2017数学一
2017数学一
-
2023年2月9日发(作者：图客网)2017年普通高等学校招生全国统一考试1卷
文科数学
一、选择题：本大题共
12
小题
,
每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知集合
A=|2xx
，
B=|320xx
，则
A
．
AB=
3
|
2
xx
B
．
AB
C
．
AB
3
|
2
xx
D
．
AB=R
2
．为评估一种农作物的种植效果
,
选了
n
块地作试验田。这
n
块地的亩产量
(
单位：
kg
）分别为
x
1，
x
2，
…,x
n，
下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A
．
x
1
,x
2
,…,x
n的平均数
B
．
x
1，
x
2，
…
，
x
n的标准差
C
．
x
1，
x
2，
…
，
x
n的最大值
D
．
x
1
,x
2，
…
，
x
n的中位数
3
．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A
．
i
（
1+i
）2B
．
i2（
1—i
）
C
．（
1+i
）2D
．
i
（
1+i)
4
．如图
,
正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图
.
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于
正方形的中心成中心对称
.
在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
)
A
．
1
4
B
．
π
8
C
．
1
2
D
．
π
4
5
．已知
F
是双曲线
C:x2-
2
3
y
=1
的右焦点，
P
是
C
上一点，且
PF
与
x
轴垂直
,
点
A
的坐标是（
1
，
3
）。则△
APF
的面积为（）
A
．
1
3
B
．
1
2
C
．
2
3
D
．
3
2
6
．如图，在下列四个正方体中，
A
，
B
为正方体的两个顶点
,M
，
N
，
Q
为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接
AB
与平面
MNQ
不
平行的是
7
．设
x
，
y
满足约束条件
33,
1,
0,
xy
xy
y
则
z=x+y
的最大值为
A
．
0B
．
1C
．
2D
．
3
8
．
.
函数
sin2
1cos
x
y
x
的部分图像大致为
(
）
9
．已知函数
()lnln(2)fxxx
,
则
A
．
()fx
在
(0,2)
单调递增
B
．
()fx
在（
0
，
2)
单调递减
C
．
y=
()fx
的图像关于直线
x=1
对称
D
．
y=
()fx
的图像关于点（
1,0
）对称
10
．如图是为了求出满足321000nn的最小偶数
n
，那么在和两个空白框中，
可以分别填入
A
．
A>1000
和
n=n+1B
．
A>1000
和
n=n+2
C
．
A≤1000
和
n=n+1D
．
A≤1000
和
n=n+2
11
．△
ABC
的内角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
。已知
sinsin(sincos)0BACC
，
a=2
，
c=2,
则
C=
A
．
π
12
B
．
π
6
C
．
π
4
D
．
π
3
12
．设
A
、
B
是椭圆
C
：
22
1
3
xy
m
长轴的两个端点，若
C
上存在点
M
满足∠
AMB=120°
，则
m
的取值范围是
A
．
(0,1][9,)
B
．(0,3][9,)C
．
(0,1][4,)
D
．(0,3][4,)
二、填空题
:
本题共
4
小题
,
每小题
5
分，共
20
分。
13
．已知向量
a
=
（
–1,2
），
b
=
（
m
，
1
）。若向量
a
+
b
与
a
垂直
,
则
m=______________.
14
．曲线2
1
yx
x
在点（
1
，
2
）处的切线方程为
_________________________.
15
．已知
π
(0)
2
a，
,tanα=2
，则
π
cos()
4
=__________
。
16
．已知三棱锥
S—ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上
,SC
是球
O
的直径
.
若平面
SCA
⊥平面
SCB
，
SA=AC
，
SB=BC
，三棱锥
S—ABC
的体积为
9,
则球
O
的表面积为
________
。
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17
～
21
题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答
.
