竞赛讲座之 12-1不等式的证明方法 (比较法)

2024年1月15日发(作者：)

济宁一中高二数学奥林匹克竞赛辅导讲义 辅导教师：颜景海 贾广素

证明不等式的基本方法

现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。

不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

【知识概要】

证明不等式的常用方法有：

⒈ 比较法：依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。基本解题步骤是：作差（商）—变形—判号（范围）—定论。证题时常用到配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩等变形技巧。

⒉ 分析综合法：所谓“综合”指由“因”导“果”，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。所谓“分析”指的是执“果”索“因”，从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件，直至已知事实为止。一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。

⒊ 重要不等式法：主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。

⒋ 换元法：适当引入新变量，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。具体地讲，就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式等等。比较常见的有三角代换、均值代换、增量代换、对称代换、复数代换、局部代换、整体代换、比值代换、常量代换等。至于到底如何代换，因题而异。应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性。

⒌ 放缩法：要证 A≤B（或 A≥B）, 可以先证明A≤C（或 A≥C），再证明 C≤B（或 C≥B），由传递性得证。证明不等式的实质就是如何把不等式的一边经过适当放缩得到另一边。放缩法的常用技巧：①在恒等式中舍掉或添加一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用函数的性质（如单调性、有界性等）进行放缩；④应用基本不等式进行放缩。运用放缩法证明不等式时，要注意目标明确和放缩适度。

⒍ 数学归纳法：运用数学归纳法证明与正整数有关的不等式。对于某些较弱的不等式，可以加强命题后再作归纳法证明。

⒎ 构造法：针对要证的不等式的结构特点，展开类比、联想，抓住知识间的横向联系，构<<证明不等式的基本方法之一比较法>>

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造出数列、函数、图形等辅助模型，通过转化达到目的。

⒏ 反证法：通过否定结论,导出矛盾,从而肯定结论.一般用于证明否定性、唯一性、存在性命题，或用于直接证明比较困难的命题。

⒐ 调整法：在含有多个变元的不等式中，我们常将一个或几个变元的值适当调整（增大或减小），使它们等于定值或其他变量，从而将原不等式转化为新的更强的不等式，而新的不等式变元减少或更易证明。

其他特殊方法：如裂项求和、配对法、抽屉原理等。

【解题指导】

一．比较法

一般而言，比较法有两种形式：

（1）差值比较法：欲证AB，只需证AB0即可；

（2）商值比较法：若B0，欲证AB，只需证A1即可。

B注意在利用比较法证明不等式时，常需要对所要证明的不等式进行恰当的变形，如因式分解、拆项、合并项等。

一．差值比较法

要证明ab，最基本的方法就是证明ab0，即把不等式的两边相减，转化为比较差与0的大小问题。这种方法称为差值比较法，有时也叫做比差法。

差值比较法证明不等式的步骤：“作差――变形――判断符号”，为了便于判断符号，往往把差式变形为积的形式或完全平方形式。

3322例1．已知a,b都是正数，且ab，求证：ababab。

分析：可以把不等式两边相减，通过适当的变形，转化为一个能明确确定正负的代数式。

证明：(ab)(abab)(aab)(abb)a(ab)b(ab)

＝(ab)(ab)(ab)(ab)

因为a,b都是正数，所以ab0，

2又因为ab，所以(ab)0

22223322322322从而(ab)(ab)0，

即(ab)(abab)0

所以ababab。

评注：此题是不等式证明的典型题目，其拆项是有一定的技巧的，需要有较强的观察能力。

33223322ab1，例2．设f(x)2x1，且a,b同号，求证对任意的实数p,q恒有af(p)bf(q)f(apbq)<<证明不等式的基本方法之一比较法>>

2

2

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成立。

分析：将欲证不等式的左、右两边具体化，是多项式，因此可以用作差比较法，注意在推证的过程中，注意到ab1这一条件，应及时将差式化简。

证明：af(p)bf(q)－f(apbq）a(2p21)b(2q21)2(apbq)21

＝2ap22bq22a2p24abpq2q2b21

＝2ap2(1a)2bq2(1b)4abpq1

＝2ab(pq)21

由于a,b同号，所以2ab(pq)210成立，从而原不等式成立。

评注：在作差比较中，变形是关键，这里灵活运用ab1的变式，用配方法完成变形。

例3．已知a,b都是正数，求证：3a3b3a2b2。

33642246分析：由于两边都含有根号，应先将根号去掉，然后再作差比较。

332223证明：因为(ab)(ab)＝a2abb3ab3abb

6＝－ab[(a)22b3282b]

922由于a,b都是正数，所以－ab[(a)又ab0，ab0

从而有3a3b33322b3282b]＜0

9a2b2。

3评注：在利用差值比较法证明不等式时，若变形以后出现了二次函数，则常配方法或判别式法来判定其符号。比如在课本上的一道例题―――“利用定义判定f(x)x的单调性”，就是一个非常经典的例子。

