小学蝴蝶定理公式

小学蝴蝶定理公式

湿温病-一次函数的性质

模型三蝴蝶模型

（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系

(“蝴蝶定理”)：

1243

::SSSS

①

或者

1324

SSSS

②

1243

::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△

AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是

6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米

【分析】根据蝴蝶定理求得3121.5

AOD

S

△

平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平

方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC

【解析】⑴根据蝴蝶定理，

123

BGC

S，那么6

BGC

S；

⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AGGC．()

【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的

1

3

，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条

件:1:3

ABDBCD

SS，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已

知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改

造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。

再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使

学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解法一：∵::1:3

ABDBDC

AOOCSS





，

∴236OC，

∴:6:32:1OCOD．

解法二：作AHBD于H，CGBD于G．

∵

1

3ABDBCD

SS





，

∴

1

3

AHCG

，

∴

1

3AODDOC

SS





，

∴

1

3

AOCO

，

∴236OC，

∴:6:32:1OCOD．

【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、

4、4和6。求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积。

【解析】⑴根据题意可知，BCD△的面积为244616，那么BCO△和CDO的面积都是1628，

任意四边形、梯形与相似模型

所以OCF△的面积为844；

⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为862，

根据蝴蝶定理，

::2:41:2

COECOF

EGFGSS





，所以

::1:2

GCEGCF

SSEGFG





，

那么

112

2

1233GCECEF

SS







．

【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷

【解析】在ABE，CDE中有AEBCED，所以ABE，CDE的面积比为

()AEEB:()CEDE

。同

理有ADE，BCE的面积比为

():()AEDEBEEC

。所以有

ABE

S

×

CDE

S

=

ADE

S

×

BCE

S

，也就是

说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、

下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即

6

ABE

S

=

7

ADE

S

，所以有ABE与ADE的面积

比为7:6，

ABE

S

=

7

3921

67





公顷，

ADE

S

=

6

3918

67





公顷。

显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积

为。

【解析】连接AD、CD、BC。

则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：

4

112

2



，ACD的面积为：

3

313.5

2



，

ABD的面积为：

4

213

2



．

所以

::2:3.54:7

ABCACD

BOODSS





，所以

4412

3

471111ABOABD

SS







．

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积。

【解析】因为:2:5BDCE，且BD∥CE，所以:2:5DAAC，

5

25ABC

S







，

510

2

77DBC

S





．

【例6】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD中，2BEEC，CFFD，求三角形AEG

的面积．

【解析】连接EF．

因为2BEEC，CFFD，所以

1111

()

23212DEFABCDABCD

SSS





．

因为

1

2AEDABCD

SS





，根据蝴蝶定理，

11

::6:1

212

AGGF

，

所以

6613

6

77414AGDGDFADFABCDABCD

SSSSS





．

所以

1322

21477AGEAEDAGDABCDABCDABCD

SSSSSS





，

即三角形AEG的面积是

2

7

．

【例7】如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长

方形ABCD的面积．

【解析】连接AE，FE．

因为:2:3BEEC，:1:2DFFC，所以

3111

()

53210DEF

ABCDABCD

SSS

长方形长方形

．

因为

1

2AED

ABCD

SS

长方形

，

11

::5:1

210

AGGF

，所以510

AGDGDF

SS平方厘米，所以12

AFD

S平

方厘米．因为

1

6AFD

ABCD

SS

长方形

，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．

【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角

形BDG的面积．

【解析】设BD与

CE

的交点为

O

，连接BE、DF．

由蝴蝶定理可知

::