（一）必考题：
60
分。
17
．（
12
分
)
记
S
n为等比数列
n
a
的前
n
项和，已知
S
2
=2
，
S
3
=
-
6
。
（
1)
求
n
a
的通项公式
;
（
2
）求
S
n，并判断
S
n
+1
,S
n，
S
n
+2是否成等差数列。
18
．
(12
分
)
如图，在四棱锥
P—ABCD
中，
AB//CD,
且90BAPCDP
（
1
）证明
:
平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（
2)
若
PA=PD=AB=DC
，90APD，且四棱锥
P-ABCD
的体积为
8
3
，求该四
棱锥的侧面积
.
19
．（
12
分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程
,
检验员每隔
30min
从该生产线上随机抽取一个零件，
并测量其尺寸
(
单位
:cm
）．下面是检验员在一天内依次抽取的
16
个零件的尺寸：
抽取次序
12345678
零件尺寸
9.95
10
。
12
9.96
9
。
9610
。
01
9.92
9
。
9810
。
04
抽取次序
916
零件尺寸
10.269.91
10
。
1310
。
029
。
22
10.04
10
。
05
9.95
经计算得
16
1
1
9.97
16i
i
xx
,
1616
222
11
11
()(16)0.212
1616ii
ii
sxxxx
，
16
2
1
(8.5)18.439
i
i
，
16
1
()(8.5)2.78
i
i
xxi
，其中
i
x
为抽取的第i个零件的尺寸，
1,2,,16i
．
（
1)
求
(,)
i
xi
(1,2,,16)i
的相关系数
r
,
并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进
行而系统地变大或变小（若
||0.25r
,
则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或
变小）．
(2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(3,3)xsxs
之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生
产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看
,
是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在
(3,3)xsxs
之外的数据称为离群值
,
试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺
寸的均值与标准差．
(
精确到
0.01
）
附：样本
(,)
ii
xy
(1,2,,)in
的相关系数
1
22
11
()()
()()
n
ii
i
nn
ii
ii
xxyy
r
xxyy
，0.0080.09．
20
．
(12
分）设
A
，
B
为曲线
C
：
y=
2
4
x
上两点，
A
与
B
的横坐标之和为
4
。
（
1
）求直线
AB
的斜率；
（
2)
设
M
为曲线
C
上一点，
C
在
M
处的切线与直线
AB
平行
,
且
AMBM
，求直线
AB
的方程。
21
．（
12
分）已知函数
()fx
=ex(ex﹣
a
）﹣
a2x
．
（
1
）讨论
()fx
的单调性；
（
2
）若
()0fx
，求
a
的取值范围．
(
二
)
选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
.
22
．［选修
4―4:
坐标系与参数方程
]
（
10
分
)
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
3cos,
sin,
x
y
（
θ
为参数）
,
直线
l
的参数方程为
4,
1,
xat
t
yt
（为参数）
。
（
1
）若
a=−1
，求
C
与
l
的交点坐标；
（
2)
若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
,
求
a.
23
．
[
选修
4—5:
不等式选讲
]
（
10
分）
已知函数
f
（
x
）
=–x2+ax+4
，
g
（
x)=│x+1│+│x–1│
。
(1
）当
a=1
时，求不等式
f
（
x
）
≥g(x
）的解集；
（
2
）若不等式
f(x
）
≥g
（
x
）的解集包含［
–1,1
］
,
求
a
的取值范围
.
参考答案
一、选择题:
1.A2。B3。C4。D5。A6。A
7.D8。C9。C10.D11。B12。A
二、填空题:
13.714。1yx15.
310
10
16。36
三、解答题:
17。解：
（1）设{}
n
a的公比为q,由题设可得
1
2
2
(1)2,
(1)6.
