2023年12月10日发(作者：)
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ＳＨＡＮＤＯＮＧＪＩＡＯＹＵ
数学教改探索
五月是收获的季节，五月也是个静悄悄的季节。柳丝在风中静静地飘，泉水在石上静静地流。就在这静静的季节，坐落在市区西南角的济南市德兴街小学的礼堂里却爆发出阵阵热烈的掌声和欢笑声。他们在进行着什么活动，为什么有如此热闹的场面？
噢———这儿正在进行济南市“小学数学教师专业成长途径的研究”课题研究阶段成果现场展示会。
数学在许多人看来是一门非常枯燥的学科。数学的会议，包括数学的教学与研究会议都是在悄悄的交流中进行的。是什么吸引着他们进行如此热烈的研讨？现在我们不去探究其中的原因，还是先来看看活动是如何进行的吧！
会议进行到中场，槐荫区一位年轻、漂亮的小学数学教师手持话筒，请山东省教学研究室小学数学教研员徐云鸿老师为全场的小学数学老师提出问题，请参加会议的老师们解答。
徐老师的问题是“怎样理解算法多样化与最优化之间的关系？”
老师们纷纷举手，进行解答。济南市营市东街小学的董军说：“在研究算法之初，算法多样化应该值得提倡，在随后的教学过程中，应鼓励学生不断进行算法的优化。”
同一学校的胡庆云补充道：“算法多样化可以充分展示学生的思维个性，所以应值得提倡。优化应是一个自然而然的过程，应在充分练习的过程中，在一定量的基础上，让学生自己不断总结、发现更简捷的方法。”
济南市吴家堡镇三教堂小学的周建华说：“算法多样化实现了不同的学生获得不同的发展的教育思想。关键是教师要善于引导学生相互交流，在交流中学会倾听，借鉴他人的意见，培养优化意识，找到优化方法。”……
仁者见仁，智者见智。算法多样化是教学理论与方法问题，而最优化问题却是数学的生命。在小学教育的基础阶段如何教数学，怎样学数学是个一直争论不休的问题。思得智，辩则明。我们姑且不论各种观点的对与错，教育感悟
展开对这一问题的讨论，本身就是一种有益的尝试。
……讨论在继续进行着，问题涉及的面越来越广。从新课标、新课改、新理念到数学的基础知识和教学的技能、技巧问题，研讨层层展开，步步深入。
例如，“ａ的倒数是
不能等于０，这是极限的基本概念。”
此言一出，会场上立刻爆发出一阵善意的笑声。接着，
济南市南辛庄小学的米文梁说：“我也认为这个命题应该不成立１的
ａ
分母ａ相当于除数，１相当于被除数，如
１这个命题对，ａ
果ａ＝０，那么０乘任何数都得０，而我们找不到一个０除外的数可以和１相乘得
不对”？此问题是由章丘市明水镇四营小学的王瑞礼提出的。
问题一提出，老师们纷纷举手解答：
营市东街小学的董军说：“我认为
０，所以这个命题不正确。”
提出问题的王瑞礼老师也有自己的见解，他一再要求主持人取消每人只有一次发言机会的规则，代表们用热烈的掌声支持他这种执著的精神。
３７
做孩子心目中的大树，用心呵护每一个孩子。和孩子们一起经历风雨，一起享受灿烂的阳光。
———日照市实验小学
周文荣
数学教改探索
ＳＨＡＮＤＯＮＧＪＩＡＯＹＵ
况。其实，刚才老师们的解答都不错，但是，我们翻开小学数学课本看一下，用字母表示的分数一个也没有。也就是说，对小学生来说，应该让他们面对具体的分数，而不是用字母表示的分数。这个命题教师可以研究，但不适合让小学生来研究。”
教学的根本问题是什么？作为数学学科来说，许许多多的数学问题在困扰着一线老师们。比如说，０的产生和意义问题，数字的起源问题，数位与进位制的问题等等，都在困扰着新的、老的教师们。这次会议提出的许多问题，值得我们探讨，值得我们思索。
然而，他们为什么这样搞？他们是怎样搞的？