BEDBCD

EOOCSS

，而

1

4BEDABCD

SS

，

1

2BCDABCD

SS

，

所以

::1:2

BEDBCD

EOOCSS

，故

1

3

EOEC

．

由于F为CE中点，所以

1

2

EFEC

，故:2:3EOEF，:1:2FOEO．

由蝴蝶定理可知

::1:2

BFDBED

SSFOEO

，所以

11

28BFDBEDABCD

SSS

，

那么

111

10106.25

21616BGDBFDABCD

SSS

（平方厘米）．

【例9】如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和

BON的面积分别是3、2、1，则MNC的面积是．

【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．

根据蝴蝶定理得

313

22

AOMBON

MON

AOB

SS

S

S













设

MON

Sx





，根据共边定理我们可以得

ANM

ABM

MNCMBC

S

S

SS









，

3

3

32

2

3

1

2

x

x









，解得22.5x．

【例10】(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形

123456

AAAAAA

的面积是2009平方厘米，

123456

BBBBBB

分别

是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．

【解析】如图，设

62

BA与

13

BA的交点为O，则图中空白部分由6个与

23

AOA一样大小的三角形组成，只要求

出了

23

AOA的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．

连接

63

AA、

61

BB、

63

BA．

设

116

ABB

的面积为”1“，则

126

BAB

面积为”1“，

126

AAB

面积为”2“，那么

636

AAB

面积为

126

AAB

的2倍，为”4“，梯形

1236

AAAA的面积为224212，

263

ABA的面积为”6“，

123

BAA的

面积为2．

根据蝴蝶定理，

126326

13

:1:6

BABAAB

BOAOSS



，故

2

3

6

16AOA

S







，

123

12

7BAA

S





，

所以

23

1236

12

::12:1:7

7AOA

AAAA

SS





梯形

，即

23

AOA的面积为梯形

1236

AAAA面积的

1

7

，故为六边形

123456

AAAAAA面积的

1

14

，那么空白部分的面积为正六边形面积的

13

6

147



，所以阴影部分面积为

3

200911148

7









(平方厘米)．

板块二梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

①22

13

::SSab

②22

1324

::::::SSSSababab；

③

S

的对应份数为2ab．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结

论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例11】如图，

2

2S

，

3

4S

，求梯形的面积．

【解析】设

1

S

为2a

份，

3

S

为2b

份，根据梯形蝴蝶定理，2

3

4Sb，所以

2b

；又因为

2

2Sab

，所以

1a；那么2

1

1Sa，

4

2Sab

，所以梯形面积

1234

12429SSSSS

，或者根

据梯形蝴蝶定理，22129Sab．

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已

知

AOB△

与

BOC△

的面积分别为

25

平方厘米与

35

平方厘米，那么梯形

ABCD

的面积是________

平方厘米．

【解析】根据梯形蝴蝶定理，2::25:35

AOBBOC

SSaab，可得:5:7ab，再根据梯形蝴蝶定理，

2222::5:725:49

AOBDOC

SSab，所以

49

DOC

S

(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积为

25353549144(平方厘米)．

【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角

形BOC面积的

2

3

，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．

【解析】根据梯形蝴蝶定理，2::2:3

AOBBOC

SSabb，可以求出:2:3ab，

再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9

AODBOC

SSab．

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千

辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．

【例13】(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且

3

5

ABD

CBD



三角形的面积

三角形的面积

，那么OC的长是多少

【解析】根据蝴蝶定理，

ABDAO

CBDCO



三角形的面积

三角形的面积

，所以

3

5

AO

CO



，又1AO，所以

5

3

CO

．

【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是29cm

，问三角形AOD的面积是多少

【解析】根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3ab，2222::2:34:9

AODBOC

SSab



，

所以24cm

AOD

S



．

【巩固】如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．

【解析】根据梯形蝴蝶定理，22::4:9

AOBACOD

SSab，所以:2:3ab，

2:::3:2

AODAOB

SSababa，

3

1.21.8

2AODCOB

SS

，

1.21.81.82.77.5

ABCD

S

梯形

．

【例

15

】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形

ADG

的面积是11，三角形

BCH

的面积是

23

，求四边形

EGFH

的面积．

【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面

积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积

是112334．

【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2

的面积为36，则三角形1的面积为________．

【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角

形3，所以1的面积就是

4

3616

45





，3的面积就是

5

3620

45





．

【例16】如图，正方形

ABCD

面积为

3

平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．

【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AMBC，根据梯形蝴蝶定理可以知道

22:::1:12:12:21:2:2:4

AMGABGMCGBCG

SSSS

△△△△

（）（），设

1

AGM

S

△

份，则

123

MCD

S

△

份，

所以正方形的面积为1224312份，224S

阴影

份，所以:1:3SS

阴影正方形

，所以1S

阴影

平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平

方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．

【解析】连接DE，根据题意可知

:1:2BEAD

，根据蝴蝶定理得2129S

梯形

（）(平方厘米)，

3

ECD

S

△

(平

方厘米)，那么

12

ABCD

S

(平方厘米)．

【例17】如图面积为12平方厘米的正方形

ABCD

中，

,EF

是

DC

边上的三等分点，求阴影部分的面积．

【解析】因为

,EF

是

DC

边上的三等分点，所以

:1:3EFAB

，设

1

OEF

S

△

份，根据梯形蝴蝶定理可以知道

3

AOEOFB

SS

△△

份，9

AOB

S

△

份，(13)

