2024年1月15日发(作者：)
高初中数学的衔接讲座如何做好高、初中数学的衔接●第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。一高中数学与初中数学特点的变化1数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。2思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。3知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。-42
二不良的学习状态1学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。2思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。3学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。4不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。5进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。三科学地进行学习高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。1培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格-42
要求自己，磨炼学习意志。(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。2循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。3注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，-42
只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。●第二讲初中数学与高中数学衔接紧密的知识点●1绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。⎧a(a>0)⎪⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即a=⎨0(a=0)⎪−a(a<0)⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:|x|
5二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。6不等式与不等式组（1）不等式：①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。7一元二次方程：ax+bx+c=0(a≠0)①方程有两个实数根⇔2∆=b2−4ac≥0⎧∆>0⎪⎨cxx=>012⎪a⎩⎧∆>0⎪⎨cxx=<012⎪a⎩②方程有两根同号⇔③方程有两根异号⇔④韦达定理及应用：x1+x2=−bc,x1x2=aa-42
x+x=(x1+x2)−2x1x2,21222∆b2−4acx1−x2=(x1+x2)−4x1x2==aa2322x13+x2=(x1+x2)(x12−x1x2+x2)=(x1+x2)⎡(x+x)−3x1x2⎤12⎣⎦8函数（1）变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量y,x间的关系式可以表示成y=kx+b（b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。（3）一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k<0，b
（5）二次函数的性质2①函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象关于直线x=−②a>0时，在对称轴（x=−b对称。2abb）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x=−）2a2ab4ac−b2右侧；y的值随x值的增大而增大。当x=−时，y取得最小值2a4a③a<0时，在对称轴（x=−bb）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x=−）2a2ab4ac−b2右侧；y的值随x值的增大而减少。当x=−时，y取得最大值2a4a9图形的对称（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。10平面直角坐标系（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。（2）平面直角坐标系内的对称点：设M(x1,y1)，M′(x2,y2)是直角坐标系内的两点，⎧x1=−x2①若M和M'关于y轴对称，则有⎨。y=y⎩12②若M和M'关于x轴对称，则有⎨⎧x1=x2。⎩y1=−y2⎧x1=−x2③若M和M'关于原点对称，则有⎨。y=−y⎩12④若M和M'关于直线y=x对称，则有⎨⎧x1=y2。⎩y1=x2-42
⑤若M和M'关于直线x=a对称，则有⎨11统计与概率：⎧x1=2a−x2⎧x2=2a−x1或⎨。⎩y1=y2⎩y1=y2（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成A×10的形式，其中A大于等于1小于10，NN是正整数。（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。（5）平均数：对于N个数x1,x2,⋯,xN，我们把平均数，记为x。（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。（7）中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。（8）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。（9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。（10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。（11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发1(x1+x2+⋯+xN)叫做这个N个数的算术N-42