着一线的教师和教研人员。比如，强调过程教学与课堂教学课时的矛盾如何解决，强调算法多样化与数学的最优化思想问题怎样兼顾，学习新课改理念与加强教师基础知识培训问题怎样解决等等，等等。
济南市教育局和教研室的领导们一直在全心全意地为济南市教育事业的发展，为济南市的人才培养和储备进行着不懈的工作，他们也一直关注着全市小学数学改革的进程。面对上述种种问题，济南市教育决策者们进行了深入的调查研究与思考。他们分析、研究了我国及济南市教育教学改革的历史与现状，共同认识到“万丈高楼平地起”新方法的实，任何新思想、施都离不开基础。于是，他们决定从数学知识和教学技能、技巧方面抓起，进一步丰满教育腾飞的双翼。
思想的落实，方法的应用，都离不开行动的开展。一贯以雷厉风行的工作作风著称的济南市教育局领导们一旦形成思路便立即把工作交给了教研室的有关人员。市教研室在短短的时间内又把这一研究工作交给了济南市槐荫区教育局。
槐荫区地处济南市区西部，在济文化和南市各区、县（市）中处于经济、教育发展的中游水平，具有一定的代表性。槐荫区教育局的领导们接受了任务之后，立即组织有关人员通过问卷调查的形式，对全区小学数学教师的情况进行了整体分析、研究。
问卷内容主要涉及以下几个方面：
全区共有小学数学教师３８９人，收回有效答卷３５３份。通过对有效答卷的分析，主要存在以下问题：
１．目前教师已经参加的培训多数
是新课程的通识培训，也有部分学科培训，这些培训理论性强，对更新教师的教育理念是有很大帮助的。但是，培训面不大，主要集中在青年教师中，中、老年教师参与的机会较少，且与教学实际有一定的距离，对教学的实际指导意义不大。
２．教师每天用在专业学习和业务研
究上的时间分别是：９０～１２０分钟的占
２５．８％；６０～９０分钟的占５９．２％；３０～６０分
钟的占１３．９％；３０分钟以下的占１．ｌ％。
３．数学教师常用的教学方式有：先
讲后练的占３０．４％；先练后讲的占７．３％；自学、讨论为主的占５９．５％；练习为主的占２．８％。
万丈高楼平地起
数学是自然科学的基础。自从教育产生以后，数学历来就是学科教育的重中之重。技术、技巧，包括各种各类的谋生之道，无一不是以数学为基础的。因此，国家产生以来，不论是公办还是民办教育，都非常重视数学的教育教学改革。从孔丘、柏拉图、亚里士多德到朱熹、拉伯雷、夸美纽斯；从杜威、赞可夫到波利亚，从古到今的许多教育教学理论无不在探讨着数学教学的本质问题。从我国的数学教育改革来看，自１９０３年清朝政府颁布《钦定初等小学堂章程》、《钦定高等小学堂章程》开始，经过历时一百多年的十几次改革，学日、学美、学苏，从来没有脱离世界各国，尤其是欧美等西方先进国家的影响。建国之后，在７０年代初，我国曾成功地避免了美国５０年代新数学运动带来负面的影响。之后，“文革”我国的小学数学教育虽然没有摆脱前苏联的影响，但却越来越贴近我国教育和学生发展的实际情况。
社会在发展，人类在进步，教育也在进行新的改革。新课标与许多新的教育理念的产生，无疑对我国的教育带来了新的活力与生机。各种新的思想与方法都在各地进行着新的尝试与研究。但是，许许多多的问题仍在困惑教育感悟
４．认为数学教师最需要学习的是：
怎样澄清数学基础知识中的疑难点问题，如为什么先乘除后加减，数的产生等占５８．９％；先进的教学理念占３９．９％；合理、实用的教学方法占７７．３％；后进生的转化占１７．３％。
３８
５．根据自己的教学实际，教师喜欢
上课和的教研方式有：选择集体评课、片内交流活动的占３０．３％；选择教研室组织的中心组成员活动的占１６．１％；选择外出学习和听报告、讲座活动的占