ADEBCF

SS

△△

份，因此正方形的面积为244(13)24

份，6S

阴影

，所以:6:241:4SS

阴影正方形

，所以3S

阴影

平方厘米．

【例18】如图，在长方形ABCD中，6AB厘米，2AD厘米，AEEFFB，求阴影部分的面积．

【解析】方法一：如图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为

26322平方厘米．

由于:1:3EFDC，根据梯形蝴蝶定理，

:3:1

DEOEFO

SS

，所以

3

4DEODEF

SS

，而

2

DEFADE

SS

平方厘米，所以

3

21.5

4DEO

S

平方厘米，阴影部分的面积为21.53.5平方厘米．

方法二：如图，连接DE，FC，由于:1:3EFDC，设1

OEF

S

△

份，根据梯形蝴蝶定理，3

OED

S

△

份，2(13)16

EFCD

S

梯形

份，134

ADEBCF

SS

△△

份，因此416424

ABCD

S

长方形

份，

437S

阴影

份，而6212

ABCD

S

长方形

平方厘米，所以3.5S

阴影

平方厘米

【例19】(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，三角形ODE的

面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】连接AC．

由于ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，所以:2:3CEAD，

根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9

COEAOCDOEAOD

SSSS，所以6

AOC

S(平方厘

米)，9

AOD

S(平方厘米)，又6915

ABCACD

SS(平方厘米)，阴影部分面积为61521(平

方厘米)．

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部

分的面积是平方厘米．

【分析】连接AE．

由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么

OCDOAE

SS



．

根据蝴蝶定理，4936

OCDOAEOCEOAD

SSSS



，故236

OCD

S



，

所以6

OCD

S



(平方厘米)．

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单

位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】连接AE．

由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么

OCDOAE

SS



．

根据蝴蝶定理，2816

OCDOAEOCEOAD

SSSS



，故216

OCD

S



，所以4

OCD

S



(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED中，11

16812

22ADEABED

SS





(平方厘米)，

所以

1284

AOEADEAOD

SSS





(平方厘米)，

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米)．

【例20】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是

10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米

【分析】连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平

方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为1010520(平方厘米)，所以长方形的面积为

2010260(平方厘米)．四边形ABEF的面积为605102025(平方厘米)．

【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，CED的面积是6平

方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米

【解析】(法1)连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面积和三角形

DEC

的面积

相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6649(平方厘米)，

所以长方形的面积为96230(平方厘米)．四边形ABEF的面积为3046911(平方厘

米)．

(法2)由题意可知，

42

63

EF

EC



，根据相似三角形性质，

2

3

EDEF

EBEC



，所以三角形BCE的面积为：

2

69

3



(平方厘米)．则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15230(平方厘米)．四

边形ABEF的面积为3046911(平方厘米)．

【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB

的长是9.那么四边形OECD的面积是多少

【解析】因为连接ED知道ABO△和EDO△的面积相等即为54，又因为169ODOB∶=∶,所以AOD△的面积

为5491696，根据四边形的对角线性质知道：BEO△的面积为：54549630.375，所以四

边形OECD的面积为：549630.375119.625(平方厘米).

