贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第一讲 分解方法的延拓 人

2023年12月7日发(作者：)

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——换元法与主元法

因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．

一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．

所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．

例题求解

【例1】 分解因式：(x4x24)(x4x23)10= ．

( “五羊杯”竞赛题)

思路点拨 视x4x2为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．

【例2】 多项式x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz因式分解后的结果是( )．

A．(y－z)(x+y)(x－z) B．(y－z)(x－y)(x＋z)

C． (y+z)(x一y)(x+z) D．(y十z)(x+y)(x一z)

(上海市竞赛题)

思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．

【例3】把下列各式分解因式：

2 (1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x； (天津市竞赛题)

22 (2)1999x一(1999一1)x一1999； (重庆市竞赛题)

2 (3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)； (“希望杯”邀请赛试题)

333 (4)(2x－3y)十(3x－2y)－125(x－y)． (第13届“五羊杯”竞赛题)

思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．

【例4】把下列各式分解因式：

222 (1)a(b一c)+b(c－a)+c (a一b)；

22 (2)x+xy－2y－x+7y－6．

22 思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax+bxy+cy+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．

【例5】证明：对任何整数 x和y，下式的值都不会等于33．

54322345 x+3xy－5xy一15xy+4xy+12y．

(莫斯科奥林匹克八年级试题)

思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．

用心 爱心 专心

1 注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：

（1）按字母分组：

(2)按次数分组；

(3)按系数分组．

为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：

（1）a3b3(ab)(a2abb2)；

(2)a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcac)

学力训练

2221．分解因式：(x+3x)-2(x+3x)－8＝ ．

222．分解因式：(x+x+1)(x+x+2)－12= ．

223．分解因式：x－xy－2y－x－y= ． (重庆市中考题)

4．已知二次三项式x2mx8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为 ．

5．将多项式x42x23分解因式，结果正确的是（ ）．

A．(x23)(x21) B．(x21)(x23)C．(x23)(x1)(x1) D．(x21)(x3)(x3)

(北京中考题)

6．下列5个多项式：

①a2b2a2b21；②x39ax227xa227a3；③x(bcd)y(dbc)2c2d2b；④3m(mn)6n(nm) ；⑤(x2)24x

其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．

A．①、②、③ B．②、③ 、④ C．①③ 、④、⑤ D．①、②、④

7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．

A．x39x227x27 B．x3x227x27 C．x4x327x27D．x33x29x27

(“希望杯”邀请赛试题)

138．若ab，a3b1，则3a212ab9b2的值为( )．

55 A．224 B． C． D．0 (大连市“育英杯”竞赛题)

9359．分解因式

2222 （1）(x+4x+8)+3x(x+4x+8)+2x；

222 (2)(2x－3x+1)一22x+33x－1；

42 (3)x+2001x+2000x+2001；

2 (4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x；

(5)a22b23c23ab4ac5bc；

用心 爱心 专心

2 (6)x2xy6y2x13y6． (“希望杯”邀请赛试题)

10．分解因式：(x21)(x3)(x5)12= ．

11．分解因式：x25xyx3y6y2= ．

12．分解因式：(x2)3(y2)3(xy)3= ．（ “五羊杯”竞赛题）

13．在1~100之间若存在整数n，使x2xn能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n有 个． (北京市竞赛题)

14．2x3x213x6的因式是( )

A．2x1 B．x2 C．x3 D．x21 E．2x1

15．已知abc，M=a2bb2cc2a，N=ab2bc2ca2，则M与N的大小关系是( )

A．M N C．M＝N D．不能确定

(第 “希望杯”邀请赛试题)

16．把下列各式分解因式：

(1)(a2a1)(a26a1)12a2；

(2)(2a5)(a29)(2a7)91； (湖北省黄冈市竞赛题)

(3)xy(xy1)(xy3)2(xy)(xy1)2； (天津市竞赛题)

(4)(x44x21)(x43x21)10x4；（“五羊杯”竞赛题）

(5)2x3x2z4x2y2xyz2xy2y2z． (天津市竞赛题)

17．已知乘法公式：

a5b5(ab)(a4a3ba2b2ab3b4)；

a5b5(ab)(a4a3ba2b2ab3b4)．

利用或者不利用上述公式，分解因式：x8x6x4x21 (“祖冲之杯”邀请赛试题)

18．已知在ΔABC中，a216b2c26ab10bc0(a、b、c是三角形三边的长)．

求证：ac2b (天津市竞赛题)

用心 爱心 专心

3

12

用心 爱心 专心

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