如图9中的A点表示运动的初始状态，图10中的C点表示理想气体在压强趋近于零时的极限值。 24 在许多问题中，图象与坐标轴围成的“面积”具有特殊的物理意义。如图11中的阴影“面积”表示某段时间内电流的功率；图12中的“面积”表示气体膨胀ΔV时所做功的数值。 例3在图13中，气体从A→B→C→D→A的过程中做功及吸放热情况怎样？ 解析 从图中可以看出，从A→B气体膨胀做功，W＜0做功的数值等于ACB图线与横轴围成的面积。从B→A，气体被压缩，外界对气体做功，W＞0，其数值等于BDA图线与横轴所包围的面积。由ACB下的面积大于BDA下的面积，可知负功大于正功，即W总＜O。又因始末状态相同，ΔE=0，由热力学第一定律可知Q=－W＞0，说明气体在这一状态变化过程中从外界吸收热量。 例4如图14—甲所示，两相同的小球同时沿甲乙两光滑的圆弧形轨道滑下，甲乙轨道的长度相等，问它们谁先落下？ 解析 凭借直觉思维，通过假设判断知道：m1先落下。 这个结论可用图象法加以验证：两球的初速均为零，末速大小相等设为v0因m1的加速度由大变小，m2的加速度由小变大。故作出它们各自的速率—时间图象如图14—乙所示。图线1的斜率由 25 大变小，图线2的斜率由小变大。但由于路程相等，故图线下面的“面积”应相等，显然必有t1＜t2。 4．分析图象的极值和拐点 在物理图象中，物理量取值转化点的涵义非常重要。抓住物理量的变化趋势，突出其转化点的涵义，对物理过程的特征能做出准确判断。如分子力图（如图15），正弦函数的极大值、极小值等。 例5原来静止在光滑水平面上的物体，同时受到F1、F2两个力的作用。F1和F2随时间变化的图象如图16（a）所示，其对应的速度时间图象应如图16（b）中所示。 26 解析 由图16（a）可知，在t1/2时刻，F合取极大值，由牛顿第二定律可知此时加速度最大，在v—t；图线中就是此时图线的斜率最大（转折点）。故只有C符合要求。 例6 [91年高考题]图17（甲）中直线AB为一定质量的理想气体等容过程的P—t图线，原点o处的压强P= 0，温度t = 0℃。现使该气体从状态A出发，经过一等温过程，体积变为原来体积的2倍，然后保持体积不变，缓慢加热气体，使之达到某一状态下，此时其压强等于状态B的压强。试用作图法，在所给的P—t图上，画出F的位置。 解析 这道题明确指出要用作图的方法来确定F点的位置。根据题意，首先经过一等温过程，体积变为原来的2倍，故压强减为原来的一半，所以首先应使之达到状态F，此时压强等于B态时的压强。关键在于作等容线，等容线的反向延长线必与t轴交于-273.15℃处，但图中并未给出t轴上的标度，这就要从AB这条等容线的过B点等压线，与此等容线的交点就是所求F点，如图17 27 例7如图18（甲）所示，有一个直立的气缸，气缸底到气缸口的距离为L0，用一厚度与质量均可不计的刚性活塞，把一定质量的空气对在气缸内，活塞与气缸间的摩擦可忽略，平衡时活塞上表面与气缸口的距离很小（计算时可忽略不计），周围大气压为H0，现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上（瓶子质量可忽略），平衡时活塞到气缸底的距离为L，若不是把这瓶水银放在活塞上，而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方，此时活塞向下移，压缩气体，直至活塞不再下移，求此时活塞在气缸内可能位置及与之相对应的条件（即题中所给各量之间应满足的关系，设气体温度不变）。 解析 此题如运用图象法，会使物理图景更加清晰，临界情况在图中一目了然。如图18（乙），如果p用cmHg作单位（76cmHg =1.0×10pa），5直线L0（斜率为1）左上侧（I）部分各点切线斜率|tgθI|＞1，即p的变化比L快，处于此状态的气体，由于水银的加入而引起的压强增量Δp（cmHg）大于由此造成的气体高度减少量ΔL（cm），|Δp|－|ΔL|＞0，即水银与气体总高度上升，类似可得，处于（Ⅱ）部份的气体，由于水银的加入而引起的压强增量Δp（cmHg）， 28 由此造成的气体高度减少量ΔL（cm），|Δp|－|ΔL|＜0，即水银与气体总高度下降。