2023年12月5日发(作者：)
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一、 配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
2222222b232a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
222222a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝22222221222[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
22a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝„
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋2211212＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；„„ 等等。
x2xxⅠ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
11 A.
14
44223. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log1 (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
225155 A. （－∞,
54] B. [4,+∞) C. (－2,4] D. [4,3)
2225. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质ampamp＝am，将已知等式左边后配方（a3＋a5）易求。答案是：5。
222小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－11。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 23 B.
14 C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则2222222222(xyyzxz)11 ,而欲求对角线长4(xyz)24将其配凑成两已知式的组合形式x2y2z2，可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长2(xyyzxz)11度之和为24”而得：。
4(xyz)24长方体所求对角线长为：x2y2z2＝(xyz)22(xyyzxz)＝6211＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(取值范围。
【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
22p2q2)+()≤7成立，求实数k的qpp2q2[(pq)22pq]22p2q2(p2q2)22p2q2p4q4()+()＝＝＝2＝22qp(pq)(pq)(pq)(k24)28≤7， 解得k≤－10或k≥10 。
4又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k－8≥0即k≥22或k≤－22
22综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22 或者
22≤k≤10。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
ba19981998)＋() 。
ababaaa【分析】 对已知式可以联想：变形为()2＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方bbb例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求(22虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a＋ab＋b=0变形得：(设ω＝2222a2a)＋()＋1＝0 ，
bba1b233，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1。
ba22又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab ，
baa999b999a2999b299919981998所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ωabbaababab＋999999＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：(22a2ab13i)＋()＋1＝0 ，解出＝后，bba2化成三角形式，代入所求表达式的变形式(a999b999)＋()后，完成后面的运算。此方法用ba于只是未13i联想到ω时进行解题。
222假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝13ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛2定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。
22222A. 8 B.
(ab) C.
ab D.最小值不存在
222. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A. －494 B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。
A.最大值22 B.最大值2 C.最小值22 B.最小值2
22xy2224. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5. 化简：21sin8＋22cos8的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 设F1和F2为双曲线x－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，222224则△F1PF2的面积是_________。
27. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋1的最小值为___________。
x18. 已知〈β<α〈3π，cos(α-β)＝12，sin(α+β)＝－3，求sin2α的值。(9224135年高考题)
9. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m ① 解不等式f(x)>0； ② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。 10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logst＋logts＋m(logst＋logts), ① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域； ② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 44222222222-