生的可能性是有大小的。（12）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0
b=a．叫做a的平方根，记作叫做a的立方根，记为[2]平方根与算术平方根的概念：x=±a(a≥0)，其中a(a≥0)叫做a的算术平方根．[3]立方根的概念：x=3a4．分式[1]分式的意义式形如AA的式子，若B中含有字母，且B≠0，则称为分式．当M≠0时，分BB（1）；（2）．A具有下列性质：B[2]繁分式当分式AAm+n+p的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，2mBBn+p说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1解下列不等式：（1）x−2<1（2）x−1+x−3＞4．例2计算：（1）(x−2x+)2132（2）(m−151111n)(m2+mn+n2)22510442（3）(a+2)(a−2)(a+4a+16)22222（4）(x+2xy+y)(x−xy+y)-42
例3已知x−3x=1=0，求x+231的值．x3例4已知a+b+c=0，求111111a(+)+b(+)+c(+)的值．bccaab例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）32+3（2）(1−x)2+(2−x)2 (x≥1)（3）11+ab（4）2x−x3+8x2例6设x=2+32−3,y=，求x3+y3的值．2−32+3x2+3x+96xx−1x例7化简：（1）（2）+−221−xx−279x−x6+2xx+1x−xxxxxx(x+1)x+1（1）解法一：原式====2==21−x(1−x)⋅xxx+x−xxxx+2x+x−x−1(x+1)(x−1)x+1x+1x-42
解法二：原式=xxxx(x+1)x+1===2=(1−x)⋅xx(1−x)xx+x−xxx+x+2x−1x−1x+1(x−)⋅xxx2+3x+96xx−116x−1（2）解：原式=+−=−−(x−3)(x2+3x+9)x(9−x2)2(3+x)x−3(x+3)(x−3)2(x−3)2(x+3)−12−(x−1)(x−3)−(x−3)23−x===2(x+3)(x−3)2(x+3)(x−3)2(x+3)说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1．解不等式x+3+x−2<72．11x2+xy+y2设x=,y=，求代数式的值．x+y3−23+23．aba2+b2当3a+ab−2b=0(a≠0,b≠0)，求−−的值．baab224．设x=5−142，求x+x+2x−1的值．25．计算(x+y+z)(−x+y+z)(x−y+z)(x+y−z)6．化简或计算：(1)(18−4113+)÷232−3(2)221⋅2−(2−5)2+35+2-42
(3)xx+xyx+xy+y−xy−y2xx−yy(4)(a+b−ababa+b)÷(+−)a+bab+bab−aab★专题二因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：[2]完全平方和公式：[3]完全平方差公式：[4](a+b+c)2=[5]a3+b3=[6]a−b=33；；．(立方和公式)(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma+mb+na+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先-42
将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）x2+(p+q)x+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．∵x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)，∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式ax+bx+c型的因式分解由a1a2x+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a2×c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c122a1c2+a2c1，如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法【例题选讲】例1（公式法）分解因式：(1)3ab−81b；(2)a−ab3476例2（分组分解法）分解因式：（1）ab(c2−d2)−(a2−b2)cd（2）2x2+4xy+2y2−8z2-42
例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)x+5x−24(3)x2+xy−6y22(2)x−2x−15(4)2(x2+x)2−8(x2+x)+12解：（1）∵ −24=(−3)×8,(−3)+8=5∴
x2+5x−24=[x+(−3)](x+8)=(x−3)(x+8)（2）∵ −15=(−5)×3,(−5)+3=−2∴
x2−2x−15=[x+(−5)](x+3)=(x−5)(x+3)（3）分析：把x2+xy−6y2看成x的二次三项式，这时常数项是−6y2，一次项系数是y，把−6y2分解成3y与−2y的积，而3y+(−2y)=y，正好是一次项系数．解：x2+xy−6y2=x2+yx−62=(x+3y)(x−2y)(4)由换元思想，只要把x+x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式2a2−8a+12．解：(x2+x)2−8(x2+x)+12=(x2+x−6)(x2+x−2)=(x+3)(x−2)(x+2)(x−1)例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)12x−5x−2；(2)5x2+6xy−8y2解：(1)12x−5x−2=(3x−2)(4x+1)(2)5x+6xy−8y=(x+2y)(5x−4y)2222342×− 11 2y5−4y×说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．例5（拆项法）分解因式x−3x+432【巩固练习】1．把下列各式分解因式：(1)ab(c2−d2)+cd(a2−b2)(2)x−4mx+8mn−4n22-42
