高中数学专题讲座------抽象函数与函数值(一) (2008-07-01 10:18:37)
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式或图象,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数,这类函数大多是根据教材中某些函数的性质与结构特征,经过抽象、概括而成的.函数性质则通过代数表述式给出.抽象函数的相关题目往往是在相关知识点的交汇处设计的,主要考查的是函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能.在解决这类问题时,同学们常感到束手无策.本文笔者从几个问题的方面来说明以供参考. 抽象函数：没有给出函数的解析式，而仅仅出现一个函数符号——f(x)。要求讨论函数的解析式等一系列问题的数学题型。
抽象函数一直是高中数学的一个难点。因为这类问题包含了各种数学技巧与各类数学知识的综合应用，甚至数列从本质上讲，也是一个典型的抽象函数问题。数列是函数！数列问题一般需要求它的通项和前n项的和，也就是求它们的表达式（函数解析式），而数列是高中数学的一个重要内容。
一、利用函数值f(x0)定义
[例1]已知函数f(x)满足:af(x)+bf(1/x)=cx，且|a|≠|b|，求f(x)。
一讲抽象函数我总是喜欢举例1，这是一个相当典型的抽象函数题。也充分说明了，解抽象函数题的最根本的方法。就是从函数值f(x0)的定义出发。本题只要用1/x替换x即可。只要知道此x不是那x即可，若不习惯则用x=1/t,x=t,分别代入一次，最后再将t替换成x，就可以得到关于f(x)的解析式。以下都用此替换来进行求解。
亦有人将此类问题称之为“含有f(x)函数方程”，名称无所谓，其包含的解题思想一样。
[例2]设f(x)是对除x＝0以外一切实数有定义的函数，且f(x)+f((x-1)/x)=1+x，求f(x)。
分析：方法同上。这是一例条件较为隐匿的抽象函数问题，若能消去条件中的（x-1）/x,则结果就是f(x)的解析式。我们必须从x与(x-1)/x的结构入手。
1°令x=(x-1)/x，得到一个关于形如f(x)的式子；
2°令1/(1-x)=x，再次得到一个关于形如f(x)的式子；
最后消去3个式子中的f((x-1)/x)、f(1/(1-t))。
对函数值f(x0)采用适当的、灵活的赋值，是解题的关键。
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