2024年2月10日发(作者：)
第11讲 简单的统筹规划问题
专题简析：
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益．因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用．作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的．
例1
妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟．洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
分析：烧水沏茶的情况是：开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取．怎样安排工作程序最省时间呢？
办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝．
办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝．
办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝．
谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”．
开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件．它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示．
箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟．从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟．
洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图．
解：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟．又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的．
说明：本题涉及到的统筹方法，是生产、建设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展，提高工作效率，保证工作质量是十分有效的．
随堂练习：
妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼．他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少．
例2 用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？
分析： 由于1993数目较大，直接入手不容易．我们不妨先从较小的数目来进行探索规律．
如果只煎1个饼，显然需要2分钟；
如果煎2个饼，仍然需要2分钟；
如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟．但是，这不是最佳方案．最优方法应该是：
首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；
其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；
最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．
解：如果煎1993个饼，最优方案应该是：
煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟；煎后面1990个饼时，每两个饼需要2分钟，分1990÷2=995（次）煎完，共需要2×995=1990（分钟）；这样总共需要3+1990=1993（分钟）．
说明：通过本例可以看出，掌握优化的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率．
随堂练习：
用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎7个饼至少需要几分钟？
例3
5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值．
分析： 5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了．凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些．考虑用“逐步调整”法来严格求解．
解：首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置．
假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2≤b≤5）．我们将这两个人位置交换，其他三人位置不变动．这样调整以后第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同，并且前b个人每人打水所费时间也未受影响，但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了．换言之，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省．
其次，根据同样道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位．所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省．这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是
1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分钟）．
随堂练习：
三车货物同时到达仓库门口，A车货物卸完需要20分钟，B车货物卸完需要10分钟，C货物卸完需要30分钟，只能一车一车卸货，怎么安排顺序，才能使三辆货车等候时间的总和最少？
例4 有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升．问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？
解：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2（公升）；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5（公升）．为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=5×31+2，
因此，最优调运方案是：选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10×31+5×1=315（公升）
随堂练习：
一个中医诊所，同时来了一位老奶奶，一位上完自习的中学生和一位请假来看病的李师傅，大夫给老奶奶和李师傅诊断，每人需用时间10分钟，给中学生诊断需用7分钟，另外给每人抓药均需要5分钟，请你想一想，怎样安排他们的就诊顺序是最合理的？要说明充分的理由，并要计算大夫给三人看完病、抓完药共同了多长时间？
拓展训练
1、妈妈开始做饭，切菜3分钟，从冰箱取肉并解冻5分钟，切肉4分钟，倒油烧油3分钟，炒菜7分钟，你给妈妈安排一个合理的顺序，节省时间。并计算使用你安排的顺序，共需用多少分钟？
2．用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需2分钟），问煎9个饼至少需要几分钟？
3．小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病．小明打针要5分钟．小华换纱布要3分钟，小强点眼药水要1分钟．问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少？并求出这个时间．
4．赵师傅要加工某项工程急需的5个零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、4分钟、7分钟、6分钟．问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所耽误的时间总和最少？这个时间是多少？
5．某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满．若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲、乙两管合放最少需要多少小时？
6．山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈，货车到了某一车间，就要有装卸工装上或卸下货物．当然，装卸工可以固定在车间等车（各车间所需装卸工人数如图所示）；也可以坐在货车到各车间去；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分坐车．问怎样安排才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？