(3)x+644(4)x−11x+31x−2132(5)x3−4xy2−2x2y+8y32．已知a+b=2,ab=2，求代数式a2b+2a2b2+ab2的值．33．现给出三个多项式，算，并把结果因式分解.1211x+x−1，x2+3x+1，x2−x，请你选择其中两个进行加法运2224．已知a+b+c=0，求证：a+ac+bc−abc+b=0．3223★专题三【要点回顾】一元二次方程根与系数的关系1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，用配方法将其变形-42
为：2．2由于可以用b−4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式，表示为：∆=b−4ac对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]当Δ[2]当Δ[3]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：0时，方程有两个相等的实数根：0时，方程没有实数根．；；22．一元二次方程的根与系数的关系2定理：如果一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)的两个根为x1,x2，那么：x1+x2=,x1x2=说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是∆≥0．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x
2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x
2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x
2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x
2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x
2)x＋x1·x2＝0．【例题选讲】例1已知关于x的一元二次方程3x−2x+k=0，根据下列条件，分别求出k的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．2例2已知实数x、y满足x2+y2−xy+2x−y+1=0，试求x、y的值．例3若x1,x2是方程x+2x−2007=0的两个根，试求下列各式的值：2-42
(1)x1+x2；22(2)11+；x1x2(3)(x1−5)(x2−5)；(4)|x1−x2|．例4已知x1,x2是一元二次方程4kx−4kx+k+1=0的两个实数根．(1)是否存在实数k，使(2x1−x2)(x1−2x2)=−说明理由．(2)求使23成立？若存在，求出k的值；若不存在，请2x1x2+−2的值为整数的实数k的整数值．x2x13成立．∵一元二次方程2解：(1)假设存在实数k，使(2x1−x2)(x1−2x2)=−⎧4k≠04kx2−4kx+k+1=0的两个实数根，∴⎨⇒k<0，又2⎩∆=(−4k)−4⋅4k(k+1)=−16k≥0⎧x1+x2=1⎪x1,x2是一元二次方程4kx2−4kx+k+1=0的两个实数根，∴⎨k+1xx=12⎪4k⎩∴(2x1−x2)(x1−2x2)=2(x1+x2)−5x1x2=2(x1+x2)−9x1x2=−222k+939=−⇒k=，但4k25k<0．∴不存在实数k，使(2x1−x2)(x1−2x2)=−3成立．2x1x2x12+x22(x1+x2)24k4(2)∵+−2=−2=−4=−4=−x2x1x1x2x1x2k+1k+1∴要使其值是整数，只需k+1能被4整除，故k+1=±1,±2,±4，注意到k<0，要使x1x2+−2的值为整数的实数k的整数值为−2,−3,−5．x2x1【巩固练习】-42
1．若x1,x2是方程2x−6x+3=0的两个根，则A．2B．−22211+的值为(x1x212)C．D．9222．若t是一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)的根，则判别式∆=b−4ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是()A．∆=MB．∆>MC．∆ 对称点或对称直线方程对称点的坐标x轴y轴原点点(a,b)直线x=a直线y=b直线y=x直线y=−x2．函数图象[1]一次函数：数，k≠0)特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。[2]正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而第四象限，y随x的增大而．；当的一条直线，当时，图象过原点及第二、称y是x的一次函数，记为：y=kx+b(k、b是常[3]一次函数的图象与性质：函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设y=kx+b(k≠0)，则当随x的增大而．时，y随x的增大而；当时，y[4]反比例函数的图象与性质：函数y=在每个象限中，y随x的增大而中，y随x的增大而k(k≠0)是双曲线，当x；当时，图象在第一、第三象限，时，图象在第二、第四象限.，在每个象限．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x与y=−x；又是中心对称图形，对称中心是原点．【例题选讲】例1已知A(2,y1)、B(x2,−3)，根据下列条件，求出A、B点坐标．(1)A、B关于x轴对称；(2)A、B关于y轴对称；(3)A、B关于原点对称．-42 例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。例3如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(1，3)，B(n，−1)两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．k33 y 解：（1）∵A(1，3)在y=x的图象上，∴k=3，∴y=x又∵B(n，−1)在y=x的图象A 上，∴n=−3，即B(−3，−1)，⎨⎧3=m+b−1=−3m+b，解得：m=1，b=2，反比例函数的⎩B O 解析式为y=3图（12x，一次函数的解析式为y=x+2，）（2）从图象上可知，当x<−3或0 y y y y O x O x O x O x A． B． C． D． 2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB=6，AD=22，求B,C,D点的坐标．