３５．７％；选择校内同级部间的互听互评
活动的占２４．４％；选择录像展示，评优课、现场课、多听课活动的占４６．２％。
６．教师最需要得到以下几个方面
的培训：①专业素养的提高，包括数学基础知识的系统理解与掌握；②掌握先进的教学理念，学习国外及先进地区的教学经验；③整体把握各年级的教学体系以及教学重难点；④典型案例的评析，学习合理实用的教学方法与技术；⑤老师之间教学经验与技术的相互交流、学习。
通过对以上情况的分析，槐荫区教育局的领导与教研员发现，要想适应新课改的要求，大面积提高教学质量，仅仅对教师进行理论性的培训是
１．你目前已经参加的培训主要有
哪些？效果如何？存在哪些问题？
２．你每天用于业务学习的时间有
多少？
３．你在教学中常用的教学方式是
什么？
４．你认为数学教师最需要学习哪
些方面的知识？
５．根据自己的教学实际，你最喜欢
什么样的教研方式？
６．你希望得到哪些方面的培训？
当你真正走进学生心里，学生自然会爱你！
———日照市实验小学
郭
玮
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数学教改探索
远远不够的，还必须切实提高教师的数学专业知识水平和教学操作技术与技能。所以，当前的任务是：从最基本的数学知识和教学技术抓起，夯实教育腾飞的基础。
问题的症结找到了，解决问题的方法便成为关键。经过了十几个昼夜的反复分析、研究与讨论，他们认为，应该从以下三方面入手来提升数学教师的教学素养：
积提高，抓教师的基本功，促教学质量的提高，一直是他们希望展开的工作。教育局领导们的这一决策引起了他们的共鸣，实验一展开，各学校领导们立即全身心地投入进去，并在短短的时间内取得了丰硕的成果。
这是经七路第一小学进行这项实验的一个精彩片段：
就是说，要聪明，必须用眼看，会观察；聪字右边中间有个“口”，就是说，要聪明不仅要会答问题，还要善于提问题；聪字右边下面有个“心”，就是说，要聪明必须用心去学习。再看看“明”。“明”字的左边是个“日”，右边是个“月”，就是说，只要你坚持按上面“日日月月”说的去做，就会变得了。“聪明”
好的开端是成功的一半。和学生的第一次见面直接影响着以后的师生关系。亲其师，而信其道。师生关系融洽了，师生交流的渠道也就畅通了。这直接影响着学生以后的学习与发展。但是，教育毕竟是一个特殊的行业，它有着自身的规律和特点，它担负着为学生终生发展负责的重任，它应该也必须对学生以后的发展着想。所以，在讨论完如何介绍自己以后，老师们一致认为还应做好以下几项工作：
２００４年８月２８日夜晚，学校会议室
里灯火通明。１６位数学教师正聚在一起，围绕着的“如何与学生见第一面”问题进行着热烈的讨论。
王姗姗老师擅长低年级教学，她认为和学生第一次见面时可以给学生介绍清楚自己的姓名、年龄、特长和爱好，以拉近与学生之间的距离。
秦鑫是一位青年骨干教师，她说除了介绍自己的姓名、年龄、特长和爱好外，还可以向学生展示自己从小到大的照片，让学生更好地了解自己，使孩子们感到老师是“自己人”。
王秀霞老师是一位从教１７年的骨干教师，有着丰富的教学经验。她告诉大家，见面时也不一定那么正规，可以幽默一些，以缓解学生的紧张情绪。比如介绍自己时可以出示这样一张卡片：
产品说明书产品名称：王秀霞生产日期：１９７０年产地：中国制造商：我爸规格：１６０厘米物美价廉。
防震、请勿倒置。注意事项：防潮、联系电话：７９３６６８５
羡静老师也有自己的观点，她认为，第一次见面时不一定先介绍自己，可以通过一段有趣的对话拉近师生之间的感情。她说，可以在黑板上写下二字，问学生“聪明”“你知道怎样使自己变得更聪明吗？”当学生感到困惑时，你可以指着黑板说，聪字左边有个耳”，就是说，要聪明必须认真听；聪字右边上面的两点像什么？像眼睛，这
