届高三数学培优讲座(函数)

2024年1月15日发(作者：)

届高三数学培优复习讲座（一）

函 数

一、04考题回放

1、函数基础知识

1、1函数的定义、解析式

（. 陕西.理5）函数ylog1(x21)的定义域为（ ）

2A、2,11,2 B、(2,1)(1,2) C、2,11,2 D、(2,1)(1,2)

（·浙江·文9）若函数f(x)loga(x1)(a0,a1)的定义域和值域都是[0，1]，则a

1(A)

3(B)

2 (C)2

2(D)2

1x1x2（·湖北·理10）已知f(),则f(x)的解析式可取为 （ ）

21x1x A．x

21xB．2x

21xC．2x

21xD．x

21x（·浙江·理12）若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程xf[g(x)]0有实数解，则g[f(x)]不可能是

．．．112 （B）xx

551122 （C）x （D）x

551、2函数的性质

1、2、1函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性

1x(.全国Ⅰ.理2)已知函数f(x)lg（ ）

.若f(a)b.则f(a)

1x11 A．b B．b C． D．



bb1（·宁夏·理12）设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1),f(x2)f(x)f(2),则f(5)25 A．0 B．1 C． D．5

2 （A）xx2（·福建·理11）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x[3,5]时，f(x)2x4则（ ）

A．f(sin22)f(cos1) C．f(cos)f(sin2)

33661 / 9

（·天津·12）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x[0, A．

1

22]时，f(x)sinx，则f(1

225)的值为

3D．

3

2 （ ）

B． C．

3

2（·湖南·文7）若f(x)x2ax与g(x)a在区间1,2上都是减函数，则a的值范x1围是

（ ）

D．(0,1]

（ ）

A．(1,0)(0,1) B．(1,0)(0,1] C．（0，1）

x（·四川·理6）函数ye的图象

A．与yex的图象关于y轴对称 B．与yex的图象关于坐标原点对称

C．与yex的图象关于y轴对称 D．与yex的图象关于坐标原点对称

1、2、2函数的最值

2（·湖北·理7）函数f(x)aloga(x1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的

值为（ ）

1A．

4B．1

2C．2 D．4

（ ）

5x24x5（·湖北·文8）已知x,则f(x)有

22x4 A．最大值5

4B．最小值5

4C．最大值1 D．最小值1

（·天津·理5）若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）

A．

2

4B．

2

2C．

1

4D．

1

21、2、3函数的反函数

（·北京·理5）函数f(x)x2ax3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是2

（ ）

A．a(,1] B．a[2,) C．a[12,] D．

a(,1][2,)

（ ） （·全国Ⅰ·理4）函数yx11(x1)的反函数是

2 / 9

A．yx2x2(x1)

C．yx2x(x1)

2x22B．yx2x2(x1)

D．yx2x(x1)

22（·宁夏·理2）函数ye(xR)的反函数为 （ ）

A．y2lnx(x0) B．yln(2x)(x0) C．y（·天津·理11）函数y3x211lnx(x0) D．yln2x(x0)

22（ ）

1（1x0）的反函数是

11A．

y1log3x(x) B．

y1log3x(x)

3311 C．

y1log3x(x1) D．

y1log3x(x1)

331（·湖南·文3）设f(x)是函数f(x)=x的反函数，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A．f11(x)2x1 B．f11(x)2x1 C．f11(x)2x1 D．f1(x)2x1

（·湖南·理3）设f(x)是函数[1f(a)][1f(b)]8，则f(ab)的值为

f(x)log2(x1)的反函数，若

D．log23

（ ）

A．1 B．2 C．3

x（·陕西·理15）已知函数yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)31，设f(x)的反函数是yg(x)，则g(8) .

（·广东·16）函数f(x)ln（x11）(x0)的反函数f1(x)____________

1、2、4函数的图像及图像变换

（·福建·理7）已知函数y=log2x的反函数是y=f—1(x)，则函数y= f—1(1－x)的图象是

（. 北京春季高考。理2）函数f(x)log2x的图象是（ ）

3 / 9

y

y

y

y

O1

xO1

xO1

xO1

xA（. 上海.理15）若函数BCD

y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋 （ ）

D．110x

转得到,则f(x)=

2 A．10x1 B．10x1 C．110x

x（·湖北·文5）若函数f(x)ab1(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）

A．0a1且b0 B．a1且b0 C．0a1且b0 D．a1且b0

（·湖南·文16）若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.

（. 上海.理10）若函数f(x)=axb2在[0,)上为增函数,则实数a、b的取值范围是 .

2、导数及其应用

2、1 导数与函数

1、（·湖南·理12）设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是 （ ）

A．(3,0)(3,) B．(3,0)(0,3) C．(,3)(3,) D．(,3)(0,3)

2、（·全国Ⅱ·理10）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）

35, A () B (π,2π) C () D (2π,3π)

22223,33、（·江苏·10）函数f(x)x3x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是

A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17

2D．9，-19

4、（·湖南·文9）若函数f(x)xbxc的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象是 （ ）

4 / 9

y

y

y

y

o x

o

B

x

o

C

x

o

D

x

A

5、（· 浙江·理11）设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如右图所示，则yf(x)的图象最有可能的是（ ）

32

6、（·全国Ⅰ·文19）已知f(x)ax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围.