-42x 3．如图，已知直线y=（1）求k的值；1kx与双曲线y=(k>0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．2x（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y=k(k>0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点x 图12 P为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．★专题五二次函数【要点回顾】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题[1]函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？问题[2]函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：222bbbbbb−4ac2由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a(x2＋x＋2)＋c－=a(x+)+，aa4a4a2a4a所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：[1]当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称-42 轴为直线大而；当；当时，y随着x的增大而．；当时，y随着x的增时，函数取最小值[2]当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向为直线当；当时，函数取最大值y x＝－ ；顶点坐标为；当，对称轴；时，y随着x的增大而．时，y随着x的增大而y A O Ax O x＝－ x 图2.2-4 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，图2.2-3 可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．2．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：（1）．一般式：（2）．顶点式：（3）．交点式：；；．说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0).(x2,0)时可利用交点式来求．3．分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．【例题选讲】例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）-42 之间关系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例3已知函数y=x2,−2≤x≤a，其中a≥−2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．例4根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．例5在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为⎧80,⎪160⎪⎪y=⎨240,⎪320⎪⎪⎩400,x∈(0,20]x∈(20,40]x∈(40,60]x∈(60,80]x∈(80,100]y(分) 400 320 240 160 80 O 20 40 60 80 100 x(克) 图2.2－9 -42 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示．【巩固练习】1．选择题：（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）（2）函数y＝－x2＋4x＋6的最值情况是（）（A）有最大值6（B）有最小值6（C）有最大值10（D）有最大值2（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）（A）－3≤y≤1（B）－7≤y≤1（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜112．填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，−1），B（1，0），C（−1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，−3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（−3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，−3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，−2），且与x轴两交点间的距离为4．4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？第2题 5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．（1）求函数y的解析式；D C -42P A B （2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围．★专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1．二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的最值．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a>0时，函数在x=−b处取得最小值2a4ac−b2b4ac−b2，无最大值；当a<0时，函数在x=−处取得最大值，无最小值．4a2a4a2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．3．求二次函数在某一范围内的最值．如：y=ax2+bx+c在m≤x≤n（其中m ②对称轴x0>m+n，即对称轴在m≤x≤n的中点的右侧；2说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。