山东我妈
毛重：５１千克
济南
１．把老师们积累下来的优秀教学
经验进行筛选、提炼，使之系统化，以更好地服务于一线教师的教学。
２．搜集一线教师教学中遇到的各
种问题，汇集成册，提供给老师们进行讨论、研究，用集体的智慧解决教学中遇到的各种具体问题。
３．广泛征集真实地发生在课堂上
的典型教学案例，进行案例分析，以切实提高教师们处理课堂教学的“细节”能力。
思路与方法一旦形成，一直关注着教育教学改革事业的区教育局领导们立即将其付诸实际行动。一场人人提问题、校校抓技术的教研活动在全区铺展开来。
★和学生一起商讨、确立师生共
同遵守的信条。但信条忌多、忌空、忌朝令夕改。
★征求学生对数学课的意见，并
认真地对待，要兑现诺言。
３９
★公布老师对学生要求的所有细
节，如怎样书写才更美观；怎样做，本子就不会挝角……
每个老师都经历过和学生第一次见面的情景，但不一定所有老师都能处理好这一问题。和学生的第一次见面有着很高的技巧，这一技巧掌握的熟练与否，直接体现着教师的教学基本功问题。经七路第一小学把这一问题拿出来，老师们共同讨论、研究，相互学习、借鉴，取长补短，用集体的智慧去完善、提高教师们对这一教育环节的把握问题。这是领导的智慧，也是教师们的聪明。令人欣喜的是，不仅仅是对这一问题他们进行研究、讨论，对数学教学的所有问题，包括教学的技能与技巧问题，他们都进行了讨论与研究，用集体的智慧打造出一个个优秀的数学教师。更令人欣慰的是，不仅仅是经七路第一小学这样做，全区４９所小学校校都在进行着这样的探索。请看在处理“为什么能被３、９整除的
百花盛开春满园
槐荫区共有４９所小学，长期以来，视教育事业为生命的学校领导们一直在关注着教育教学的改革与发展问题。学习新理念、掌握新方法一直是他们的追求。“做数学”、“足迹式全程评价”等各、“构建教师实践知识与经验”种各类的教学实验一直在各个学校开展着，但是随着越来越多的实验研究和新课改的深入展开，他们却发现这些实验和新课改的理念虽然在一定程度上能够提高教师的素质和教学质量，但是由于教师对数学知识的掌握存在或多或少的缺陷，对数学知识的产生与发展的脉络存在一定的模糊认识，对教学的技能与技巧的掌握存在一定的问好的思想、好的方题，许多好的实验、
法，老师们无法落实到教学实践中，教育教学质量一直无法有效地得到大面教育感悟
产品特点：热心助人、精力充沛、
赏识孩子，让孩子在快乐中学习！
———日照市实验小学
牟
娜
数学教改探索
ＳＨＡＮＤＯＮＧＪＩＡＯＹＵ
数，其各位上数字相加的和能被３、９整除”这一问题时，营市东街小学是这样进行的：
时间：２００５年３月４日地点：济南市营市东街小学主题：与专家对话———教学困惑问题研究
与会专家：王沛忠（济南市教研室）
参与人员：全校数学教师
主持人：谁能举例说明“为什么能被３、９整除的数，其各位上数字相加的和能被３、９整除”？
赵风雷：举个例子，比如说２７５吧，
是应用的前提。我们教知识，不仅让学生知其然，更应该让学生知其所以然。这是一个教师的责任，也是义不容辞的义务。至于这个问题，是不是可以用这种直观的形式来给学生解释：（见下图）比如３４６，这三大捆，每捆代表１００，我们从每一捆里抽出１根，每一捆都变成了９９，这样，这三捆都能被９整除，这三个１我们先放在一边。再看这四捆，每捆代表１０，我们从每一捆里抽出１ 根，每一捆都变成了９，这样这四捆也能被９整除。这样剩下４根，还有６个一根，现在我们来看所有余下的小棒数，