而且由图易知，在L两则的双曲线上的点如果关于L对称，则它们对应的状态水银与气体总高度相等，以上分析为本题提供了一种巧妙解法。分析讨论如下： （A）如H0＞L0即初始时气体处于（Ⅰ）态中某点，此时如倒入水银，则水银气体总高度上升，水银溢出，可知根本就不可能倒入水银。 （B）如H0＜L0即初始时气体处于（Ⅱ）态中某点，如图（乙）、（丙）设为A，找出A关于L的对称点A′，A与A′两态总高度相等（与缸口相齐）。设把整瓶水银放在活塞上时，气体对应参量为[L（cm），H0+h（cmHg）]，对应图中点P。 ①若P在AA′之间，则在倒入水银过程中，对应状态点由A→P运动，无论P在L哪一侧当到达P时，水银全部注入，由前分析可知总高度减小，水银不会溢出，此时由图易知P在AA′间的条件为H0≤L≤L0，此时L′=L（终态P点） 29 ②若P在A′点上方，则状态点由A向A′运动，在到达P前先到A′即水银面已齐缸口（与初态A等高）。此时由图（丁）知P在A′上方须满足的条件L＜H0，而此时L′=H0（终态A′点） 答案：1．当H0≤L≤L0 L′=L； 2．当L＜H0 L′=H0． 5．分析图象的推移变化 在近几年的高考题中，都有关于波的图象问题。对这类图象除前面几点外，还应注意图象的变化、推移。其基本方法是画出下一个时刻的波形图，再结合波的基本概念和规律进行综合分析。 例8 已知一列向右传播的横波在某时刻的波形如图19所示，试确定质点A、B的振动方向，并画出T/4后的波形。 解析 ∵Δt=T/4，而波在T内传播的距离为λ，所以Δt后的波（如图中虚线所示）。由图可知A点振动方向向上，B点振动方向向下。 （问题：C点振动方向一定向下吗？） 图象的另一类变化是转移坐标系。像热学中的P—V图变成P—T图等。这时需要严格按照原图的起点、终点及各段所遵从的规律进行转换。 30 同一物理过程可以从不同的角度出发描述，同一物理过程在不同的物理图象中的表现形式是不同的．不同物理图象之间存在联系，所以描述同一物理过程的不同图象之间可以进行变换． 例9图20所示，P-T图上的图线abc表示一定质量的理想气体的状态变化过程．若将此过程在p-V图上表示出来，其图线应为图21中的哪一个？ [ ] 解析 从图中可知，a→b过程为等容过程（p，T）；b→c过程为等温过程（p，V）．又等容过程在p-V图上的图线应为一条平行于p轴的线段；等温过程在p-V图上的图线应为一条双曲线．注意到本题中a→b过程压强增加，b→c过程压强减小．故答案为C． 例10小鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1，求：（1）它行进到离洞穴距离为d2的乙处时的速度；（2）从甲到乙所用的时间。 31 第二问若用高等数学知识也不难解，对中学生来说则需由图象进行巧解。速度与位移的关系曲线v = k/x是双曲线，但“曲”可改为“直”，如果将v = k/x改写成1/v = kx，则1/v就与x成正比，其图象是一条过原点的直线（如图22），图中的阴影“面积”就表示从甲到乙所用的时间， 想一想 这种方法在教材中学过吗？请总结这种方法的“迁移”规律。 6．分析几个图象相交进行范围与临界值问题讨论 例11如图23所示，甲乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车的质量共为M=30kg，乙和他的冰车的质量也是30kg。游戏时，甲推着一个质量m=15g的箱子和他一起以v0=2.0m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相碰，甲突然将箱子推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面摩擦，问甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出才能避免与乙相碰？（86年高考题） 解析 取向右为正方向，甲推出箱子后的速度为v1，设箱子的速度为v，乙抓住箱子后的速度为v2。 对于甲和箱子 32 mv + Mv1=（m + M）v0 代入数据整理得到 以乙和箱子为研究对象 （M + m）v2= mv－Mv0 代入数据整理得 由于甲乙刚好不相碰的临界条件是v1= v2，所以令（1）=（2）得将箱子推出的最小速度是v =5.2m/s。 