aq
aqq
解得
1
2,2qa
故{}
n
a的通项公式为(2)n
n
a
(2）由(1）可得
1
1
(1)
22
(1)
133
n
n
n
n
aq
S
q
由于
321
21
42222
(1)2[(1)]2
3333
nnn
nn
nnn
SSS
故
12
,,
nnn
SSS
成等差数列
18.解：
(1）由已知90BAPCDP，得,ABAPCDPD
由于//ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD
又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD
（2)在平面PAD内作PEAD,垂足为E
由（1）知，AB平面PAD,故ABPE，可得PE平面ABCD
设ABx,则由已知可得
2
2,
2
ADxPEx
故四棱锥PABCD的体积
3
11
33PABCD
VABADPEx
••
由题设得3
18
33
x，故2x
从而
2,22,22PAPDADBCPBPC
可得四棱锥PABCD的侧面积为
2
1111
sin60623
2222
PAPDPAABPDDCBC
19.解：
(1）由样本数据得(,)(1,2,...,16)
i
xii的相关系数为
16
1
1616
22
11
()(8.5)
2.78
0.18
0.2121618.439
()(8.5)
i
i
i
ii
xxi
r
xxi
由于||0.25r，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。
(2）
(i)由于9.97,0.212xs,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)xsxs以外，因此需对
当天的生产过程进行检查.
（ii）剔除离群值,即第13个数据，剩下数据的平均数为
1
(169.979.92)10.02
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10。02
16
222
1
160.212169.971591.134
i
i
x
，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
22
1
(1591.1349.221510.02)0.008
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为
0.0080.09
20。解：
（1）设
1122
(,),(,)AxyBxy，则
22
12
121212
,,,4
44
xx
xxyyxx，
于是直线AB的斜率1212
12
1
4
yyxx
k
xx
(2）由
2
4
x
y,得
2
x
y
设
33
(,)Mxy,由题设知31
2
x
,解得
3
2x，于是(2,1)M
设直线AB的方程为yxm代入
2
4
x
y得2440xxm
当16(1)0m，即1m时，
1,2
221xm
从而
12
||2||42(1)ABxxm
由题设知||2||ABMN，即42(1)2(1)mm，解得7m
所以直线AB的方程为7yx
21。解:
（1）函数()fx的定义域为22(,),()2(2)()xxxxfxeaeaeaea
①若0a，则2()xfxe,在(,)单调递增
②若0a，则由()0fx
得lnxa
当(,ln)xa时,()0fx
;
当(ln,)xa时，()0fx
;
故()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增
③若0a，则由()0fx
得ln()
2
a
x
当(,ln())
2
a
x时，()0fx
；
当(ln(),)
2
a
x时，()0fx
；
故()fx在(,ln())
2
a
单调递减，在(ln(),)
2
a
单调递增
(2)①若0a，则2()xfxe，所以()0fx
②若0a,则由（1)得,当lnxa时，()fx取得最小值，
最小值为2(ln)lnfaaa,
从而当且仅当2ln0aa，即1a时，()0fx
③若0a，则由（1）得，当ln()
2
a
x时，()fx取得最小值，
最小值为2
3
(ln())[ln()]
242
aa
fa，
从而当且仅当2
3
[ln()]0
42
a
a，即
3
42ae时，()0fx
综上，
a
的取值范围是
3
4[2,1]e
22.解：
（1)曲线C的普通方程为
2
21
9
x
y
当1a时，直线l的普通方程为430xy
由2
2
430,
1
9
xy
x
y
解得
3,
0
x
y
或
21
,
25
24
25
x
y
从而C与l的交点坐标为
2124
(3,0),(,)
2525
（2）直线l的普通方程为440xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为
|3cos4sin4|
17
a
d
当4a时，d的最大值为
9
17
a
，由题设得
9
17
17
a
,所以8a；
当4a时，d的最大值为
1
17
a
，由题设得
1
17
17
a
，所以16a；
综上8a或16a
23。解：
（1）当1a时,不等式()()fxgx等价于
2|1||1|40xxxx①
当1x时，①式化为2340xx，无解；
当11x时，①式化为220xx，从而11x;
当1x时，①式化为240xx，从而
117
1
2
x
所以()()fxgx的解集为
117
{|1}
2
xx
（2）当[1,1]x时,()2gx
所以()()fxgx的解集包含[1,1]，等价于当[1,1]x时()2fx
又()fx在[1,1]的最小值必为(1)f与(1)f之一，
所以(1)2f且(1)2f，
得11a
所以
a
的取值范围为[1,1]