生２：（８＋７）×４＝８×４＋７×４生３：（２２＋６）×７＝２２×７＋６×７生４：１５×８＋５×８＝（１５＋５）×８……
师：仔细观察这些等式，里面是不是有什么规律？小组讨论。
……
片断二（马刚）：……
师：（４＋６）×５４×５＋６×５，我们可以用下面的图描述这个式子：
４６
组：
４６
４６
４６
４６
３＋４＋６＝１３，１３不能被９整除，所以３４６不
能被９整除。
２７５＝２×１００＋７×１０＋５＝２×９９＋７×９＋（２＋７＋５），２×９９，７×９都能被９整除，所以只
要看（２＋７＋５）能不能被９整除就可以了，也就是各个数位上的数字之和是否能被９整除。
王勤：我觉得单举一个数的例子不足以说明问题，还是用字母来表示具有一般性。我是这样想的：＝
竖着看：每组是４＋６，共有这样的５（４＋６）×５
９９根９９根９９根９根９根９根９根６根
还可以横着看：共两组，５个４和５个６：
｛
３
｛
４
｛
６
发现自己存在的知识与技能问题，对这些问题进行研究与解决，无疑对提高教师的素质有极大的帮助，但怎样进行教学却要具体落实在课堂上。为了提高数学教师的课堂教学操作技术，各实验学校经常采用这样的教研形式———一线教师和教研员同上一节课，让老师们进行观摩、评论、交流、学习。请看德兴街小学的一节对比研究课。
时间：２００４年１０月９日地点：济南市德兴街小学课题：乘法分配律
个７：
研究人员：德兴街小学全体数学教师
马刚（济南市执教人员：张鲁红、教研室小学数学教研员）
片断一（张鲁红）：……
师：（１０＋８）×２和１０×２＋８×２这两个算式有什么关系？
生１：它们的和相等。生２：它们的得数相等。
师：那我可以在它们之间划等号吗？（师画）这就成了一个等式。你“＝”还能写出具有同样特点的等式吗？
生１：（１７＋３）×６＝１７×６＋３×６
个９：组：组：
４×５＋６×５
从图上看：（４＋６）×５＝４×５＋６×５，
５个４加６的和等于５个４加５个６。
同学们能不能举出这样的式子，并用图描述算式的意义。
生１：（８＋７）×４
４０
１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝９９ａ＋９ｂ＋（ａ＋ｂ＋ｃ），很明显９９ａ和９ｂ能被９整除，所以只要看（ａ＋ｂ＋ｃ）能否被９整除就可以了。
丁莉：我还有一种想法。我还是用
８×４＋７×４８７
８７
８７
８７
２７５来说明吧，２７５可以拆成三部分：２００、７０和５，用这三部分分别除以９，２００÷９＝２２……２，７０÷９＝７……７，５显然
不能被９整除，关键研究余数，２＋７＋５如果能被９整除，那么２７５肯定能被９整除。
周艳：这些方法老师都能明白，可是怎么样才能让我们的学生理解这个问题呢？
刘琨：课本上没有要求，我们就没有必要要求学生明白。
刘莉：学生们经常追问这个问题，我们应该让他们明白。
张侠：但是我讲了几次了，学生总是听不懂。
主持人：请王沛忠主任对这个问题谈一下看法。
王沛忠：尽管课本上不要求学生理解，但在可能的情况下还是尽量让学生明白。因为理解是掌握的前提，更教育感悟
竖着看：每组是８＋７，共有这样的４（８＋７）×４
还可以横着看：共两组，４个８和４
８×４＋７×４
从图上看：（８＋７）×４＝８×４＋７×４，
４个８加７的和等于４个８加４个７。
生２：（５＋９）×３
５×３＋９×３５９
５９
５９
竖着看：每组是５＋９，共有这样的３（５＋９）×３
还可以横着看：共两组，３个５和３
５×３＋９×３
从图上看：（５＋９）×３＝５×３＋９×３，
让自己的爱像温暖的阳光一样洒满每个孩子的心田。
———日照市实验小学
孔
颖
ＳＨＡＮＤＯＮＧＪＩＡＯＹＵ
