新课标八年级数学竞赛讲座:第三十一讲 完全平方数和完全平方式_

2024年1月12日发(作者：)

第三十一讲 完全平方数和完全平方式

设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：

(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；

(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；

(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；

(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；

(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；

(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；

(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；

(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．

例题求解

【例1】 n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．

思路点拨 设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．

m21 若rn=3k+1，则n3k22k．

3∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．

m21若m=3k+2，则n3k24k1

3∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．

故n+1是3个完全平方数之和．

【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．

思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解．

设所求正整数为x，则

x+100=m2 ----①

x+168==n2 -----②

其中m，n 都是正整数， ②—①得n2—m2=68，即 （n—m）(n+m)=22×17．---- ③

因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶数．注意到0

nm2．

nm217 解得n=18．代人②得x=156，即为所求．

【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．

思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，„)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．

对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2

(k=2，3，„)．即大于4的被4整除的

数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．

对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，„)，设4k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2—y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．

因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．

因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．

【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数abcde满足下列条件：

(1)它的各位数字均不为零；

(2)它是一个完全平方数；

(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数．

试求出满足上述条件的所有五位数．

思路点拨 设M2abcde，且am2(一位数)，bcn2 (两位数)，det2 (两位数)，则

M2m2104n2102t2 ①

由式①知

M2(m102t)2m21042mt102t2 ②

比较式①、式②得n2=2mt．

因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．

故n2=16或36或64．

当n2=16时，得mt8，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；

故M211664或41616．

当n2=36时，得mt18．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．

故M243681或93636．

当n2= 64时，得mt32．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．

因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636．

【例5】 (2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．

思路点拨 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．

理由如下：

偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足ninj2002m2；i，j=1，2，3，4，rn是正整数；因为2002被4除余2，所以ninj被4除应余2或3．

(1)若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则n1n22002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有—个是偶数，至少有三个是奇数．

(2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与ninj被4除余2或3的结论矛盾．

综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．

【例6】 使得(n2—19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?

思路点拨 若(n2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．

∵ n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)

当n>10时，(n－10)2

∴ 当n>10时(n2—19n+19)不会成为完全平方数

∴ 当n≤10时，(n2—19n+91)才是完全平方数

经试算，n=9和n=10时，n2—19n+91是完全平方数．

所以满足题意的值有2个．

【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知a1，a2，，a2002的值都是1或—1，设m是这2002个数的两两乘积之和．

(1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；

(2)求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．

思路点拨 (1)(a1a2a2002)2a12a22a200222m20022m，(a1a2a2002)22002m．

2 当a1a2a20021或1时，m取最大值2003001．

当a1，a2，，a2002中恰有1001个1，1001个1时，m取最小值—1001．

(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且a1a2a2002必为偶数，所以，当a1a2a200246或46；

即a1，a2，，a2002中恰有1024个1，978个1或恰有1024个1，978个1时，m取最小值(4622002)57．

【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2bxc都是平方数(即整数的平方)，证明：

(1) 2a、2b都是整数；

(2)a、b、c都是整数，并且c是平方数．

反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2bxc的值都是平方数?

思路点拨 (1) 令x=0，得c=平方数=l2；

令x=±1，得abcm2，abcn2，其中m、n都是整数．所以，2am2n22c，

2bm2n2都是整数．

(2) 如果2b是奇数2k+l(k是整数)，令x=4得16a4bl2h2，其中h是整数．

由于2a是整数，所以16a被4整除，有16a4b16a4k2除以4余2．

而h2l2(hl)(hl)，在h、l的奇偶性不同时，(hl)(hl)是奇数；在h、l的奇偶性相同时，(hl)(hl)能被4整除．

因此，16a4bh2l2，从而2b是偶数，b是整数，am2cb ^也是整数．

在(2)成立时，ax2bxc不一定对x的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时，ax2bxc=8不是平方数．

另解(2)：

令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a—2b+c=k2，其中h、k为整数．两式相减得

4b=h2—k2=(h+k)(h—k)．

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由于4b=2(2b)是偶数，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h—k)能被4整除．

因此，b是整数，am2cb也是整数．

学力训练

(A级)

1．(山东省竞赛题)如果a是整数，那么a满足( )

A．a>0，且a是完全平方数 B．a<0，且－a是完全平方数

C．a≥0，且a是完全平方数 D．a≤0，且—a是完全平方数

2．设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是( )

A．1 B．4 C．5 D．6

3．(五羊杯，初二)设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是 ．

4．使得n2—19n+95为完全平方数的自然数n的值是 ．

5．自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n= ．

6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是

．

7．是否存在一个三位数abc (a，b，c取从1到9的自然数)，使得abcbcacab为完全平方数?

8．求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．

（B级）

1．若x是自然数，设yx42x32x22x1，则 ( )

A．y一定是完全平方数 B．存在有限个，使y是完全平方数

C．y一定不是完全平方数 D．存在无限多个，使y是完全平方数

2．已知a和b是两个完全平方数，b的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则( )

A．x，y都是奇数 B．x，y都是偶数

C．x是奇数，y是偶数 D．x为偶数，y为奇数

3．若四位数xxyy是一个完全平方数，则这个四位数是 ．

4．设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是 ．

5．(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值是 ．

6．(北京市竞赛，初二)p是负整数，且2001+p是—个完全平方数，则p的最大值为 ．

7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?

8．证明：399960001是一个完全平方数．

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