2023年12月21日发(作者：)
第三十讲 创新命题
计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT技术、Cyber空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷．
与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型：
1．定义一种新运算；
2．定义一类新数；
3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题；
4．注重跨学科命题．
解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用．
例题
【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是 ．
(北京市竞赛题)
思路点拨 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手．
注： 定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题．
【例2】 在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A、B、C、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A、B组成的图形记为AB，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“AD”和“AC”的是( ) ．
A．(a)，(b) B．(b)，(c) C． (c)，(d) D．(b)，(d) (江苏省竞赛题)
思路点拨 从甲组图形中，两两比较A、B、C、D分别代表的哪种线段，哪种圆．
【例3】 有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口．
【例4】 设[x]表示不超过x的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程：
(1)[－l. 77x]＝[－1.77]x；(x为非零自然数) (四川省选拔赛试题)
(2)[3x+1]=2x－1 (全国初中数学联赛题)
2 思路点拨 解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来．
注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质：
(1)x=[x]+r，0≤r 其中当n为整数，当且仅当x为整数时等号成立． 1 【例5】 如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a一d)(b一c)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作． (1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d都有(a一d)(b一c)≤0?请说明理由． (2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d都有(a一d)(b一c)≤0 ?请说明理由． (全国初中数学竞赛题) 思路点拨 (1)从1～6中选取满足(a一d)(b一c)>0的四个数，按题设条件操作， 直至符合结论的要求；(2)略． 注：解按规则要求操作类的问题或写出具体操作步骤，或指出按规则要求不能实现的理由．解题的关键是善于在变化中把握不变量，利用不变量解题，此外，还要能灵活运用整数的整除性、奇偶性、通过赋值数学化等知识与方法． 【例6】 假设a#a+b表示经过计算后a的值变为a的原值和b的原值的和，又b#b.c表示经过计算后b的值变为b的原值和c的原值和乘飘假设计算开始时a=0，b=1，c=1，对a、b、c同时进行以下计算：(1) a#a+b ；(2) b#b.c；(3) c#a+b+c(即c的值变为所得到的a、b的值与c的原值的和)．连续进行上述运算共三次，试判断a、b、c三个数值之和是几位数? 思路点拨 对a、b、c同时进行连续三次运算后的结果如下： 运算次数 a b c 1 1 1 3 2 2 3 8 3 5 24 37 经过三次运算后，a+b+c=5+24+37=66，它是一个两位数． 学力训练 1．现定义两种运算： ，对于任意两个整数a，b， ＝a+b－1， =ab－1，那么 = ． 2．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定abcdadbc,如果2x211那么x的取值范围是 ． 8，3．餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在l～100这100个数中，“发财数”有 个． (“五羊杯”竞赛题) 4．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为这里“n，n1100”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为2n1；又如“1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10”可表示为n333333333350103.同学们，通过对以上材料的n1n1阅读，请解答下列问题： ①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算： (nn152。 (2003牟无锡市中考题) 1)＝ （填写最后的计算结果）2 5．现规定一种运算： a※b=ab+a－b，其中a、b为有理数，则a※b +(b－a) ※b等于( )． A．a2—6 B．b2一b C．b2 D．b2一a (大原市中考题) 6．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b=2a-b，如果x△(1△3)＝2，那么x 等于( )． A．1 B．13 C． D．2 227．设[a]表示不超过a的最大整数，如[4.3]=4，[－4.3]＝－5，则下列各式中正确的是( )． A．[a]=a B．[a]=a1 C．[a]=－a D．[a]> a一1 ( “希望杯”邀请赛试题) 8．设记号“※”表示a※b=ab，试写出两边均含有运算符号“※”和“+”且对任意3个数a，b，c2都成立的等式(不少于两个)． (上海市春季高考题) 9．设[x] 表示为不超过x的最大整数，解下列方程： (1) x+2[x]+4[x]+8[x]+16[x]+58=0； (2)[2x+1]=x－1 (重庆市竞赛题) 3 10．一个自然数a，若将其数字重新排列可得到一个新的自然数b，如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”． (1)请你举例说明“希望数”一定存在； (2)请你证明：如果a，c都是“希望数”，则ac一定是729的倍数． (“希望杯”邀请赛试题) 11．△表示一种运算，它的含义是x△y=么2001△2002= ． 12．若规定a△b=11112，已知2△1＝，那xy(x1)(yA)21(21)(1A)3a2b，那么方程3△x=4的解x= ． 213．对一切正整数n，有f (n+1)＝f (n)+n，且f (1)＝1，则f (n)＝ ． 14．将自然数N接写在每一个自然数的右面(例如，将2接写在35的右面得352)，如果得到的新数都能被N整除，那么N称为“魔术数”．在小于130的自然数中，魔术数的个数为 ． (全国初中数学联赛) 15．若[x]＝5，[y]＝－3，[z]＝－1，则[x一y一z]可以取值的个数是( )． A．3 B．4 C．5 D．6 (2002年重庆市竞赛题) 16．用min (a，b)表示a、b两数中的较小者，用max (a、b)表示a、b两数中的较大者，例如min (3，5)= 3，max (3，5)= 5，min (3，3)＝3，max (5，5)=5．设a、b、c、d是互不相等的自然数，min(a，b)=p，min (c，d)＝q，max (p,q)=x，max(a，b)＝m，max(c，d)＝n，min(m，n)＝y，则( )． A．x>y B．x l7．设[x]表示不超过x最大整数，又设x、y满足方程组y2x3，如果x不是整数，那么x+y是 y3x25( )． (第33届美国数学竞赛题) A．一个整数 B．在4与5之间 C．在－4与4之间 D．在15与6之间 E．16.5 3 18．对任意有理数x、y定义运算如下：x△y＝ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a＝1，b=2，c=3时，l△3＝1×l+2×3+3×1×3＝16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d＝x，求a、b、c、d的值． 19．有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得： (1)三堆石子的数分别是2，12，22； (2)三堆都是12． 如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由．[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为 (19，8，9) →(18，7，11)等] (五城市联赛题) 20．n为自然数，若n+6│n+1996，则称n为1996的吉祥数．比如：4+6│43+1996，4就是1996的一个吉祥数，试求1996年的所有吉祥数的和． 21．下面给出表甲和表乙，若将表甲中相邻的两个小方格(指有公共边的两个小方格)中的数都加上或减去同一个数，称作一次操作，问经过若干次操作之后，能否将表甲变成表乙?若能，请写出一种操作过程；若不能，请说明理由． 0 l 5 4 3 2 6 7 8 4 5 5 2 0 4 6 22．规定：正整数n的“H运算”是：①当n为奇数时，H＝3n+13；②当n为偶数时，H=n1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 l 0 0 l 表甲 表乙 (北京市竞赛题) 11 ，22(其中H为奇数)． 如数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果是11，经过3次“H运算”的结果是46．请解答： (1)数257经过257次“H运算”得到的结果； (2)若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值． ( “希望杯”邀请赛试题) 4 第三十讲 创新命题参考答案 5 6 