数学教改探索
３个５加９的和等于３个５加上３个９。
师：发现规律了吗？能不能像数学家那样描述这种规律？
……
片断三（张鲁红）：
师：刚才同学们发现了的这个规律就是乘法分配律。这一规律在计算中有什么作用呢？
板书：１０２×４３
松愉快，而且经常故意设置矛盾冲突，引起学生的深层次思考，效果很好。
马敏：小学生的思维以直观形象思维为主，马刚老师利用数学图形帮助学生理解乘法分配律，与张老师让学生就算式论算式导出规律相比，应该更适合孩子的特点。
张鲁红：我设计这节课时也想找一个凭借，帮助学生理解乘法分配律，但就是没有找到适合的。听了马老师的课，我深切地认识到我的课堂设计，只是让学生知道了乘法分配律是什么，能干什么，却不知道为什么，而马老师帮助学生理解了这一规律的根源。
马刚：我这样上这节课，想表达三个想法：第一点是必须从乘法意义的角度入手，才能使学生真正理解乘法分配律。老师们都看到了课堂上孩子们的表现，能利用图形把算式的意义描述出来，说明他们理解了。如果不从乘法意义着手，很容易把分配律的学习做成夹生饭，也许在这一节看不出什么问题，到下一节学简便运算，问题就都暴露出来了，任你怎么讲，他就是不会。不少老师都有这种痛苦的经历吧？所以这节课我始终强调乘法的意义，让学生乘法分配律无非是“看到”乘法意义的一个拓展。第二点，我的经验是让学生用文字描述乘法分配律费时、费力，效果不好。直接用字母式描述，同学们就能根轻松地描述出来。我建议，还是用代数方式描述乘法分配律更好一些。第三点，猜想是数学学习的一个重要思维方式，过去，我们疏忽了这种思维品质的培养。我想强调这一点，所以我一开课就鼓励学生去猜想，结尾也让学生去猜想。我建议，我们要创造机会鼓励学生大胆地猜想，细致地证明。
教学离不开教师。一项实验的开展，仅凭行政指令和领导的动员是不能圆满地进行下去的，它必须依靠一线教师全身心的投入，尤其像槐荫区所进行的这一实验，涉及到所有的数学教师，更需要每位教师付出艰辛的劳动。由于这一实验涉及到了数学专业知识与教学
操作技术两大教学基本领域，这两大领域正是提高教育教学质量的基础，它犹如教育腾飞的两个翅膀，直接决定着教育改革与发展的成败问题。奋战在教育第一线的老师们深知这两大领域在教育教学中的重要地位，实验一开始，他们就全身心地投入进去，找问题、写案例、学理论，研究、讨论、反思、总结。仅仅三个月的时间，老师们就提出了五百多个数学知识问题与教学问题，提供了九百多个个人教学技巧，写出了千余篇典型教学案例和片段。如槐南小学的张明峰老师一人就提出了二十余个教学问题，吴家堡镇三教堂小学的周建华老师提出了三十多个教学问题，兴济小学的王宝华老师一人就写出了１５个典型教学案例。
如果说一位教师就是一朵鲜花，那么学校就是鲜花盛开的花园。４９个花园组成的原野，因为这一实验的展开而充满鸟语花香。而作为对这原野注入活力的实验指导者的教研室领导们，为了使这里花更艳，景更美，在实验的过程中，精心构建了片、校”“区、三级联动的实验运行机制。
这里的是指槐荫区教育局教“区”研室。教研室重在更新教师的教育观念和改进教师的教学行为。他们坚持边培训、边总结、边提高”的“边实验、
说课、原则，积极搭建平台，通过上课、互动式评课、专家点评等多种形式，引领全区教师交流经验、充实知识、提高技能、转变思想，从而更好地提高教学质量和进行新课改。进行实验一年来，围绕实验的有关问题，他们共组织各种各类研讨活动２６次，参加人员累计达５０００人次。