【例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值．（1）y=2x2−3x−5；（2）y=−x2−3x+4．例2当1≤x≤2时，求函数y=−x2−x+1的最大值和最小值．例3当x≥0时，求函数y=−x(2−x)的取值范围．125x−x−的最小值(其中t为常数)．22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．125解：函数y=x−x−的对称轴为x=1．画出其草图．22125(1)当对称轴在所给范围左侧．即t>1时：当x=t时，ymin=t−t−；22(2)当对称轴在所给范围之间．即t≤1≤t+1⇒0≤t≤1时：当x=1时，15ymin=×12−1−=−3；22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t+1<1⇒t<0时：当x=t+1时，151ymin=(t+1)2−(t+1)−=t2−3．222例4当t≤x≤t+1时，求函数y=-42 ⎧12⎪2t−3,t<0⎪综上所述：y=⎨−3,0≤t≤1⎪15⎪t2−t−,t>12⎩2例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162−3x,30≤x≤54．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【巩固练习】1．抛物线y=x2−(m−4)x+2m−3，当m=_____时，图象的顶点在y轴上；当m=_____时，图象的顶点在x轴上；当m=_____时，图象过原点．2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．设a>0，当−1≤x≤1时，函数y=−x2−ax+b+1的最小值是−4，最大值是0，求a,b的值．4．已知函数y=x2+2ax+1在−1≤x≤2上的最大值为4，求a的值．-42 5．求关于x的二次函数y=x2−2tx+1在−1≤x≤1上的最大值(t为常数)．★专题七不等式【要点回顾】1．一元二次不等式及其解法[1]定义：形如式．[2]一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)及一元二次方程ax+bx+c=0的关系(简称：三个二次)．（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)将二次项系数先化为正数；(2)观测相应的二次函数图象．①如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2(也可由根的判别式∆>0来判断)．则2为关于x的一元二次不等②如果图象与x轴只有一个交点(−b,0)，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根2axx=x2=−b(也可由根的判别式∆=0来判断)．则：2a-42 ③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式∆<0来判断)．则：（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么“>0”型的解为x 的形式．b；ab[2]当a<0时，不等式的解为：x<；a[3]当a=0时，不等式化为：0⋅x>b；①若b>0，则不等式的解是全体实数；②若b≤0，则不等式无解．[1]当a>0时，不等式的解为：x>【例题选讲】2例1解下列不等式：(1)x+x−6>0(2)(x−1)(x+2)≥(x−2)(2x+1)⑴解法一：原不等式可以化为：(x+3)(x−2)>0，于是：⎨⎧x+3<0或x−2<0⎩⎧x+3>0⎧x<−3⎧x>−3⇒或⎨⇒x<−3或x>2所以，原不等式的解是x<−3或x>2．⎨⎨⎩x−2>0⎩x<2⎩x>2-42 解法二：解相应的方程x+x−6=0得：x1=−3,x2=2，所以原不等式的解是2x<−3或x>2．(2)解法一：原不等式可化为：−x+4x≤0，即x2−4x≥0⇒x(x−4)≥0于是：2⎧x≤0⎧x≥0或⎨⇒x≤0或x≥4，所以原不等式的解是x≤0或x≥4．⎨x−4≤0x−4≥0⎩⎩解法二：原不等式可化为：−x+4x≤0，即x−4x≥0，解相应方程x−4x=0，得222x1=0,x2=4，所以原不等式的解是x≤0或x≥4．说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解．例2解下列不等式：(1)x−2x−8<02(2)x−4x+4≤02(3)x2−x+2<0例3已知对于任意实数x，kx−2x+k恒为正数，求实数k的取值范围．2例4解下列不等式：(1)2x−3<0x+1(2)1≤3x+2例5求关于x的不等式mx+2>2mx+m的解．解：原不等式可化为：m(m−2)x>m−2(1)当m−2>0即m>2时，mx>1，不等式的解为x>(2)当m−2<0即m<2时，mx<1．21；m-42 ①0 4．解关于x的不等式(m−2)x>1−m．5．已知关于x的不等式mx−x+m<0的解是一切实数，求m的取值范围．26．若不等式x+2x−3>1+2的解是x>3，求k的值．kk7．a取何值时，代数式(a+1)2+2(a−2)−2的值不小于0？●各专题参考答案●专题一数与式的运算参考答案例1（1）解法1：由x−2=0，得x=2；-42 ①若x>2，不等式可变为x−2<1，即x<3；②若x<2，不等式可变为−(x−2)<1，即−x+2<1，解得：x>1．综上所述，原不等式的解为1 PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．|x－3| 所以，不等式x−1+x−3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，P C A B D 可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x 0 1 3 4 所以原不等式的解为x＜0，或x＞4．|x－1| 例2（1）解：原图1．1－1 式=[x2+(−2x)+1]2=(x2)2+(−2x)2+(1)2+2x2(−2)x+2x2×1333+2×13×(−2x)=x4−22x3+82213x2−3x+9说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．