【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：

（a＋b）（a＋b）＜2（a+b）。

mmnnm+nm+n（2）证明：··≤。

【例2】设a1≤a2≤„≤an，b1≤b2≤„≤bn，j1,j2,„,jn是1,2,„,n的任意一个排列，令

S=a1+ a2+„+ an，S0=a1bn+a2bn-1+„+anb1，S1=a1b1+a2b2+„+anbn。

求证：S0≤S≤S1。

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二．商值比较法

除了将不等式的两边相等相减，通过比较差与0的大小来证明不等式外，有时也可以通过把等式的两边相除，转化为证明所得的商式与1比较大小关系。此种方法称为商值比较法，有时也叫做比商法。

商值比较法证明不等式的步骤：“作商――变形――判断与1的大小”。此时应注意商值比较法仅适用于分母恒为正数的不等式的证明。

例4．若nN，求证：(11)(1)(1)(114171)33n1。

3n2分析：此题我们一般想到的就是数学归纳法，但是利用数学归纳法在处理不等式的证明问题时步骤较为繁琐，下面我们利用商值比较法来处理。

111(11)(1)(1)(1)473n2证明：设an，

33n132an13n227n54n36n831， 则32233an27n54n36n4(3n1)3n1所以数列an是递增数列。

又a111331114321，anan1a1，

171)33n1（nN）。

3n2故(11)(1)(1)(1例5．已知函数f(x)1x2,(xR)，求证：|f(a)f(b)||ab|。

分析：观察所要证明的式子，可知利作商值比较法来证明。因为有等号，所以可以先证明等式成立，分为ab与ab两种情况。

证明：若ab时，|f(a)f(b)||ab|＝0；

若ab时，因为|f(a)f(b)|0，|ab|0。

|f(a)f(b)||1a21b2|a2b222|ab||ab|(ab)(1a1b)

ab1a21b2aba2b2ab1

|a||b|即|f(a)f(b)||ab|成立。

综合上面两种情况可知不等式|f(a)f(b)||ab|成立。

评注：（1）作商法通在两个正数之间进行。本题若采用直接作差，则需证<<证明不等式的基本方法之一比较法>>

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|1＋a21b2||ab|0成立，但因表达式较为复杂，很难奏效。但是考虑到|1＋a21b2|与|ab|均为非负，平方后并不改变它们之间的大小，故右以先平方去掉绝对值等号后再作差。因此本题民可以采用差值比较法来作。

方法二：|1＋a21b2|2－|ab|2 ＝2[(1ab)(1a2)(1b2)]

22＝2[(1ab)(1ab)(ab)]0，当且仅当ab时取等号。

abba例6．已知a,b都是正数，求证：abab，当且仅当ab时取等号。

分析：由于a,b都是正数，所以不等式的两边都是正数。由于所要证的不等式的两边都是指数的形式，从而将它们相除并考察商式与1的大小关系即可。

aabbaabbba()ab， 证明：将所要证的不等式的两边相除，得baabab根据所要证的不等式的特点（交换a,b的位置，不等式不变），不妨设ab0，于是aa1,ab0，从而()ab1，

bbabba当仅当ab时取等号，所以abab，当且仅当ab时取等号。

例7．设a,b,cR，求证：a2ab2bc2cabcbaccab。

证明：由于不等式是关于a,b,c对称的，不妨设abc，

a2ab2bc2ca于是bcacababcb所以a2aabbcbcacac1，

b2bc2cabcbaccab。

3a评注：由本题的结论可以推广得：abca3b3cabcbabccabc即aabbcc(abc)abc3。

其实，一般来说，如果xiR,i1,2,n，则有x1x2xnx1x2xn(x1x2xn)x1x2xnn成立，其证法与本题的证法完全一样，请同学们在课下完成此题的证明。

三．综合应用

比较法在高考试题和竞赛试题中很难单独出题，但它常与其它知识结合在一起出题，如下例：

例8．已知数列｛ｂn｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋„＋ｂ10＝100．

（1）求数列｛ｂn｝的通项公式ｂn；

（2）设数列｛an｝的通项an＝lg（1＋1），记Sn为｛an｝的前n项和，试比较Sn与

bn5

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1lgｂn＋1的大小，并证明你的结论．

2解：（1）容易得ｂn＝2n－1.

（2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋＝lg（１＋１）（１＋又11）＋„＋lg（１＋）

32n111）·„·（１＋）.

32n111gbn＋１＝1g2n1，

2111因此要比较Sn与1gbn＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋）·„·（１＋）232n1与2n1的大小. 取n=1，2，3时可以发现：前者大于后者，由此推测

（1+1）（1+11）· „· （１＋）＞2n1. ①

32n1下面用数学归纳法证明上面猜想：

当n=1时，不等式①成立.