这里的是指由３～“片”１１所学校的数学老师组成的课改协作学片，它是介于区与校之间的教学研究机构。全区４９所小学，按地域相对集中、优势互补、骨干教师的分布状况、教研员合理配置等原则，划分成９个学片。每片确定一个学校为实验基地，以该校为龙头，带动其他学校，通过开展课堂观摩、教学研讨、经验交流等活动，帮助教师更好地理清教学思路，解除教学
９×３７＋９×６３
师：（指板书）你能利用乘法分配律使它们的计算简便吗？请同学们课下思考。
片断四（马刚）：
师：刚才同学们发现的这个规律，数学家们称之为“乘法对加法的分配律”。如果你是数学家，你还会有什么样的猜测？
生１：有没有乘法对减法的分配律？
师：你猜想的那个定律是什么样的？生１：（ａ－ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ－ｂ×ｃ
生２：有没有除法对加法的分配律。师：那个定律是什么样的？……
生３：有没有除法对减法的分配律……
师：今天的家庭作业就是：提出你们的猜想，并用今天学到的方法进行验证。
主持人：刚才老师们听了两节“乘法分配律”课，我想老师们一定对这两节课有自己的看法，请大家来谈一谈。
路澄：这两位老师从不同角度出发使学生掌握了乘法分配律，马老师在帮助学生理解乘法分配律时，利用简单的图形让学生理解算理，直观、生动，学生掌握得比较扎实。张老师以学生举出的同类等式为凭借，让学生发现规律，表述规律，虽然殊途同归，但感觉学生理解得似乎不够透彻。
郭美：这两位老师在教学中各有特点。张老师的教态和语言比较自然亲切，课堂上发挥了学生的主体作用，让学生自己寻找具有相同特点的等式并自主发现规律，调动了学生的主动性。马老师语言诙谐幽默，使课堂气氛轻教育感悟
４１
一个不热爱学生的老师永远不会成为一个优秀的老师，一个没有情感参与的教育活动绝不会是一次成功的教育。
———日照市实验小学
李
晖
数学教改探索
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困惑，提高教学技巧，夯实课改基础。
这里的是指学校开展的校本“校”教研活动。正如前面几所学校所展示出的精彩片段一样，校本教研活动的优势在于可以紧密结合学校实际，紧密结合教学实践，每个教师既是被培训者又是培训者；既可解决教学之急需，又可兼顾教师和学校的长远发展，教师之间合作的时空得到了拓展。
三级联动的实验活“区—片—校”
动使该实验得以生动、灵活、深入地进行下去，并在较短的时间内取得了可喜的成果。
摸底测试。测试内容以小学基础知识为主，适当地加入一小部分最基础的奥数知识。两校共有２５名数学教师，全部参加了测试，最高分９８分，最低分６８分，两校平均８３．２分。２００５年３月份在槐荫区小学数学教师数学竞赛中两校的平均分是９２．４分。最近，他们又对这两所实验学校的数学教师就实验的有关问题进行了问卷调查，其内容包括：
一辩论、一交流我很容易就明白了，真是不辩不知道，一辩就明了，以后数学课上遇到疑难问题我就这样引导学生辩论”。济南市机场路小学的程吉慧，是一位从事教师工作不足３年的小姑娘，她感慨地说：“成长中的许多迷惑，使我找不到方向，教师专业化学习使迷途的我忽然看到了光明。它引领我向前，使我在课堂中更加应对自如。”同校的朱广露老师也深有体会，她说，我是一名低年级的数学教师，在教学过程中许多矛盾一直在困扰着我，如新课程中算法多样化与教学中个别学生掌握不扎实的矛盾，使我百思不得其解。通过实验，我对小学阶段的数学知识以及新课程的教学有了新的认识和理解，领悟到算法多样化与教学成效不矛盾，它们是相辅相成的。只有让学生灵活地掌握各种方法，才能发散学生的思维，提高学生解决问题策略的多样化。
不仅上述几位教师对实验有着深刻的体会，参加实验的所有教师无不有着同样的感受。他们享受着成长的快乐，他们体会着探索的乐趣，他们分享着实验的成果，他们品味着成功的喜悦。
