“深度学习”教学改进项目第五期研修——小学数学专场
7.31日下午课堂实录
亲爱的老师们大家好：
今天下午是深度学习教改项目第五期研修班的最后一场，也是我们小学数学的专场，我先介绍今天参加这场互动的专家：第一位是来自东北师范大学的马云鹏老师，马云鹏教授也是这个项目的总负责人；我旁边的这一位是海淀孙京红老师，也是特级教师，正高级教师；这边这位来自房山教师进修学校武维民老师，也是特级教师，正高级教师；那下一位是来自顺义教育研究和教师研修中心张秋爽老师，也是特级教师，正高级教师。我们希望今天的研讨活动，有马云鹏教授的引领，有我们几个参加一起讨论，也希望我们老师们一起参加互动，那么今天我们聚焦深度学习小学数学课堂实践这个专题，主要内容今天聚焦的是“数和运算”。首先我们请马云鹏教授作专题报告，马老师报告的题目是：《聚焦学科本质深度学习教学设计：以“数的运算”为例》，好，下面我们先听听马老师对“数的运算”这个问题是怎样思考的，谢谢马老师！
专家讲座：聚焦学科本质的深度学习教学设计：以“数的运算”为例
东北师范大学 马云鹏教授
尊敬的吴正宪老师、孙京红老师、武维民老师、张秋爽老师你们好:
参加这个活动的各位老师大家好，很高兴参加深度学习教研改进项目第五次教研活动。我记得上一次教研活动是在北京，是在现场。这次因为疫情没能到现场，很多老师也是在线上，和大家一起共同分享深度学习的一些体会。我今天讲的就是：《聚焦学科本质的深度学习教学设计：以“数的运算”为例》。大家也知道这个项目的研究已经有几年的时间，对于深度学习已经有了比较清楚的认识，各个试验区的老师都创造了许多鲜活的经验。所以在这样一个背景下我们就想在现在的基础上深入的对深度学习教学改进，如何设计，如何挖掘数学的内涵和学生学习的最本质的东西。深度学习教学改革特别是指向学生的核心素养的提高，所以我想这次能聚焦数的运算和数的意义，我就借这样一个话题和大家一起来分享。
首先我们思考这样几个问题：（10-20各数的认识、20以内加减法、乘法口诀、小数意义、小数除法、分数加减法。）这些题目大家都教过，都是数学常见的题目。有数的认识，数的运算，有整数、小数、分数，那么我们有没有想过上面这几个问题他们之间有什
么样的联系，有什么共同之处，我们在实际教学中应该怎样理解，是某一个单独的理解还是我们作为一个整体，教学设计怎么思考的。在深度学学教学改进中我们是怎样的基于深度学习来思考这样一个问题，从整体上认识小学数学某一个主题的教学，某一个单元的教学、和不同内容之间的关联，从整体上去把握。因为我们知道深度学习是引领学生围绕主题去深度的参与，共同的去探索有价值的问题，那么这样我们就要去从整体上去思考这样一些问题。比如说我们看到二十以内的加减法，这是一个典型的20以内的退位减法15-9=？我们分析这样一个问题，我们首先应该干什么呢，就是一个教材，不同的教材都可以，但是我们首先要对这个内容进行分析，首先我们要看这个运算的本质，这个运算的本质是什么？我们先看，通常的方法是把15分成10和5，然后10-9=1,1+5=6，我们有没有想过15分成10和5的道理在什么地方呢？15为什么要分成10和5呢？我们就说15-9,5-9不够减，减法在整数的范围内是不能完全实现的，所以不够减，然后15为什么分成10和5呢？是什么呢？我们一定是回到数的意义，15是十位上的1，十位上的1表示10 ，个位上的5表示5,15应该是10+5.然后我们说它和加法是否也有关系呢？下面一种做法就是9再添上6是15，你在想什么呢？是在想9+6=15，那么9+6=15是加法，当你说9+6=15，所以15-9=6的时候，你在用什么呢？你在用加减法之间的关系。我们看这样一个简单的问题，都有什么
东西在里面呢？有减法的本质，运算的本质，然后有数，整数的意义，整数的十位和个位，然后呢和加法的关系，它和数，和运算，和其他的运算都是有关系的。所以说某一个单一的问题，不是只是这个问题，我们一定要想它和什么有关系，这些关系和我们现在学的是什么样的一种性质，我们理解了这样一种性质，这样一种关系，对于充分的理解算理，和帮助学生理解算理是有意义的。
接下来我就想从这三个方面（一、深度学习教学设计的核心要素二、数的运算本质理解三、深度学习理念下的数的运算教学）来讨论深度学习中数的运算教学设计。
首先我们回到深度学习，我们大家都知道深度学习教学设计的几个基本要素，在我们原来的教学指南里面列出这样四个基本的要素：（学习主题、学习目标、学习活动、学习评价）而前面两个恰恰使我们进行分析，进行内容分析所不可缺少的。我重点介绍前两个，比如说学习主题是小学数学的核心知识，这个主题里面体现的思想方法和核心素养我们要抓住，单元学习主题的时候我们特别强调单元学习主题是小学学习内容中最有探究价值的核心内容，对学生的学习具有挑战性的，同时它蕴含着重要的学科思想，然后帮助学生形成核心素养。这样的几个基本要素在这个主题里面应当体现，而某一个单一的主题，其实
