市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 30第三十讲 从创新构造入手 人教

2023年12月21日发(作者：)

贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 30第三十讲 从创新构造入手 人教新课标版

【例题求解】

【例1】 设a1、a2、b1、b2都为实数，a1a2，满足(a1b1)(a1b2)(a2b1)(a2b2)，求证：(a1b1)(a2b1)(a1b2)(a2b2)1．

思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，a1、a2可看作方程(xb1)(xb2)1的两根，则(xb1)(xb2)1(xa1)(xa2)，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．

注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．

【例2】 求代数式x22x2x24x13的最小值．

思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．

x22x2x24x13(x1)2(01)2(x2)2(03)2，于是问题转化为：在x

轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．

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【例3】 已知b、c为整数，方程5x2bxc0的两根都大于1且小于0，求b和c的值．

思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出b、c的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令y5x2bxc，从讨论抛物线与x轴交点在1与0之间所满足的约束条件入手．

【例4】 如图，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，问：能否在Ab边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E点有几个?若不能找到，请说明理由．

思路点拨 假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE=x，则ADBEabx，即，于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根，在一定条AEBCxa件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．

【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．

思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：

已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．

注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：

(1)几何问题代数化；

(2)利用图形图表解代数问题；

(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．

利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．

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特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．

有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．

对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．

学历训练

1．若关于x的方程(1m2)x22mx10的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．

2．已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且(ac)(ad)1，(bc)(bd)1，那么(ac)(bc)的值是 ．

3．代数式x24(12x)29的最小值为 ．

4．A、B、C、D、E、F六个足球队单循环赛，已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B队比赛的球队是 ．

5．若实数a、b满足a2abb21，且taba2b2，则t的取值范围是 ．

st4s16．设实数分别s、t分别满足19s299s10，t299t190，并且st1，求的t值．

7．已知实数a、b、c满足(ac)(abc)0，求证：(bc)24a(abc)．

8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．

9．求所有的实数x，使得xx111 ．

xx

10．若是不全为零且绝对值都小于10的整数．求证：a2b3c

11．已知关于x的方程x223x1k有四个不同的实根，求k的取值范围．

12．设0x，y，z10，求证x(1y)y(1z)z(1x)1．

13．从自然数l，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177．

14．已知a、b、c、d、e是满足abcde8，a2b2c2d2e16的实数，试确定e的最大值．

611021．

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参考答案

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