五月是收获的季节，五月也是个播种的季节。四百多位教师和教研人员们的辛勤汗水，终于浇灌出“小学数学教师专业成长途径的研究”课题实验的丰硕成果。今天，在这里，在这美丽而充满生机的德兴街小学校园里，济南市六区四县（市）五百余名代表们欢聚一堂，共同分享着槐荫区的实验成果，他们将把实验的经验、体会和成果带回他们所在的学校，让“小学数学教师专业成长途径的研究”课 题实验在济南市的每一个地方生根、发芽、开花、结果，让济南市的每一个学生都受益于这一专题研究，使他们快乐的生活着、学习着、成长着、发展着。
我们相信这一天一定会到来。我们期待着！
１．在数学知识方面有多大提高？２．在教学技术方面有多大提高？３．对您的教学行为有何影响？
认为在数学知识方面有很大提高的占２０．５％，有较大提高的占５０％；认
喜着硕果满枝头
由于领导的重视、教研人员的投入和全体实验教师的共同努力，从去年９月开始实验以来，在不到一年的时间内，老师们提出的五百多个数学知识问题与教学问题，经过老师个人之间、学校集体和区、片、校之间的层层研讨，大部分得到了解决，这从一个方面提高了教师的教学基本功。老师们提供的九百多个个人教学技巧，已在各个学校广泛流传，集体的智慧已化作个人的才能。老师们写出的千余篇典型教学案例和片段，也已成为教师们教学的范本———优秀的案例得以推广，失败的案例也成为老师们的警钟，这极大地提高了全区小学数学教学的质量。为了更好地宣传、推广这些优秀成果，济南市教研室和槐荫区教研室选择了１００个典型问题（包括数学知识、教学方法、教学理念等方面的问题）、２８９个教学技巧、５７个典型教学案例分别成册，并在全市推广。
由于许多问题得到了解决，许多经验模糊认识得到了澄清，许多技巧、和方法得到了交流和传播，教师们对数学知识的理解、对教学技能与技巧的掌握得到了很大的提高。实验前，为了摸清目前小学数学教师的业务情况，槐荫区教研室曾对经七路第一小学和光明街小学的全体数学教师进行教育感悟
为在教学技术方面有很大提高的占
１２．５％，有较大提高的占８７．５％；认为对
自己的教学行为有很大影响的占
１５％，有较大影响的占４５．５％。
这从一个侧面反映出该实验对教师掌握基础知识与基本技能有很大的促进作用。实验是老师们进行的，受益的也是老师们自己。这一点许多实验教师都有深刻体会。
南辛庄小学的刘梅老师说：“我区举行的这次数学老师专业化成长实验活动，使我们从分析问题、解决问题，到案例分析、总结教学技巧，一步步走上成长的道路。我们开始走进数学，享受数学，感受数学带给我们的喜悦。”同校的刘连丽老师也告诉我们：“在培训期间，我们年轻老师认真查找资料，讨论交流教学中的困惑和问题，经常是为了一个问题争得面红耳赤，然后又去查找许许多多的资料，在查找资料的过程中又学到了以往不了解的知识，当时的感觉真的是学无止境。”经二路小学的蔡葵，是一位长年教数学的老教师，她参加实验后深有感触地说：“自工作以来，十几年了一直教数学，语言变得单调、死板，没有生机， 但通过这几次案例剖析辩论会，我的语言变得凝练、生动了，敢于辩论和表达了”。该校还有一位青年教师胡林杰这样说：“《问题集》中的许多疑惑，在数学教研组里
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每个孩子都是一本奇特的书，只有具有慧心、爱心、童心的教师才能读出它的精彩！
———日照市实验小学
李淑芳
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