（2）原式=(1m)3−(1n)3=13152125m−8n3（3）原式=(a2−4)(a4+4a2+42)=(a2)3−43=a6−64（4）原式=(x+y)2(x2−xy+y2)2=[(x+y)(x2−xy+y2)]2=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6例3解：∵x2−3x=1=0∴x≠0∴x+1x=3原式=(x+1)(x2−1+1x2)=(x+1xx)[(x+122x)−3]=3(3−3)=18例4解：∵a+b+c=0,∴a+b=−c,b+c=−a,c+a=−ba⋅b+ca+ca+ba(−a)b(−b)c(−cbc+b⋅ac+c⋅ab=bc+ac+)a2+b2+c2∴原式=ab=−abc①∵a3+b3=(a+b)[(a+b)2−3ab]=−c(c2−3ab)=−c3+3abc∴a3+b3+c3=3abc②，把②代入①得原式=−3abcabc=−3-42x 例5解：（1）原式=3(2−3)3(2−3)==6−3322−3(2+3)(2−3)⎧(x−1)+(x−2)=2x−3 (x>2)⎩(x−1)−(x−2)=1 (1≤x≤2) （2）原式=|x−1|+|x−2|=⎨说明：注意性质a2=|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．a+ba2b+ab2（3）原式==abab（4）原式=22x−x⋅x2+2×22x=2x−xx+22x=32x−xx2×22+3(2+3)2例6解：x===7+43,y=7−43 ⇒ x+y=14,xy=122−32−3原式=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)[(x+y)2−3xy]=14(142−3)=2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．【巩固练习】1．−4 例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：ab(c2−d2)−(a2−b2)cd=abc2−abd2−a2cd+b2cd=(abc2−a2cd)+(b2cd−abd2)=ac(bc−ad)+bd(bc−ad)=(bc−ad)(ac+bd)（2）分析：先将系数2提出后，得到x2+2xy+y2−4z2，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：2x2+4xy+2y2−8z2=2(x2+2xy+y2−4z2)=2[(x+y)2−(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y−2z)例5解：x3−3x2+4=(x3+1)−(3x2−3)=(x+1)(x2−x+1)−3(x+1)(x−1)=(x+1)[(x2−x+1)−3(x−1)]=(x+1)(x2−4x+4)=(x+1)(x−2)2【巩固练习】1．(1)(bc+ad)(ac−bd);(2)(x−4m+2n)(x−2n);(3)(x2−4x+8)(x2+4x+8);(4)(x−1)(x−3)(x−7);(5)(x−2y)2(x+2y)．28；3121223．(x+x−1)+(x+3x+1)=x+4x=x(x+4)2212122其他情况如下：(x+x−1)+(x−x)=x−1=(x+1)(x−1)；2211(x2+3x+1)+(x2−x)=x2+2x+1=(x+1)2.222．4．a+ac+bc−abc+b=(a−ab+b)(a+b+c)322322专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案例1解：∵∆=(−2)2−4×3×k=4−12k，∴(1)4−12k>0⇒k<1；3(2)4−12k=0⇒k=1；3(3)4−12k≥0⇒k≥11；(4)4−12k<0⇒k<．33例2解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：x2−(y−2)x+y2−y+1=0由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：-42 ∆=[−(y−2)]2−4(y2−y+1)=−3y2≥0⇒y=0，代入原方程得：x+2x+1=0⇒x=−1．综上知：x=−1,y=0例3解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x2=−2,x1x2=−2007(1)x1+x2=(x1+x2)−2x1x2=(−2)−2(−2007)=4018(2)2222211x1+x2−22+===x1x2x1x2−20072007(3)(x1−5)(x2−5)=x1x2−5(x1+x2)+25=−2007−5(−2)+25=−1972(4)|x1−x2|=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(−2)2−4(−2007)=22008222说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x1+x2=(x1+x2)−2x1x2，11x1+x2222+=，(x1−x2)=(x1+x2)−4x1x2，|x1−x2|=(x1+x2)−4x1x2等等．韦达定x1x2x1x2理体现了整体思想．【巩固练习】1．A；2．A；3．p=−1,q=−3；4．a=3,b=3,c=0；5．m=1(1)当k=3时，方程为3x+1=0，有实根；(2)当k≠3时，∆>0也有实根．6．(1)k≥3且k≠1；4(2)k=7．专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例1解：(1)因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以x2=2，y1=3，则A(2,3)、B(2,−3)．(2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，x2=−2，y1=−3，则A(2,−3)、B(−2,−3)．(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以x2=−2，y1=3，则A(2,3)、B(−2,−3)．例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），-42 即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。解：∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，又∵S∆AOB=1AO⋅BO=2，∴AO=22又∵y=kx+2，过第二象限，∴A(−2，0)把x1=−2，y1=0代入y=kx+2中得k=1，∴y=x+2【巩固练习】1．B2．