抛物线焦半径公式
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2023年3月19日发(作者：英语助教工作内容)极坐标处理二次曲线问题教案
圆锥曲线的极坐标方程
知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离
和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相
应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：
cos1e
ep
.
其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允
许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若
1+cos
ep
e
则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆
当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线
当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2）若
1-sin
ep
e
当0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向上的抛物线
当e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
极坐标处理二次曲线问题教案
（3）
1+sin
ep
e
当0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向下的抛物线
当e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线
例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
例1.确定方程
10
53cos
表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：
310
2
53
33
1cos1cos
55
310
53
eP，
2
3
325
5
58
51015
10
338
3
c
aca
a
b
acc
c
22
25155
()()
882
b
315
54
e方程表示椭圆的离心率，焦距，
25
5
4
长轴长，短轴长
解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需
令0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶
点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，
简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问
题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
（2）圆锥曲线弦长问题
极坐标处理二次曲线问题教案
若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，
1、椭圆中，
c
b
c
c
a
p
22
，
222
2
cos
2
)cos(1cos1
ca
ab
e
ep
e
ep
MN
.
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
若M、N在双曲线同一支上，
222
2
cos
2
)cos(1cos1
ca
ab
e
ep
e
ep
MN
；
若M、N在双曲线不同支上，
222
2
cos
2
cos1cos1
ac
ab
e
ep
e
ep
MN
.
3、抛物线中，
2sin
2
)cos(1cos1
ppp
MN
例1过双曲线
22xy
-1
45
的右焦点，引倾斜角为
3
的直线，交双曲线与
A、B两点，求AB｜｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
即得
所以
又由
得
注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对v加绝对值，但
求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都
是;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正
值,所以弦长也是;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,
其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是-或
为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用
5
23cos
12
(,),(,)
33
AB
12
||AB
5580
||
7
23cos23cos()
33
12
12
12
-
12
极坐标处理二次曲线问题教案
变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为
6
的直
线，交双曲线于A,B两点，求
AB
求AB｜｜
解：
附录直角坐标系中的焦半径公式
设P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若
1
F、
2
F分别是椭圆的左、右焦点，则exaPF
1
，exaPF
2
；
2、若
1
F、
2
F分别是双曲线的左、右焦点，
当点P在双曲线右支上时，aexPF
1
，aexPF
2
；
当点P在双曲线左支上时，exaPF
1
，exaPF
2
；
3、若F是抛物线的焦点，
2
p
xPF.
利用弦长求面积
高考题（08年海南卷）过椭圆22
1
54
xy
的焦点F作一条斜率为2的
直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求
AOB
的面积．
简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式
22
2
||
1cos
ep
AB
e
求弦长，然后
利用公式
B
1
|B|||sin
2AO
SAOFAFO
直接得出答案。
变式(2005年全国高考理科)已知点
F
为椭圆2
21
2
x
y
的左焦点.过点
1
12cos
12
(,),(,)
66
AB
12
||AB
11
||
12cos12cos()
66
（）
22
||
2626
4
极坐标处理二次曲线问题教案
F的直线
1
l与椭圆交于P、Q两点，过F且与
1
l垂直的直线
2
l交椭圆于
M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.
解析以点
F
为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
2
2
2
1cos
2
设直线
1
l的倾斜角，则直线
2
l的倾斜角为090，由极坐标系中
焦点弦长公式知：
2
2
||
1
1cos
2
PQ
，
202
22
||
11
1cos(90)1sin
22
MN
用他们来表示四边形的面积
1
||||
2
SPQMN
22
1
11
sincos
24
2
1
11
sin2
216
即求
2
1
11
sin2
216
的最大值与最小值
由三角知识易知：当sin21时，面积取得最小值
16
9
；当sin20时，
面积取得最大值
2
利用弦长公式解决常量问题
例一．过椭圆
)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
的左焦点F，作倾斜角为60的直线
l
交椭圆于A、B两点，若
FBFA2
，求椭圆的离心率.
简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为
cos1e
pe
则
00240cos1
,
60cos1e
pe
FB
e
pe
FA
，
极坐标处理二次曲线问题教案
∴
2
1
2
2
1
e
pe
e
pe
，解得
3
2
e；
变式求过椭圆
2
3cos
的左焦点，且倾斜角为
4
的弦长
AB
和左焦
点到左准线的距离。
解：先将方程
化为标准形式：
2
3
1
1cos
3
则离心率
1
3
e，
2
3
ep，
2p
所以左焦点到左准线的距为2。
设
12
5
(,),(,)
44
AB
，代入极坐标方程，则弦长
12
2224
5
17
3cos3cos
44
AB
（3）定值问题
例1.抛物线22(0)ypxp的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，
证明：
11
ab
定值。
解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的
极坐标方程为
1cos
p
，设(,),(,)AaBb
将A,B两点代入极坐标方程，得,
1cos1cos()
pp
ab
则
11
ab
=
1cos1cos()
pp
=
2
p
（定值）
点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。
极坐标处理二次曲线问题教案
推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有
epNFMF
211
例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证
11
ABCD
为定
值。
证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为
cos1e
ep
，
又设
11234
3
A,,B,+,C,+,D,+
22
则代入可得
22
2
||
1cos
ep
AB
e
，
22
2
||
1sin
ep
AB
e
则
2112-e
=
ABCD2ep
注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。
推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为
极点建立极坐标方程。
推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。
例三(2007重庆理改编)中心在原点O的椭圆
22
1
3627
xy
，点F是其左焦
点，在椭圆上任取三个不同点
123
P,P,P使
0
122331
120PFPPFPPFP∠∠∠．
证明：
2
13
111
FP
FPFP
为定值，并求此定值．
解析：以点
F
为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
9
2cos
，设点
1
P对应的极角为，则点
2
P与
3
P对应的极角分别
为0120、0120，
1
P、
2
P与
3
P的极径就分别是
1
||FP
9
2cos
、
2
||FP
0
9
2cos(120)
与
3
||FP
0
9
2cos(120)
，因此
2
13
111
FP
FPFP
002cos2cos(120)2cos(120)
999
，而在三
极坐标处理二次曲线问题教案
角函数的学习中，我们知道00coscos(120)cos(120)0，因此
2
13
1112
3FP
FPFP
为定值
点睛：极坐标分别表示
1
||FP、
2
||FP与
3
||FP，这样一个角度对应一个
极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时
对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．
推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？
推广2设
123
PPPP
n
是椭圆上的n个点，且
123N
FP,FP,FPFP圆周角等分
则n
2
i=1
i
1
OP
也为定值
作业
（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆22
22
1(0)
xy
ab
ab
的焦点
1
F作倾斜角
为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，
11
||2||AFBF．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若
15
||
4
AB，求椭圆方程