对于上例，若作出v1-v、v2-v的图线就可清楚地看到相碰与不相碰的全部情况（如图24）。 当v＜vA时，v1＞0，v2＜0，甲、乙相向运动，必碰。 当vA＜v＜vB时，v1、v2均为正，甲、乙同向运动，但因v1＞v2，必是甲追上乙相碰。 当vB = v时，v1 = v2，甲、乙同向等速运动，不碰。 33 同学们自己可分析当v = vA、vB＜v＜vC、v = vC，及v＞vC时甲、乙的运动情况。通过分析各种v值中甲、乙的运动情况，从而找出甲乙不相碰的临界条件是v1= v2。 7．分析隐含图象问题 许多物理问题虽然没明显要求用图象作答，但利用图象分析却能巧妙地得出答案。 例12图25中A、B是一对平行的金属板，在两板加上一周期为T的交变电压u。A板的电势uA=0，B的电势uB随时间的变化规律为：在0到T/2的时间内，uB = u0（正的常数）；在T/2到T内，uB=－u0；uB =－uA；……。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子的初速度和重力的影响均可忽略。（94年高考题） A．若电子是在t = 0时刻进入的，它将一直向B板运动； B．若电子是在t = T/8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上； 后打在B板上； 时而向A板运动，最 D．若电子是在t = T/2时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动。 34 解析 这是一多过程的周期性运动问题，且涉及到力、加速度、速度和位移等多方面问题。若用公式法求解易导致错误，但若用图象来分析，其过程直观，结论明确。 如图26所示，取由A向B的方向为正方向，由于电子在场区内所受电场力大小恒定，根据牛顿第二定律可知电子的加速度大小（即图26下图速度图象中的各线段的斜率的绝对值相等）不变。所以A种情况的图线1，B种情况的图线2，C种情况的图线3和D种情况的图线4对应部分是平行的。 从图线1可以看出，V值均为正，说明电子一直向B运动； 从图线2看，V有正有负，说明电子时而向B运动，时而向A运动。由于图线2与时间轴在正方向围成的面积（其数值等于向B的位移）大于在负方向所围成的面积（向A板的位移），所以电子最终打在B板上。 若A板外也有电场，则C、D两种情况的速度图线如3、4所示。从图线3可知电子不可能达到B板；从图线4可以看出电子无往返运动。 35 已在t = T之前由A板上的小孔飞出场区，绝对t = T之前的部分看，电子直到t =T时再从A板向B板运动，即图线4中的Q点之后部分将向上平移至图线1中P点之后的部分，从图中明显看出电子无往返运动。 所以原题给出的A、B、C、D四种情况中可能的是A、B两种。 例13 [86年高考试题]汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动，当它驶过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车，根据上述已知条件： [ ] A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度。 B．可求出乙车追上甲车时乙车的路程。 C．可求出乙车从开始运动到追上甲车所用的时间。 D．不能求出上述三者中任何一个。 解析 这道题可以用公式求解，但由于题中给的条件较少，往往因选用公式不当或因公式变形导致错解；而用图象法，结论会一目了然。从乙车开始运动的时刻计时，在v—t图绘制甲、乙两车速度图象如图27只有在相同时间内乙车速度图线oB下方的ABDo面积与甲车速度图线v0C下方的矩形v0CDo面积相等，而车位移才相同，乙车追上甲车，面积相等须有△oAv0≌△ABC，故乙车追上甲车时，乙车速度必为2v0，由于乙车加速度未定，oB1、oB2与oB均能满足上述分析乙车追上甲车的要求，故乙车加速度不同时追上甲车通过的路程和所需的时间是不同的，本题答案应选（A）。 36 例14 [92年高考试题]两辆完全相同的汽车，沿水平路一前一后匀速行驶，速度均为v0。