11）·„·（１＋）＞2k1.

2k13111那么n=k+1时，（１＋１）（１＋）·„·（１＋）（１＋）

32k12k12(k1)2k11＞2k1（１＋）＝.

2k12k12(k1)2k121又因为［］－（2k3）2＝＞０，

2k12k12(k1)2k1∴＞2k3=2(k1)1.

2k1假设n=k时，不等式①成立，即（1＋1）（1＋∴当n=k+1时①成立.

综上所述，n∈N*时①成立．

由函数单调性可判定Sn＞四．创新应用

11gbn＋１.

21112(a3b3c3)例9．设a,b,cR,abc1，求S222的最小值。

abcabc222分析：在处理大多数极值问题时，先猜后证是一种十分重要的手段：猜，一猜答案；二猜等号成立的条件。在证明时要特别注意等号能否取到。

解：由于当abc时，S3，故可猜测S3。

1112(a3b3c3)事实上，

S32223

abcabca2b2c2a2b2c2a2b2c2a2b2c232()

bcacaba2b2c2<<证明不等式的基本方法之一比较法>>

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1111a2b2c22121a(22)b(22)c(22)2()

bcacabbcacab2111111a2()2b2()2c2()20。

bccaab当且仅当abc时取等号。

综上所述，S的最小值是3。

比较法跟踪练习

1． 若xy0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小。（提示：作差法）

2． 已知adbc，求证：(a2b2)(c2d2)(acbd)2。

3． 已知ab,求证：a6abb4ab(ab)。

4． 若x,y,zR,a,b,cR，求证：*422422bc2ac2ab2xyz2(xyyzzx)。

abcnnn15． 已知a,b(0,),nN，求证：(ab)(ab)2(a的结果正负不明时，应注意分情况进行讨论）

bn1)（提示：当作差6． 用差值比较法与商值比较法两种方法证明：已知a,bR,求证：abab。

baabnanbn)。 例⒈ 设a、bR，n，求证： ≥(22

例⒉ 已知ai0，i=1，2，„，n，则a11a22ann≥(a1a2an)aaaa1a2ann。

例⒊ 已知xR,证明：

例⒋ 已知a、b、cR，且abc1，求证：3a23b23c2≤33。

11x2≤≤。

132x23x63

例⒌ 已知a、b、c是三角形的三条边，求证：

abc≥3。

bcacababc

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1、已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=2，ab+ac+ad+bc+bd+cd=8－．试求b+c+d的最大值与最小值

3

2、已知实数a、b、c满足条件：abc0，其中m是正数，对于m2m1mf(x)=ax2bxc。（1）如果a0，证明：af(方程f(x)0在(0,1)内有解。

m（2）如果a0，试证明)0。m13、设a为正实数，二次函数f(x)＝ax2－4bx＋4c有两个属于区间

［2，3］的实数根。

（1）求证：存在以a、b、c为边长的三角形；

abc（2）求证：。

acbabc

4、已知一个数列的各项是1或2。首项为1，且在第k个1和第k1个1之间有2k1个2。即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,。（1）求该数列前1999项的和S1999；（2）是否存在正整数n，使得数列的前n项的和Sn2001？若n存在，求出n的值；若n不存在，证明你的结论。

2．分析法

【例4】若x,y>0，求证：>44。

4222222【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a+b+c<2(ab+bc+ca)。

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3．综合法

【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令

S=求证：t>S。

4．反证法

，t=。

【例8】已知a+b=2，求证：a+b≤2。

5．数学归纳法

33【例9】证明对任意自然数n，二、不等式证明的若干技巧

。

无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。

1． 变形技巧

【例1】若n∈N，S=求证：n

++···+，

【例2】（1）若A、B、C∈[0，π]，求证：

sinA+sinB+sinC≤3sin。

（2）△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A‘,B’,C‘，求证：S△ABC≤S△A’B‘C’。

2． 引入参变量

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【例3】将一块尺寸为48×70的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。

【例4】在△ABC中，求证：a+b+c≥4222△+(b-c)+(c-a)+(a-b)。

222其中，a,b,c是△ABC的三边长，△= S△ABC。

3． 数形结合、构造

【例5】证明：4． 递推

≤。

【例6】已知：x1=三、放缩法

，x2=，···，xn=。求证：。

【例1】若n∈N，n≥2，求证：。

【例2】α、β都是锐角，求证：≥9。

【例3】已知：a1≥1，a1 a2≥1，···，a1 a2···an≥1，求证：

。

【例4】S=1+++···+，求S的整数部分[S]。

【例5】设a0=5，an=an-1+

，n=1,2,···。求证：45

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