它蕴含的东西不仅是这个主题本身，它前后的联系它蕴含的思想，它蕴含的核心素养和整个单元，和相关的内容都有关系的。在这个基础上我们确定学习目标，学习目标包括单元目标和课时目标，而目标很核心的东西是指向核心素养，这个目标要以学生的核心素养为重点，体现数学的高级思维，然后要反映学科本质和思想方法。重点要强调反映学科本质和思想方法。从上面简单的介绍我们可以了解到如何选择和理解挑战性主题，确定指向核心素养的教学目标，以及如何设计深度探究的教学活动等等，这一系列的东西都和学科本质有关。我们都希望深刻的理解主题准确的把握教学目标，有效的去设计深度探究的过程，而学科本质的理解对于这样的问题解决是非常重要的，所以我们应该把握学科本质特别是把握你所教的内容的学科本质。
第二个问题我们就结合今天研究的主题，就数的运算的本质作一点分析。大家一起来讨论。首先我们说数的运算在小学主要是四则运算：加减乘除，那么怎么理解加减乘除？
加法：加法的本质是什么呢？加法是所有运算的基础，学习运算是从加法开始的而所有的运算都与加有关系，一切运算都可以从加法推演出来，而加法又和数联系在一起，数的运算最早是从数的累加开始的。认识数是从自然数开始的，自然数是数的累加的过程，所以
说加法的运算和自然数的产生是同步的，自然数从1开始再加上1就是2,3、4、5、6、7一直可以往下数，数到一定的时候，一定大的时候人们就感到不能再这样，就用符号来表示了，就出现了进位制。比如说：我们看到古代不同的数系里面都有类似的东西，古埃及和巴比伦第一行是123456789到10就有新的符号，10的表达和1是不同的，我们再看左边11 是什么呢？是1加上一个小拱门，那就是1加上10。我们可以看到它也是加。巴比伦也是一样。从这里可以看到，数是数量的抽象，用抽象的符号来表示数，然后我们数的增加又是一个累加的过程，不同的记位制，不同位置上的数的符号相加得到一个新的数，一直这样可以认识更大的数，这是对于加法。
减法：减法是加法的逆运算，自然数产生的时候是累加，加1，通常是加1得到新的数，那么在这个过程里面，减1同样得到原来那一个数。-1就是原来的数，所以a+b=c，c-b=a。减得本质是加的逆运算。
乘法：乘法是加法的简便运算，乘法的本质也是加法，就是几个相同的数的连加。重复加的过程就完成了这样一个运算。四个3相用一个简单的符号来表示就是4×3，4×3是一个乘法的表示方法，是一个乘号，它的含义是4个3相加，所以说它本质上是加。乘法口诀，比
如三四十二，其实是省略了加的过程，直接用结果来表示。乘法口诀并没有表示乘的本质，本质上还是加。
除法：除法是乘法的逆运算。直接从乘法的本质去理解除法，也就是说乘法是相同加数的和，反过来说除法就是减了若干个相同的数。所以说减去若干个相同数就是除法的本质。3×4=12是4个3相加的结果，反过来12÷3就是12连续减3，减了多少次？减4次就没了，所以说12÷3=4。这是计算过程的本质，那么简化这个过程就可以直接从3×4=12,12÷3=4；12÷4=3这样来理解乘和除的关系。我们前面说的加减乘除是从计算的角度理解它的含义，其实它也是理解加减乘除一个本质的重要的基本的一个方式。当然了作为一种运算可以这样理解。除法意义还可以是平均分，包含除等。加法还可以有合并有累加等等。从计算的角度是这样理解。
对于数的运算还有一件事情很重要，就是运算律，我们小学是系统的学习五大运算律，对于加减乘除基本的法则，理解运算律是对于我们理解算理是非常重要的。我们通常熟悉的是五大运算定律：加法乘法交换律、结合律，对于乘法的分配律。著名的数学家克莱因，他在高观点下的初等数学这本书里特别强调运算律，他指出11个运算法则，在这11个运算
法则里我们看对于加法有5个，对于乘法有5个都是相对的，然后分配律就是乘法和加法混合运算。我们先解释几个比如说第一个a+b仍然是一个数。加法在整数范围内是完全可以做的。是一致的，整数范围内a+b还得到一个整数。a-b不一定能得到一个整数。所以说加法是。另外a+b是单值的，a+b一定存在，并且只有一个。然后结合律。乘法有同样的，这些东西大家熟悉在小学里面我们也是讲，但是讲这个运算律的作用是什么？为什么要让学生学习运算律?我们经常用运算律来进行简便运算，没错运算律可以用来简便运算，但是运算律主要的功能不是简便运算。克莱因强调：一切初等运算都可以依据这11个法则。这句话很重要，就是所有的初等运算（小学里面都是初等运算）都可以依据这11个法则，反过来说我们的五大运算定律，其实可以解决初等运算中的所有问题。解决什么问题呢？解决算理。
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