若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为S，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为： [ ] A．S B．2S C．3S D．4S 解析 这道题如果借助图象法求解比用公式计算简便得多，物理过程通过图象表述会一目了然。如图28所示，前车以初速度v0刹车直到停住，通过的位移S在数值上等于△oAD的面积值。由题意知前车开始刹车到停住，后车匀速行驶的位移在数值上等于矩形oACD的面积值2S，然后前车停住时，后车与前车一样加速刹车，所以图线CB与AD平行，则△ABC≌△ADo。后车刹车所通过的位移在数值上为△ABC的面积值S，后车以甲车开始刹车起通过的位移为3S，保证两车不相撞，两车在匀速时保持的距离至少为3S-S=2S，所以本题正确答案选（B）。 8．分析图象的数形变化 一些物理规律（如交流电压、交流电流的随时间的变化关系、振动等）既可以用数学方程表示，也可以用图象表示。这类往往要求由图线变为数学表达式（或者相反）。这类问题的处理方法是根据图象与数学式的一般情况写出通式，再由初始状态写出符合图象的具体表达式（或者根据表达式给出的条件平移图象）。 课后作业： 37 1．一定质量的理想气体处于某一初始状态，现要使它的温度经过状态变化后，回到初始状态的温度，用下列哪个过程可以实现？ [ ] A．先保持压强不变而使体积膨胀，接着保持体积不变而减小压强 B．先保持压强不变而使体积减小，接着保持体积不变而减小压强 C．先保持体积不变而增大压强，接着保持压强不变而使体积膨胀 D． 先保持体积不变而减少压强，接着保持压强不变而使体积减小 2．如图30（甲）大小相等的匀强磁场分布在直角坐标的4个象限里，相邻象限的磁感强度B的方向相反，均垂直于纸面，现有一闭合扇形线框OABO，以角速度ω绕OZ轴在XOY平面内匀速转动，那么在它旋转一周的过程中（从图中所示位置开始计时），线框内感应电动势与时间的关系图线是图30（乙）中的 [ ] 3．水平推力F1和F2分别作用于水平面上的同一物体，一段时间后撤去，使物体都从静止开始运动而后停下，如果物体在两种情况下的总位移相等，且F1大于F2则 [ ] A．F2的冲量大 B．F1的冲量大 38 C．F1与F2的冲量相等 D．无法比较 [提示：作v-t图象，根据图线所围的面积（表示位移）相等，比较两种情况下物体运动的时间，再应用动量定理求解。] 4．飞机从一地起飞，到另一地降落，如果飞机在竖直方向的分速度vy与时间t的关系曲线如图31所示（作图时规定飞机向上运动时vy为正），则在飞行过程中，飞机上升的最大高度是_____m，在t = 2200s到t = 2400s一段时间内，它在竖直方向的分加速度ay为 _____m/s。 2 第五节 类比法及运用 在科学研究中，常常用已知的现象同末知的现象相比较，找出它们的共同点和联系，然后以此为根据，推测末知的现象也可能具有已知现象的某些特性和规律。这就是研究中的类比方法。如：回声与雷达、库仑力和万有引力 一．常用的类比法形式 1． 比喻类比 对于一些概念特别抽象，难以直接用实验来加强感性认识的教学难点，可以用类比的方法来解释，这样既有利于接受知识，又利于培养思维能力。在学电压时，用水路类比电路，水流类比电流，水压类比电压，抽水机类比电源，就容易理解。又如分子的引力和斥力，把两个相互作用的分子比喻为连着弹簧的两只小球，弹簧伸长时表现为引力，弹簧缩短时表现为斥力。 39 2．概念类比 加速度与感应电动势：加速度是描述速度变化快慢的物理量，是速度的变化率，；感应电动势是描述磁通量变化快慢的物理量，是磁通量的变化率。变化率的概念在物理学习中经常用到，是指某一物理量的变化与发生这一变化所用时间的比值，叫该物理量的变化率。通过对两个概念的比较，两者归为一类，从而加深记忆。 3． 公式类比 万有引力定律F万=Gm1m2Q1Q2 与 库仑定律F：比较这两个公式你会发现它们十分相似，库=Kr2r2库仑力和万有引力的大小都和两个物体之间距离的二次方成反比，与两个物体的质量或电荷量的乘积成正比，力的方向都在两个物体的连线上。 ４．