2024年2月11日发(作者：)
高中物理教学(jiāo xué)中的数学方法
——物理(wùlǐ)图象中“面积(miàn jī)”思想(sīxiǎng)的迁移
物理问题的表述有两种方法：公式法和图象法，其中大多数问题都可以借助图象进行解决，利用图象研究(yánjiū)问题的最大特点就是它的直观性。
利用图象解题关键在于明确图象横坐标和纵坐标的基础上，正确理解图象的斜率、截距、交点、面积、临界点等的物理意义，而利用图象的“面积”所代表的物理意义解题，往往可以达到事半功倍的效果。
一、Ｖ—ｔ图象中的“面积”
在众多的图象中，Ｖ—ｔ图象中图线与坐标轴所围的“面积”代表质点运动的位移是最基本的，也是运用得最多的。
以Ｖ0做匀速直线运动的物体在一段时间ｔ内的位移Ｓ＝Ｖ0ｔ，可以理解为其速度Ｖ0在时间ｔ内的积累，其大小就等于Ｖ—ｔ图象中图线下所围一块矩形“面积”（如图—１）。
v
V/m·s-1
v
0
图—V/m·s-t t/s
图—S
t t/s
v
0
V/m·s-1
t t/s
1
图—0
对做匀加速(jiā sù)直线运动来说，其Ｖ—ｔ图象(tú xiànɡ)中图线下所围的梯形的“面积(miàn jī)”即为运动(yùndòng)的位移（如图—2）。
同样对变加速(jiā sù)直线运动的物体来说，将时间ｔ无限分割后，其位移即等于无数个小的梯形“面积”之和，即整个曲线与坐标轴所围的“面积” （如图—3）。
可见，在Ｖ—ｔ图象中，不管其图线形状（运动性质）如何，一段时间内的位移总等于图线与坐标轴所围图形的“面积”。
由此推广得到结论：若图象中横坐标x与纵坐标y的乘积xy对应某一物理量，那么不管曲线的形状如何，“面积”就可表示该物理量在“0—x”内的数值。这样我们就可将Ｖ—ｔ图象中的“面积”的思想在其它坐标中迁移，使一些中学阶段难以解决的问题简单化、明朗化，从而拓展学生思维，提高学生解决问题能力。
二、“面积”在F—S图象中的迁移
在F—S坐标中作出力F随位移S变化的图象即F—S图，则图象与位移轴之间所围的“面积”（即力F在通过位移S的“积累”） 为F在这段位移内所做的功。
[例1]：如图—4所示，一粗细均匀(jūnyún)的铁杆AB长为L，横截面积为S，将杆的全长分为n段，竖直
B
n
n-1
3
2
A
1
L
2
图—4
落入水中。求第n段浸没于水的过程中，浮力所做功的大小。
[分析]：本题中，铁杆(tiě ɡǎn)所受浮力为ù)，，式中ρ为水的密度(mìd为常数(chángshù)，x为杆浸WN
W
WⅡO
WⅠx
1
x
2
Ⅲx3
图—5
Xn-1
Xn
X
F
入水中的深度，设Sg=k，则F=kx，浮力大小随杆浸入水中的深度x的改变而改变，不是恒力，不能用恒力做功(zuògōng)的公式计算。但若画出“F—S图”就可以较容易找到解决问题的途径。
[解答]：由题意可知：每一段的长度为L/n。
如图—5所示，设第一段进入水过程中浮力做的功记作WⅠ，第二段记作WⅡ，则第n段记作WN。
其中第一段全部浸入水中时所受的浮力为：
，则WⅠ，
而根据可知：WⅠ∶ WⅡ∶WⅢ∶…∶WN=1∶3∶5∶…∶（2n-1），
所以(suǒyǐ)第n段全部浸入水的过程中浮力所做的功为：WN
。
3
同理：可求出n段全部(quánbù)浸入水中的过程浮力所做的功为整个三角形的面积：Wn。
三、“面积(miàn jī)”在F—t图象(tú xiànɡ)中的迁移
力F对物体(wùtǐ)在一段时间t内的冲量Ft，即F在时间t内的积累。若给出力F关于时间t的图象F—t图，则图象与坐标轴所包围的“面积”即为这段时间内冲量的大小。
[例2]：一质量为m的物体静置在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，今给物体施以一水平方向作用力F，已知F随时间t均匀增大，（为比例常数）。求经过一段时间t后物体获得的速度。（设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