D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．（1）k=8．（2）点P的坐标是P(2，4)或P(8，1)．专题五二次函数参考答案例1解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B(23−3,0)和3A(－1,4) y C(−23+3,0)，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．3D(0,1) 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．C O B x 例2分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售x＝－1 价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．图2.2－5 解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有⎨⎧70=130k+b,⎩50=150k+b,解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴当x＝160时，z取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．-42 y 4 4 y y a2 4 a2 －2 a x －2 2 O a 2 x －2 a O ① O ③ a x ② 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为图2.2－6 y=a(x−2)2+1(a<0)，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴−1=a(3−2)2+1，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为y=−2(x−2)+1，即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．（2）分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)22−12a−4a(a≠0)，展开，得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为=−4a，由于二次函数4a1图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝±．所以，二次函数的表达式为y＝212313x+x−，或y＝－x2−x+．22222分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－＝1，或a2111．所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．222说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．（3）解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得⎧−22=a−b+c⎪⎨−8=c⎪8=4a+2b+c⎩解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．-42 【巩固练习】1．（1）D（2）C（3）D2．（1）y＝x2＋x－2（2）y＝－x2＋2x＋33．（1）y=2x2−2x−1．（2）y=4(x−1)2−3=4x2−8x+1．11252112（4）y=(x−3)−2=x−3x+(x+3)(x−5)=x2−x−3．2225554．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．y 5．（1）函数f（x）的解析式为（3）y=⎧x, 0 O 2 4 6 8 x （2）函数y的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．图2.2－11 专题六二次函数的最值问题参考答案例1分析：由于函数y=2x2−3x−5和y=−x2−3x+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解：（1）因为二次函数y=2x2−3x−5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y=2x2−3x−5有最低3349点，即函数有最小值．因为y=2x2−3x−5=2(x−)2−，所以当x=时，函数44849．y=2x2−3x−5有最小值是−82（2）因为二次函数y=−x−3x+4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线y=−x2−3x+4有最高点，即函数有最大值．因为y=−x2−3x+4=−(x+32253，所以当x=−时，函数)+242y=−x2−3x+4有最大值25．4例2解：作出函数的图象．当x=1时，ymin=−1，当x=2时，ymax=−5．说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：-42 例3解：作出函数y=−x(2−x)=x2−2x在x≥0内的图象．可以看出：当x=1时，ymin=−1，无最大值．所以，当x≥0时，函数的取值范围是y≥−1．例5解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x−30)元，那么m件的销售利润为y=m(x−30)，又m=162−3x．∴ y=(x−30)(162−3x)=−3x2+252x−4860,30≤x≤54(2)由(1)知对称轴为x=42，位于x的范围内，另抛物线开口向下∴当x=42时，ymax=−3×422+252×42−4860=432∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．【巩固练习】31．414或2，2l222．m163．a=2,b=−2．4．a=−1或a=−1．45．当t≤0时，ymax=2−2t，此时x=1；当t>0时，ymax=2+2t，此时x=−1．专题七不等式答案例2解：(1)不等式可化为(x+2)(x−4)<0∴不等式的解是−2 例4分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．解：(1)解法(一)原不等式可化为：33⎧⎧⎧2x−3<0⎧2x−3>0⎪x<3⎪x>或⎨⇒⎨2或⎨2⇒−1