性质类比 如在学习静电场一节内容中，“电场”概念的建立是极为重要的，但由于此概念比较抽象，学生往往难以理解。可以用力学中所学重力场与之类比：地球周围存在着重力场，地球上所有物体都处于重力场中，都受到了地球的作用——重力。同样，电荷的周围存在着电场，电场对处于其中的电荷有电场力的作用，（如：点电荷间的库仑力的作用）。再由物体在重力场中具有了与地球位置有关的重力势能，引导学生总结出，检验电荷在电场中也应具有与场源电荷位置有关的电势能。如此类比，相当于在新旧知识间架起了一座桥梁，让学生能够从已掌握的旧知识中顺利地接受和理解新知识。 又如：场强E和电势U这两个描述电场的物理量，E、U与检验电荷q有无关系呢？而牛顿第二定律M=F/a，当物体受到的合外力为零时，物体产生的加速度也为零，但物体的质量为一定值；再有，欧姆定律中R=U/I，若电阻不接入电路中，U、I均为零，但电阻R却一定。究其原因，盖它们都是事物本身的物质属性。这种简单的类比，使学生顿悟：E、U是描述电场本身性质的物理量，电场是客观存在的，与检验电荷无关，而定义式：E=F/q、U=ε/q只是定义E、U和计算E、U大小的。 ５．规则类比 我们上楼梯,一次只能上一个台阶、二个台阶……每次只能上一个台阶的整数倍，而不可以上一个台阶的0.5倍、0.6倍。同理下楼梯也只能下一个台阶的整数倍，而不可以下一个台阶的0.5倍、0.6倍。总之我们上下楼梯只能是一个台阶高度的整数倍，借助这一规则很容易的解决量子化的概念。带电体的电量一定是元电荷带电量的整数倍、爱因斯坦“光子”学说中的光量子、玻尔原子模型中的轨道（能量）等问题都可以按照这一规则圆满解决。 ６．拟人类比 进行创造活动时，人们常常将创造的对象加以“拟人化”。挖土机可以模拟人体手臂的动作来进行设计。它的主臂如同人的上下臂，可以左右上下弯曲，挖土斗似人的手掌，可以插入土中，将土挖起。在机械设计中，采用这种“拟人化”的设计，可以从人体某一部分的动作中得到启发，常常会使人收到意想不到的效果。现在，这种拟人类比方法，还被大量应用在科学管理中。 ７．直接类比 从自然界或者已有的成果中找寻与创造对象相类似的东西。例如，设计一种水上汽艇的控制系统，人们可以将它同汽车相类比。汽车上的操纵机构和车灯、喇叭、制动机构等都可经过适当改革， 40 运用到汽艇上去，这样比凭空想象设计一种东西容易获得成功。再如运用仿生学设计飞机、潜艇等，也都是一种直接类比的方法。 ８．象征类比 所谓象征是一种用具体事物来表示某种抽象概念或思想感情的表现手法。在创造性活动中，人们有时也可以赋予创造对象具有一定的象征性，使他们具有独特的风格，这叫象征类比。 象征类比应用较多的是在建筑设计中。例如：设计纪念碑、纪念馆，需要赋予它们有“宏伟”、“庄严”、“典雅”的象征格调。相反，设计咖啡馆、茶楼、音乐厅就需要赋予它们有“艺术”、“优雅”的象征格调。历史上许多垂千秋的建筑，就在于他们的格调迥异，具有各自的象征。 ９．运用简单共存类比 简单共存类比是以简单关系为推理中介的类比思维.这种类比最简单,在引入新课时运用得最多,学生最容易接受.在高中物理教材中,引入磁场概念时便运用了简单共存的类比思维.在教学中,充分发挥教材的这一方法,结合学生的实际情况进行教学.首先,把电场与磁场有关的相似属性列出:如电荷与电荷之间有相互作用力,磁极与磁极之间也有同名磁极相斥,异名磁极相吸的现象;这样由电荷周围存在电场,可以类比推出磁极周围也应存在磁场;由电荷间作用力不能直接发生,需要电场传递,可以类比推出磁极间相互作用力也不能直接发生,传递磁极间的相互作用也要靠一种场--磁场;由电场是一种物质,可推知磁场也是一种物质. １０．运用因果类比 因果类比是根据相类比的两个对象各自属性之间可能具有相同的因果关系而进行的类比推理.通过水流的形成跟电流的形成相类比,抓住主要的特征,由此及彼,由因到果,类推出电流形成的条件,学生既容易理解,又不容易遗忘. １１．运用对称类比 对称类比是从两个对象属性之间的对称关系进行的类比.客观世界中也确实存在着许多的对称关系(例如:物体形状或几何形体的对称性,正负电荷与南北磁极的对称性,粒子与反粒子的对称等),这也是进行对称类比的基础. 