7、（.湖南.理20）已知函数f(x)xe,其中a≤0,e为自然对数的底数.

2ax (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.

13128、（·全国Ⅱ·文21）若函数f(x)xax(a1)x1在区间（1，4）内为减函32数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

9、（·天津·理20）已知函数f(x)axbx3x在x1处取得极值.

32 （1）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

（2）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程

10、（·天津·文21）已知函数f(x)axcxd(a0)是R上的奇函数，当x1时3f(x)取得极值2.

(I)求f(x)的单调区间和极大值；

(II)证明对任意x1,x2(1,1),不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立

5 / 9

11、（·重庆·理20）设函数f(x)x(x1)(xa),(a1)

（1）求导数f(x); 并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2;

（2）若不等式f(x1)f(x2)0成立，求a的取值范围.

12、（.全国Ⅰ.理22）已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx.

/ (Ⅰ)求函数f(x)的最大值；

(Ⅱ)设0ab,，证明：0g(a)g(b)2g(（.全国Ⅳ.理18）求函数f(x)ln(1x)ab)(ba)ln2

212x在[0，2]上的最大值和最小值.

4

2、1 导数与切线

（· 全国Ⅳ·文19）已知直线l1为曲线yxx2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线2的另一条切线，且l1l2.

（Ⅰ）求直线l2的方程；

（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.

（· 广东·19）设函数f(x)11,x0(I)证明：当0ab且f(a)f(b)时，ab1

x(II)点P(x0,y0)（0

（.浙江.理20）设曲线y=ex(x≥0)在点M(t,et}处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t).

(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值。

（.湖南.文21）如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0

y

（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);

C1

（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.

D

二、综合能力题选讲

例1（·北京·理18）函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，x11满足f(x)2f()且f(1)1，在每个区间(i,i1]（i1，222B

t

A

C2

O x

6 / 9

2……）上，yf(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。

111 （I）求f(0)及f()，f()的值，并归纳出f(i)(i1,2,)的表达式;

24211 （II）设直线xi，xi1，x轴及yf(x)的图象围成的矩形的面积为ai22（i1，2……），记S(k)lim(a1a2an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和n最小值

解：（I）由f(0)2f(0)，得f(0)0

1111 由f(1)2f()及f(1)1，得f()f(1).

222211111 同理，f()f(). 归纳得f(i)i(i1,2,).

4224221111 （II）当ixi1时,

f(x)i1k(xi1)

22221111111

ai[i1i1k(ii1)](i1i)

2222222k

(1)2i1(i1,2,).

421k1 所以{an}是首项为(1)，公比为的等比数列,

4241k(1)42(1k).

所以S(k)lim(a1a2an)2n134141

S(k)的定义域为0k1，当k1时取得最小值.

2例2（·全国Ⅳ·理22）已知函数f(x)ex(cosxsinx),将满足f(x)0的所有正数x从小到大排成数列{xn}.

（Ⅰ）证明数列{f{xn}}为等比数列；

（Ⅱ）记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和，求limS1S2Sn.

nn（Ⅰ）证明：f(x)ex(cosxsinx)ex(sinxcosx)2exsinx.

由f(x)0,得2exsinx0.

解出xn,n为整数，从而

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xnn,n1,2,3,

f(xn)(1)nen.

f(xn1)e.

f(xn)所以数列{f(xn)}是公比qe的等比数列，且首项f(x1)q.

（Ⅱ）解：Snx1f(x1)x2f(x2)xnf(xn)

q(12qnqn1),

qSnq(q2q2nqn),

SnqSnq(12qq2n1nq)从而Snnq1qn1q1q(nqn).

1qq(nqn),1q

S1S2Sn

nnq(1q)2q2n(1q)2(1qqn1)q2n(1q)(12qnqn1)

1qnq21qnn(nq)222(1q)n(1q)1qn(1q)1qqqq22q2qn2n(1q).232(1q)n(1q)(1q)因为|q|e0，所以

nS1S2Snqelim.22

nn(1q)(e1)例3设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的两个根x1,x2满足0x1x21.

a（Ⅰ）当x(0,x1)时，证明：xf(x)x1;

（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于直线xx0对称，证明：x0x1.

2解：（Ⅰ）令F(x)f(x)x.因为x1,x2是方程f(x)x0的根，所以

8 / 9

F(x)a(xx1)(xx2)当x(0,x1)时,由于x1x2,得(xx1)(xx2)0,又a0得F(x)a(xx1)(xx2)0,即xf(x)x1f(x)x1[xF(x)]x1xa(xx1)(xx2)(xx1)[1a(xx2)]1,所以x1x0,1a(xx2)1axax21ax2（Ⅱ）依题意知x0.

2a因为0xx1x2

因为x1,x2是方程f(x)x0的根，即x1,x2是方程

ax2(b1)xc0的根

所以x1x2x0b1,

aa(x1x2)1ax1ax21b.2a2a2a

axx因为ax21,所以x011.2a2

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