2021年立体几何选填压轴讲座 (学生版)_图文

2023年12月23日发(作者：)

立体几何中压轴题专题讲座

一、 常规正三棱锥的外接球的体积（面积）或（内切球）

1、 正四面体的外接球和内切球的一般求法，①用两个直角三角形求棱长为1外接球的半径R=66，内切球的半径r=，R：r=3:1；②把棱长为1的正四面体放在正方体里，即412a2b21；b2c21；c2a21

则4R2c2a2b2363VABCDR;r

24S1S2S3S42、 一般三棱锥ABCD的外接球和内切球球心找法

① 选取一个特殊的底面三角形，设为三角形ABC,找出底面三角形的外心及外接圆的半径；

② 过底面三角形外心作底面的垂线，此时垂线任意一点P,显然满足PA=PB=PC

③ 让P点滑动，使PA=PD或PB=PD或PC=PD,此时的P点即为，外接球的球心

④ 内切球的球心一般用等体积法得出：r3VABCD

S1S2S3S4二、 一般三棱锥（四棱锥或其它几何体）的外接球（或内切球）

1、已知平面四边形ABCD中，ABAD2，BCCDBD23，将ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A的位置，当AC10时，三棱锥ABCD的外接球的体积为 ．

2、已知ABCD是球O的内接三棱锥，ABACBCBDCD6，AD9，则球O的表面积为 ．

3、三棱台ABCA1B1C1中，A1AB1BC1CA1B12，AB4，侧面A1B1BA底面ABC，M为AB的中点，线段MC的长为 ；该三棱台的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ．

1

三、 应用型题型

方法和策略：根据题目要求画出合适展开图形，截面图，或抽象出的立体图形

1、有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为a，现在要用一张正方形的包装纸将它完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠）那么包装纸的最小边长应为 ．

2、用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢．现将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为(

)

A．21

2B．51

2C．31

2D．51

23、如图所示，是一个由三根细铁杆PA，PB，PC组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是60，一个半径为1的球放在支架上，则球心到P的距离为 ．

四、传统文化中的立体几何外接球（或内接球）问题

1、半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的几何体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为2，且其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为

__________．

2、《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为5，12，13，若石材的高为6，将此石材加工成一个球体，则该球体的最大体积为 ．

2

3、农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角所形构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为 ．

五、立体几何中轨迹问题

1．已知三棱锥ABCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为(

)

A． B．或36 C．36 D．或36

6666662、如图，在长方形ABCD中，AB3，BC1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使平面AED平面ABC，在平面AED内过点D作DKAE，K为垂足，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ．

3、 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1C上有一个动点P线段A1C1有两个动点E、F，且EF2a，现有如下四个结论：

2① 点E、F在棱A1C1上运动时，三棱锥BCEF的体积为定值；

3

② 点P在直线B1C上运动时，直线A1P与平面A1C1D所成角的大小不变；

③ 点P在直线B1C上运动时，直线AD1与A1P所成角的大小不变；

④ 点M是底面ABCD所在平面上的一点，且到直线AD与直线CC1的距离相等，则M点的轨迹是抛物线．

其中正确结论的序号是 ．

4．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M是EF的中点，则能使点M的轨迹是圆的条件是(

)

A．PEQF2 B．PEQF2 C．PE2QF D．PE2QF22

六、综合题型

1、如图，在棱长均为3的正四棱锥PABCD中，E，F，G，H分别是PA，PB，PC，PD上的点，平面EFGH与平面ABCD平行，S为AC和BD的交点，当四棱锥SEFGH的体积最大时，

PE此时 ，PA四棱锥SEFGH的外接球的表面积是 ．

2、如图，圆形纸片的圆心为O半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，ABE、BCF、CDG、DAH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE、BCF、CDG、DAH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD的边长为

cm．

4

3．一正方体的棱长为a，作一平面与正方体一条体对角线垂直，且与正方体每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的周长为l，则(

)

A．l[4a,32a]

4．三棱锥PABC中．ABBC，二面角PACB的余弦值为PAC为等边三角形，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8．则三棱锥体积的最大值为(

)

6，3B．l4a C．l32a D．以上都不正确

A．1 B．2 C．1 D．123

5