[分析]：由于摩擦力的存在，物体经过时间t后，其运动可能性有两种：一种情况是时间t较短，物体依然静止；另一种情况是时间t较长，物体先静止后运动，再获得一定速度V。而物体开始运动的临界条件为：水平方向作用力F=μmg。
[解答(jiědá)]：临界(lín jiè)情况：当，物体表现(biǎoxiàn)为要动还没有动，即将滑动。此时对应的时刻为t0，。
1）、当
kF
O
t0
图—6
t
t
t0时，物体(wùtǐ)保持静止，速度V=0。
4
2）、当示，
t0时，F随时间t变化(biànhuà)的图象如图—6所在0—t0过程中物体处于静止；
在t0—t过程物体加速运动，取F方向为正方向，
F的冲量为图中梯形的面积：为：—；
—mg(tt0)=mV—0
，即。
， 摩擦力的冲量根据动量定理：则得：四、“面积”在I—t图象中的迁移
电流流过导体，作出电流随时间变化的图象I—t图，则根据其物理意义，可得I—t图中图象所围的面积为这段时间内流过导体的电量。
[例3]：如图7所示是一种测量电容的实验电路图，实验是通过对高阻值电阻放电的方法，测出电容器充电至电压U时所带电量Q，从而再求出等测电容器的电容C。某同学在一次实验时的情况如下：接通开关S，调节电阻箱R的阻值，使小量程电流表的指针偏转接近满刻度，记下此时电
500
400
300
200
100
0
10 20 30 40 50 60 70
A
S
E
V
B
i/μA
图—7F
A
C
R
D
t/s
图7—5
流表的示数是I0=490μA，电压表的示数U0=6.0V，I0 、U0分别是电容器放电时的初始电压和电流。断开开关S，同时开始计时，每隔5S（10S）测读一次电流I的值，将测得数据填入表格，并标在图乙坐标纸上（时间t为横坐标、电流I为纵坐标），结果如图中小黑点“．”所示。
（1）在图中乙中画出i—t图线。
（2）图乙中图线与坐标轴所围成面积(miàn jī)的物理意义是 。
（3）该电容(diànróng)器的电容为： F。
[分析(fēnxī)与解]：（1）用平滑的曲线将图中各点连起来，如图7—丙所示。
（2）根据图象横坐标与纵坐标的物理意义，可以推断图线与坐标轴所围成面积为电流对时间的积累即t时间内通过(tōngguò)电阻R的电量Q。
500
400
300
200
100
0
10 20 30 40 50 60 70
i/μA
t/s
图7—（3）图中每一方格(fānɡ ɡé)的“面积”为2.5×10-4C，
曲线(qūxiàn)与坐标轴围成的“面积(miàn jī)”共约36个方格(fānɡ ɡé)，总电量Q=9×10-3C，再根据(gēnjù)公式C=Q/U0，即可以求出电容(diànróng)器的电容C=1.5×10-3F。
6
五、灵活运用，举一反三
[例4]：长度为L的矩形板，以速度V沿光滑水平面平动，垂直滑向宽度为D的粗糙地带，板从开始受阻到停下来，所经过的的路程为S，且D＜S＜L，如图—8所示，求板面与粗糙地带之间的动摩擦因数。
D
图—8
S
L
V
[分析]：本题的难点在物体运动过程中其受力会发生变化，导致物体运动的加速度发生变化，但其受力的大小与物体运动的位移有一定的关系，因此可以借助图象来分析。
[解答]：令矩形板单位长度上的质量为ρ，设板进入粗糙区域的长度为X，
则物体受摩擦力大小f=则物体加速度大小a= （当X＞Da
O
D
图—9
S
X
且a= 所以a随X变化的图象如图—9所示
又根据： （当X＜D时）
显然(xiǎnrán)，对全过程来说，aS即为a—X图象(tú xiànɡ)中图线所围的“面积(miàn jī)”，即a关于(guānyú)X的积累。
所以(suǒyǐ)aS=
7
代入得：。
内容总结
（1）高中物理教学中的数学方法
——物理图象中“面积”思想的迁移
物理问题的表述有两种方法：公式法和图象法，其中大多数问题都可以借助图象进行解决，利用图象研究问题的最大特点就是它的直观性
（2）其中第一段全部浸入水中时所受的浮力为：
，则WⅠ，
而根据可知：WⅠ∶ WⅡ∶WⅢ∶
（3）所以aS=
代入得：
8
