数论专题全集

发布时间：2023-06-06 作者：admin 来源：讲座

数论专题第一讲数的整除

一、基础知识与方法对策

1、整除的相关概念

如果整数a除以非零整数b得到整数商c而没有余数，那么就说数a能被数b整除。或者说数b整除数a。记为：b︱a 由于a÷b=c可以改写成b×c=a，所以b、c叫做a的因数（又称约数），a叫做b、c的倍数。

2、整除的性质

1．如果自然数a和b都能被自然数c整除，那么，它们的和（a+b）或差(a-b)也能被c整除。例如：60能被5整除，40能被5整除，它们的和60+40=100及差60-40=20也能被5整除。

2．几个自然数相乘，如果其中一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。例如：26能被13整除，26×29×38的积也能被13整除。

3．如果一个自然数能被互质的两个数中的每一个数整除，那么，这个数就能被这两个互质数的积整除。例如：3和4是互质数，24分别能被3和4整除，那么，24就能被3与4的积12整除。

3、整除的特征

①、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数一定是2的倍数。

②、5的倍数的特征：个位上是0、或5的数一定是5的倍数。

③、3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和如果是3的倍数，那么这个数一定是3的倍数。

④、9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和如果是9的倍数，那么这个数一定是9的倍数。

⑤、4的倍数的特征：一个数的末两位上的数是4的倍数，那么这个数一定是4的倍数。

⑥8的倍数的特征：一个数的末三位上的数是8的倍数，那么这个数一定是8的倍数。

⑦11的倍数的特征：一个数从个位统计算起，奇数位上的数字的和与偶数位上数字的和相减（大减小）所得的差，如果是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

⑧7、11、13的倍数特征：一个数从个位算起，数三位，然后把这个数分成前后两个部分，这两个部分对应的两个数相减（大减小），如果得到的差是7、11、13的倍数，那么这个数就是7、11、13的倍数。

⑨6的倍数的特征：根据整除的性质可以知道，如果一个数既是2的倍数又是3的倍数，那么这个数一定是6的倍数。

学习整除这一讲，要注意理解并牢固熟练掌握以上基础知识，并能灵活运用它们。

二、典型例题

例1．在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有约数5？

例2．六位数

是6的倍数，这样的六位数有多少个？（A、B是不同的数字）

例3．在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除。符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？

例4．已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么，这个数个位上的数最小是几？

例5．一个六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？

例6．如果六位数1993□□能被105整除，那么，它的最后两位数是多少？

例7．一个四位数

加上9后能被9整除，减去8后能被8整除，求满足条件的最大数。

例8．某校有13个兴趣小组，各组的人数如下：

一天下午，学校同时举办语文和数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座，其中听语文讲座的人数是听数学讲座的人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？

三、练习与思考

1．在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。这个六位数最小是多少？

2．有一个四位数

，它能被9整除。A代表的数字是几？

3．从1到100的自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

4．173□是个四位数。王老师说：“我在这个数的□中先后填入3个数，所得的3个四位数依次能被7，11，6整除的数的和是多少？

5．用0，1，3，5，7这五个数字中的四个数字，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少？

6．商店有三种油漆，牌子和颜色都不同，红色的每桶1.5千克，黄色的每桶2千克，白色的每桶2.5千克。为了方便顾客，商店把这三种油漆改装成每桶0.5千克油漆的小桶。结果“球光牌”装了280桶，“江海牌”装了255桶，“前进牌”装了292桶。请问：每种牌子的油漆各是

什么颜色？

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