八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案

2024年1月12日发(作者：)

第四讲 分式的概念、性质及运算

分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容．

从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．

分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：

1．化整为零，分组通分；

2，步步为营，分步通分；

3．减轻负担，先约分再通分；

4．裂项相消后通分等

例题求解

【例1】 要使分式1有意义，则x的取值范围是 ．

1xx

(“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．

注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．

学习分式时，应注意：

(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；

(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；

（3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．

【例2】 已知3x4x2x2AB，其中A、B为常数，则4A－B的值为（ ）

x2x1 A．7 B．9 C．13 D．5

(江苏省竞赛题)

思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A、B的值．

【例3】计算下列各式：

1

112a4a3 (1)；

ababa2b2a4b4 （2）x2yzx(yz)xyz2y2zxy(zx)yzx2z2xyz(xy)zxy2； ( “五羊杯”竞赛题)

（3）x3132x2x2x1x2x2x1x1(yx)(zx)(zy)(xy)(xz)(yz)（4）

(x2yz)(xy2z)(xy2z)(yz2x)(yz2x)(x2yz)x31322(x21)2 (江西省赣州市竞赛题)

(安徽省马鞍山市竞赛题)

思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用换元法简化式子．

【例4】 解下列分式方程(组)：

(1)5x96x84x192x21； (“五羊杯”竞赛题)

x19x9x6x81abab31bc (2) (“希望杯”邀请赛题)

bc4ca1ca5 思路点拨 若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则．

【例5】 (1)n为自然数，若n+6|n+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|4+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．

(北京市竞赛题)

(2)计算：

1223311005000220050003222k22k100k500099990050009922 (上海市“宇振杯”竞赛题)

思路点拔 (1)由于n+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．

学力训练

a241．（1）要使分式没有意义，则a的值为 ．

13a12a （2）若a5和(b4)2互为相反数，则 ． (岳阳市中考题)

2

ab114ab()()(a22abb2)的值为

ababba

2．已知x为整数，且3．已知222x18为整数，则所有符合条件的x值的和为 ．

2x33xx94xab与的和等于2，则a= ，b＝ ．

x2x2x4(山东省竞赛题)

4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题)

5．已知式子(x8)(x1)的值为0，则x的值为( )

x1 A．±1 B．－l C．8 D．－1或8

(江苏省竞赛题)

6．化简1111的结果是( )

(x1)(x2)(x2)(x3)(x3)(x4)(x4)(x5)A．4x6x52 B．3x6x52 C．2x6x52 D．1x6x52

(大连市“育英杯”竞赛题)

7．若x取整数，则使分式6x3的值为整数的x值有( )

2x1A．3个 B．4个 C．6个 D．8个

(江苏省竞赛题)

8．若a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，则111的值是( )

abc A．正数 B．负数 C．零 D．正数或负数

(“希望杯”邀请赛试题)

9．计算下列各题：

（1）11248；

248x11xx1x1x13x29x72x24x3x3x1 （2）；

x1x1x21bccaab （3）2；

22aabacbcbbcabaccacbcab10．(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分 钟，若每分钟速度增加0．1千米，则只需9分钟．求隧道长．（大原市竞赛题)

(2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。元和6

元，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均

价格更低些?说明理由．

3

(福州市中考题)

ll.若x+y+z=3a(a≠O)，则12．若关于x的方程(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)(xa)2(ya)2(za)2的值为 ．

2xa1的解为正数，则a的取值范围是 ．

x2 (湖北省选拔赛试题)

13．方程4x一2xy－12x+5y+11=O有 组正整数解．

( “五羊杯”竞赛题)

l4．已知1260aa622是正整数，则正整数a= ．

( “希望杯”邀请赛试题)

15．设a、b、c均为正数,若cab，则a、b、c三个数的大小关系是( )

abbcca A．c

16．已知a12a2b0，则为( )

bab A．－1 B．1 C． 2 D．不能确定

(江苏省竞赛题)

17．分式6x212x10x22x2可取的最小值为（ ）

A．4 B．5 C． 6 D．不存在

18．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c=0，则1b2c2a21c2a2b21a2b2c2的值是（ ）

A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定

19．解下列方程(组)：

（1）132x172x192x112x

112x152x172x92x（2）111111x3x2 （太原市竞赛题）

2x120．(1)某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，求值． (江苏省竞赛题)

（2）已知A＝111的a1b1c145678923，B=，试比较A与B的大小．

56789236 (南京市竞赛题)

21．已知正整数n大于30，且使得4n一1整除2002n，求n的值．

4

(第14届“五羊杯”邀请赛试题)

5

6

7