在电磁感应的教学中,列出电与磁的对应的特征:正负电荷与磁南北磁极相对应;电荷的相互作用与磁极的饿相互作用相对应;电场与磁场相对应.接着提出一个问题:电流有磁效应,也就是说"电"可以生"磁",那么,"磁"可不可以生"电"呢 根据电跟磁的对称性,学生很自然地想到:"磁"应该也可以生"电"!接着,向学生介绍了科学家法拉第的想法和做法,一步一步地引导学生去总结规律.与此相关的还有:从电动机与发电机的对称去理解和掌握左手定则和右手定则. １２．协变类比 协变类比也称数学相似类比,它根据两个对象可能具有属性之间的某种协变关系(定量的函数关系)进行的类比推理.也就是说:两个对象有若干属性相同或相似,并且在两者数学方程式相同或相似的情况下,推论在其他方面的属性也相同或相似.例如:根据弹簧振子力的表达式F=-kx与单摆动力学方程的协变关系,有弹簧振子的运动是简谐振动,推知单摆的运动也是简谐振动.再如:万有引力定律与库仑定律的数学表达式在形式上十分类似,都符合平方反比率.这种类比常常用在各种物理公式,定理的联系和区别. 附：上天入海的科学家—类比发明法 著名的瑞士科学家阿·皮卡尔是位研究大气平流层的专家，它不仅在平流层理论方面很有建树， 41 而且还是一位非凡的工程师。他设计的平流层气球，飞到过15690米的高空。后来，它有把兴趣转到了海洋，研究起深潜器来了。 尽管海和天是两个完全不同的世界。然而海和空气都是流体，因此，阿·皮卡尔在研究深潜器时，首先想到利用平流层气球的原理来改进深潜器。在此前，深潜起都是靠钢缆吊入水中的，它既不能在海底自由行动，潜水深度也受钢缆强度的限制，由于钢缆越长，自身重量越大，从而也容易断裂，所以它一直无法突破2000米大关。平流层气球由两部分组成：充满比空气轻的气体的气球和吊在气球下面的载人舱。利用气球的浮力，使载人舱升上高空。如果在深潜器上加一只浮筒，不也像一只“气球”一样可以在海水中自行上浮了吗？皮卡尔和他的儿子小皮卡尔设计了一只由钢制潜水球和外形象船一样的浮筒组成的深潜器，在浮筒中充满比海水轻的汽油，为深潜器提供浮力；同时，又在潜水球中放入铁砂作为压舱物，使深潜器沉入海底。如果深潜器要浮上来，只要将压舱的铁砂抛入海中，就可借助浮筒的浮力升至海上。再给深潜器配上动力，它就可以在任何深度的海洋中自由行动，再也不需要拖上一根钢缆了。 皮卡尔父子的这一设计获得了很大的成功。第一次试验，就下潜到1380米深的海底，后来又下到4042米深的海底。他们设计的另一艘深潜器“的里雅斯特号”下潜到世界上最深的洋底——10916.8米，成为世界上潜得最深的深潜器。皮卡尔父子也因此获得了“上天入海的科学家”的美名。 皮卡尔的这种创造发明方法叫做类比发明法。类比就是在两个事物之间进行比较，这两个事物可以是同类，也可以不是同类，甚至差别很大，通过比较，找出两个事物的类似之处；然后，再据此推出他们在其他地方的类似处。例如，气球和深潜器本来是两个完全不同的东西，一个升空，一个入海，但是它们都可以利用浮力原理，因此，气球的飞行原理同样可以应用到深潜器中去。类比发明法是一种富有创造性的发明方法，有利于发挥人的想象力，从异中求同，从同中见异，产生新的知识，得到创造性成果。 例：在半径为R光滑圆弧形槽内放一小球。让小球从A点开始自由落下，以后小球在AB间来回滚动，（图略）若θ＜5°，求小球从A运动到B所需的时间。分析与解：小球在槽内的运动与单摆的摆动相类似。由于θ＜5°，所以小球做简谐振动。轨道半径R与单摆的摆长l相当。以R代l，直接代用单摆的周期公式可得A至B的时间 课后作业： 1．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L. 若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L. 已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G. 求该星球的质量M. 2．如图12—9所示，有一半径为R的接地导体球，在距离球心a处放有一点电荷Q，由于静电感应，球的表面出现感应电荷，求点电荷Q和导体球之间的相互作用力. 42 3．如图12—10所示，如果导体球不接地，且与外界绝缘，带电量为q，则点电荷Q和导体球之间的作用力大小是多少？ 43