【例21】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的

面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．

【解析】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以

EODFOC

SS



，又根据蝴蝶定理，

EODFOCEOFCOD

SSSS





，所以

2816

EODFOCEOFCOD

SSSS





，所以

4

EOD

S





(平方厘米)，

4812

ECD

S



(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面

积为245289(平方厘米)．

【例22】(98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的

长是9．那么四边形OECD的面积是．

【解析】解法一：连接DE，依题意

11

954

22AOB

SBOAOAO

，所以12AO，

则

11

161296

22AOD

SDOAO

．

又因为

1

5416

2AOBDOE

SSOE

，所以

3

6

4

OE

，

得

1133

9630

2248BOE

SBOEO

，

所以35

549630119

88OECDBDCBOEABDBOE

SSSSS

．

解法二：由于::16:9

AODAOB

SSODOB，所以

16

5496

9AOD

S

，而54

DOEAOB

SS，根据

蝴蝶定理，

BOEAODAOBDOE

SSSS，所以

3

54549630

8BOE

S

，

所以35

549630119

88OECDBDCBOEABDBOE

SSSSS

．

【例23】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形

DEFG的面积48，:1:3AKKB，则BKD的面积是多少

【解析】由于

DEFG

是正方形，所以DA与

BC

平行，那么四边形

ADBC

是梯形．在梯形

ADBC

中，BDK和

ACK

的面积是相等的．而

:1:3AKKB

，所以

ACK

的面积是

ABC

面积的

11

134





，那么BDK

的面积也是ABC面积的

1

4

．

由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且

AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正

方形DEFG的面积相等，为48．

那么BDK的面积为

1

4812

4



．

【例24】如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是9，BCF的面积是27．那么阴

影AEC面积是多少

【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到

AFBDFCAFDBFC

SSSS





，而

AFBDFC

SS





(等积变换)，所以可得

99

3

27

AFBCDF

AFD

BFC

SS

S

S













，

并且31.81.2

AEFADFAED

SSS





，而

::9:271:3

AFBBFC

SSAFFC





，

所以阴影AEC的面积是：

41.244.8

AECAEF

SS





．

【例25】如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少

【解析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把

六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积

88

6

183



．

【例26】如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分

组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米

【解析】因为E是DC中点，F为AC中点，有2ADFE且平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形

ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=2AD

：2FE

=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=

6(41)2

，

②=⑤48，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、

⑤四块图形的面积和，为844218．有CEF与ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，

即为1:4．所以ADC面积为梯形ADEF面积的

4

4-1

=

4

3

，即为

4

1824

3



．因为D是BC中点，所以

ABD与ADC的面积相等，而ABC的面积为ABD、ADC的面积和，即为242448平方厘

米．三角形ABC的面积为48平方厘米．

【例27】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在

分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面

积为．

【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定

理来解决一般情况．

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，

因此空白处的总面积为61.5242222，阴影部分的面积为662214．

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，

上底、下底之比为2:61:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

比为221:13:13:31:3:3:9

，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的

9

16

，阴影部分的面

积占该梯形面积的

7

16

，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的

7

16

，那么阴影部分的面积为

22

7

(62)14

16



．

【例28】如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且2CEBE，2CFDF，连接BF、

DE，相交于点G，过G作MN、

PQ

得到两个正方形

MGQA

和PCNG，设正方形

MGQA

的面积为

1

S

，正方形

PCNG

的面积为

2

S

，则

12

:SS

___________．

【解析】连接BD、EF．设正方形

ABCD

边长为3，则

2CECF

，1BEDF，所以，222228EF

，

2223318BD

．因为22281814412EFBD

，所以12EFBD．由梯形蝴蝶定理，得

22::::::8:18:12:124:9:6:6

GEFGBDDGFnBGE

SSSSEFBDEFBDEFBD

△△△

，

所以，

66

496625BGE

BDFEBDFE

SSS

△

梯形梯形

．因为

9

332

2BCD

S

△

，

2222

CEF

S

△

，

所以

5

2BCDCEF

BDFE

SSS

△△

梯形

，所以，

653

2525BGE

S

△

．

由于BGE△底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以

36

21

55

CN

，

69

3

55

ND

，

所以::3:2AMCNDNCN，则22

12

::9:4SSAMCN．

【例29】如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且2CDAB，点E、F分别是AD和BC的中点，

已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米．

【解析】连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积．

设梯形ABCD的上底为a，总面积为S．则下底为2a，13

2

22

EFaaa

．

所以

3

::2:3

2

ABEFaa

，

3

::23:4

2

EFDCaa

．

由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以



33

:::25:7

22ABFEEFCD

SSABEFEFDCaaaa







梯形梯形

，

故

5

12ABFE

SS

梯形

，

7

12EFCD

SS

梯形

．

根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE内各三角形的面积之比为222:23:23:34:6:6:9

，所以

9953

4669251220EMF

ABFE

SSSS

梯形

；

同理可得

9973

98ENF

SSSS

梯形EFCD

，

所以

339

202835EMFNEMFENF

SSSSSS

，由于

54

EMFN

S

平方厘米，

所以

9

54210

35

S

(平方厘米)．

【例30】(2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、

H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简

分数

m

n

，那么，

()mn

的值等于．

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面

积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．

如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．

左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的

1

4

，所以三角形AMD的面积为

2

111

1

248



．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为

11

14

82



．

如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．

可知EF∥AC且2ACEF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的

1

4

，所以三角形BEF的

面积为2

111

1

248



，梯形

AEFC

的面积为

113

288



．

在梯形AEFC中，由于:1:2EFAC，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：

221:12:12:21:2:2:4

，所以三角形EFN的面积为

311

8122424





，那么四边形BENF的

面积为

111

8246



．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为

11

14

63



．

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为

11

:3:2

23



，即

3

2

m

n



，

那么325mn。